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Optimisation topologique de formes et adaptation de maillage Frédéric GOLAY Pierre SEPPECHER Mikaël STEHLY Laboratoire ANAM A nalyse N on l inéaire A ppliquée.

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1 Optimisation topologique de formes et adaptation de maillage Frédéric GOLAY Pierre SEPPECHER Mikaël STEHLY Laboratoire ANAM A nalyse N on l inéaire A ppliquée et Modélisation Université de Toulon et du Var

2 Plan Approche matériaux à blocage Formulation numérique Quelques exemples Validation analytique Raffinement de maillage

3 dvF Min 1:D:.A.Cv duF Min MdVh 0)x(h élasticité'dpbduSolutionu Approche matériaux à blocage u Déplacement solution du pb d élasticité vv 2 1 T v Tenseur des déformations D Tenseur d élasticité épaisseur de plaque Domaine de conception

4 Soient : Le volume dx)x(hV v un champ de déplacement C.A. Lénergie élastique dxh:D: 2 1 )h( uu Lénergie potentielle dlv.Fdxh:D: 2 1 )h,v(J vv le champ de déplacement solution duproblème délasticité u minimise J(v,h) dlv.F 2 1 dxh:D: 2 1 )h,u(J)h( uu

5 )h( Inf POP Vdx)x(h 0h )h,v(JSup Inf v Vdx)x(h 0h Théorème du MinMax )h,v(J Inf Sup Vdx)x(h 0h v dlv.Fdxh:D: 2 1 Sup Inf vv Vdx)x(h 0h v On pose s v w et vv :D:s dlw.Fs:D: 2 Vs Inf ww 2 1:D: s,w ww On concentre h où lénergie est la plus élevée dlv.F:D: 2 V Inf vv v 2 1:D: w dlw.FInf V2 1 ww Linf sur s est atteint pour dlw.F V 1 s 2 1:D: w dlw.F V2 1 Inf ww

6 Formulation numérique On approxime la norme infinie p 1 p vv p dx:D:lim ww :D: dlv.F2:D:VInf vv v dlv.F2dx:D:V)v(J p 1 p vvp Vv).u(J p dx:D::D: 2 vu 1p uu dlv.F2 1 dx:D: 1 p p uu Problème délasticité non-linéaire en contraintes planes avec 1 p 1 p uu 1p uu dx:D::D:V)u(H dlv.F dx:D:)u(H vu

7 Formulation analogue :D: 1p uu On pose h(u)= h(u) dx:D: vu dlv.F V dx :D: uu 1 p 1 h(u) dlv.F dlv.Fdx:D: :D:V vu :D: 1p uu 1 p 1 p uu

8 Formulation Eléments Finis Avec les notations vectorielles habituelles uB u)x(N)x(u et e elt e e T 1p FNuBDBH)u(R On réécrit le problème sous la forme Soit à résoudre le problème non-linéaire avec Le problème est fortement non-linéaire Donc, à partir de la solution élastique, on incrémente la valeur de p

9 )1i( )i( )1i()1i( u uu )u ( R u)u( u R Résolution par Newton-Raphson Dérivée seconde Ecriture matricielle H)1p(2 u R T 2p BDBH T 1p uBDB T uBDB T

10 Validation Analytique x y

11 Ecart relatif

12 Quelques exemples p=5 p=25 p=109 Thickness B A

13

14 e1 e2 e1 e2 e3 e4 e1 e2 ? Un Elt créé ? Elt conforme ? Elt à raffiner ? Boucle sur les éléments Fin de boucle sur les éléments raffinement Essai de découpage Oui Non Oui Non Oui Non Raffinement de maillage

15 e1 e2 e3 e4 e1 e2 e1 e2 e3 e1 e2 e3 e1 e2 e3 e4 e1 Méthode: Par permutation on se replace dans les cas élémentaires Difficulté: Comment discerner les nœuds non conformes

16 P=0,2,4 Raf P=4,6 Raf P=6,8,12,16 Raf P=16, 20,24, 28 Qualité ? Critère ? Stratégie ?

17 A B C a b c ri cba aire2 ri rc cba aire4 rc Qualité 20 rc ri On maîtrise la qualité du maillage 50 ri Max ri elt On maîtrise lévolution du maillage

18 Critère On applique la méthodologie de Zienkiewicz Lépaisseur est un champ discontinu h d, on cherche donc le champ continu h c qui lapproche au mieux: 0 d, hh dc On approche le champ continu par une discrétisation éléments finis elt e e d e e dvh N h N N

19 Critères utilisés …. e c deh e 1 e 2 deh e 1 c c e h Max e cc dehh e 1 e 2 cd dehh e 1 cd e hhMax e d deh e 1 d e hMax + Normalisation

20 P = 2 Nelt = 130 Nnoe=399 P = 4 Nelt=244 Nnoe=679 P = 6 Nelt=357 Nnoe=956 P = 8 Nelt=510 Nnoe=1353 P = 10 Nelt=759 Nnoe=1898 P = 12 Nelt=947 Nnoe=2282 P = 14 Nelt=1170 Nnoe=2723 P=2

21 Temps de calcul avec r lage: 1166 s Temps de calcul sur maillage optimisé: 1262 s

22 Critère épaisseur moyenneCritère épaisseur max

23 Critère différence moyenne Critère gradient maximal

24 Calcul derreur a posteriori eface e 2 u dlD)u(h 2 1 e 2 ece deR 22 e r 2 1 e 2 e Kerreur R. Verfürth (2000) dlAAuerreur 2 l 2'p arêtes arête l 1p avec W. Liu & N. Yan (2001)

25 Conclusions et perspectives Mise en œuvre simple Résolution numérique validée en 2D Un bon outil initial de dimensionnement Raffinement validé Critères intuitifs efficaces Erreurs a posteriori en cours détude SIC2002


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