La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Probabilités Nouveau programme rentrée 2012. en terminale S. Statistiques 6 février 2013.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Probabilités Nouveau programme rentrée 2012. en terminale S. Statistiques 6 février 2013."— Transcription de la présentation:

1 Probabilités Nouveau programme rentrée en terminale S. Statistiques 6 février 2013

2 Un premier retour de lenseignement en première. Pas mal de questions,questions, Mais beaucoup de réponses, Et une vraie compréhension de la probabilité dobtenir k succès. * Un exemple dactivitéUn exemple dactivité * ReprésentationReprésentation de la loi binomiale * Dautres questions...Dautres questions...

3 Un point (délicat) en T.S : Lintroduction de la loi normale centrée réduite.

4 Extrait du programme. Un tiers du temps...

5

6 Intervalles de fluctuation et intervalles de confiance

7 Problème : Comment justifier lapparition de lexpression pour lintroduction de la loi normale centrée réduite ?

8 Il semble plus aisé dutiliser lexpression cv vers p avec n. soit que la moyenne des

9 Il sagit dune convergence en loi mais il nest pas question den donner une définition générale,convergence en loi seulement den donner une observation graphique.

10 On peut proposer le modèle suivant, qui utilise les trois niveaux dexpérimentation, simulation et modélisation : On utilise une machine de Galton. En premier lieu avec peu de rangées, puis en augmentant n on montre que « lenveloppe » « tend » vers une courbe caractéristique de la courbe de Gauss. (par translation de la loi N.C.R.)

11 Vers un déroulement logique ?

12 Un exemple dutilisation de lapproximation de la loi binomiale par la loi normale: Surréservation aérienne

13 Il arrive assez souvent que le nombre de réservations pour une liaison aérienne soit supérieur au nombre de passagers se présentant effectivement le jour du vol.

14 Exemple : Pour compenser le manque à gagner, une compagnie aérienne exploitant un avion de 300 places décide de faire de la surréservation en prenant pour chaque vol un nombre n > 300 de réservations. Sil se présente plus de 300 passagers à lembarquement, les 300 premiers arrivés prennent leur vol et les autres sont dédommagés financièrement.

15 On considère que les passagers sont mutuellement indépendants (?) et on évalue statistiquement la probabilité de désistement de chacun deux à 10%. On note n le nombre de réservations prises par la compagnie pour un vol donné et Sn le nombre (aléatoire) de passagers se présentant à lembarquement pour ce vol.

16 On se propose de chercher la valeur maximale de n telle que : P(Sn 0,99. (en clair, on voudrait avoir 99% de chances de ne pas avoir à payer de dédommagement à des passagers) Le théorème de De Moivre-Laplace permet de donner une solution approchée à ce problème.

17 La variable aléatoire Sn suit la loi binomiale B( n ; 0,9), de moyenne et décart type Cette loi peut être approchée par la loi normale. Il sagit de trouver la plus grande valeur de n vérifiant : P(Sn 0,99. La variable peut être approximée par la loi normale centrée réduite. Cest ici le cœur du théorème :

18 équivaut à : Soit : (T.M.L). Or une table de la loi normale centrée réduite (ou une calculatrice) donne précisément la probabilité de lévènement selon les valeurs de t avec un pas de 1/100. Cette probabilité dépasse 0.99 à partir de t=2,33. Il suffit donc de choisir n de façon à ce que :.

19 La solution positive de léquation : 0,9x² + 0,699x – 300 = 0 est 17,87, au centième près, et son carré est : 319,45. Si on prend jusquà 319 réservations, sous les hypothèses de notre modélisation, le Nombre de passagers se présentant à lembarquement ne dépassera pas 300 au risque maximum de 1%.

20 Le mot « au risque » nest pas clair pour un non initié aux tests dhypothèse : peut être parler de probabilité ?

21 Pour aller plus loin : On cherche, appelant p la probabilité qun passager ne se désiste pas, quel nombre de réservation accepter pour que lon ait 99% de chances de ne pas avoir à payer de dédommagement à des passagers)

22 En remplaçant 0,9 par p, on obtient une formule compliquée, mais quun tableur permet dutiliser sans difficulté : Léquation trouvée plus haut sécrit : et en posant de discriminant ce qui équivaut à :

23 Auto-critique… On voit que le résultat varie beaucoup en fonction de la valeur donnée à p ! Selon quon évalue p à 0,90 ou à 0,85, le nombre de surréservation acceptable passe de 19 à 35 ! On conçoit que la validité de ce type de calcul soit sujette à discussion ! en tous cas on voit bien quavec une probabilité de désistement de 50%, on peut surbooker de presque 90%...

24

25 Convergence en loi Soient F1, F2,... la suite des fonctions de répartition associées aux variables aléatoires réelles X1, X2,..., et F la fonction de répartition de la variable aléatoire réelle X. Autrement dit, Fn est définie par Fn(x)=P(Xn x), et F par F(x)=P(X x). La suite Xn converge vers X en loi, ou en distribution, si pour tout réel a où F est continue : Visualisation 1 VisualisationTLC Retour

26 Beaucoup de questions : 1. Quel niveau de formalisation ? 2. Définition explicite ou pas des concepts :Proba, variable aléatoire, indépendance… 3. Approche fréquentiste et probabilités.

27 Exemples : On fait un test sur une personne puis un deuxième de façon indépendante.

28 Quelle frontière : entre les statistique et les probabilités ?

29 On lance 500 fois un dé pipé. n° Face nb d apparitions Quelle est la probabilité d'obtenir 4? Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre impair? Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ? Exercice : extrait du manuel Maths Bréal 3ème n°56 page 102

30 Comment évaluer les connaissances acquises : Alors quon a appris à étudier un problème avec du temps devant soi, A étudier sa mise en œuvre par expérimentation, A recueillir les données, A travailler en équipe, A simuler sur ordinateur, Retour

31 Intervalle de fluctuation ou de confiance ? En seconde, lintervalle de fluctuation au seuil de 95% est : Soit :

32 a pour variance : a pour espérance 0 et variance 1 qui ne dépend ni de n ni de p. qui ne dépend pas de n et

33 A- Définition Soit X une variable suivant une loi B (n, p). On appelle intervalle de fluctuation de X au seuil 1-α tout intervalle [a,b] tel que :

34 Un intervalle de confiance pour une proportion p à un niveau de confiance 1 – α est la réalisation, à partir dun échantillon, dun intervalle aléatoire contenant la proportion p avec une probabilité supérieure ou égale à 1 - α. Cet intervalle aléatoire est déterminé à partir de la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n, associe la fréquence.

35 Exemple Supposons que p soit inconnu. On peut approximer p par la proportion f obtenue par les données de léchantillon (estimation ponctuelle) et déterminer lintervalle de confiance de p au risque 0,95.

36 Lintervalle aléatoire a une probabilité supérieure à 0,95 de contenir p. Il est appelé intervalle de confiance de p au seuil de 95%. A justifier


Télécharger ppt "Probabilités Nouveau programme rentrée 2012. en terminale S. Statistiques 6 février 2013."

Présentations similaires


Annonces Google