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Méthodes danalyse des circuits Méthodes de noeuds et des mailles Adapté de notes de cours sur Internet de l`Université du Tennessee.

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Présentation au sujet: "Méthodes danalyse des circuits Méthodes de noeuds et des mailles Adapté de notes de cours sur Internet de l`Université du Tennessee."— Transcription de la présentation:

1 Méthodes danalyse des circuits Méthodes de noeuds et des mailles Adapté de notes de cours sur Internet de l`Université du Tennessee

2 Méthodes de nœuds Principe : 1.Choisir un nœud de référence parmi les N nœuds d`un circuit et attribuer une tension v i (par rapport au nœud de référence) à chacun de N-1 nœuds restants 2.Appliquer la loi de Kirchhoff sur les courants à chacun des N-1 nœuds et exprimer les courants en termes des tensions des nœuds 3.Résoudre le système de N-1 équations obtenu pour trouver les tensions v i On peut alors déterminer tout courant dans le circuit à partir des tensions v i

3 On a pour v 1 : Illustration sur circuit partiel ou Des équations similaires existent pour les autres nœuds Note : on suppose que les courants quittent les nœuds, sauf indication contraire

4 Exemple dapplication 1 On a : ou

5 Exemple dapplication 1 On peut écrire les équations précedentes sous forme matricielle et les résoudre :

6 v1:v1: v2:v2: Exemple numérique V 1 + 2V 1 – 2V 2 = 20Donc : 3V 1 – 2V 2 = 20 4V 2 – 4V 1 + V 2 = -120ou-4V 1 + 5V 2 = -120 Solution: V 1 = -20 V, V 2 = -40 V ou » % A MATLAB Solution » R = [3 -2;--4 5]; » V = [20;-120]; » I = inv(R)*V

7 Circuits avec sources de tension v 1 : v 2 : Réduisent le nombre des tensions inconnues Si une borne est la tension de référence, on a un nœud en moins à déterminer Soit :

8 Exemple numérique Doù : v 1 : v 2 : 4V V – 10V 2 = -200 ou 14V 1 – 10V 2 = V V 2 = 60 V 1 = -30 V, V 2 = -12 V, I 1 = -2 A 4V 2 + 6V 2 – 60 – 6V 1 = 0 Dans le cas dune source prise entre deux nœuds, on peut aussi former un super nœud

9 Un super nœud englobe deux nœuds adjacents (excluant le nœud de référence) reliés par une source de tension Le couplage entre les tensions des deux nœuds permet de dériver facilement lune de lautre Super nœud super noeud

10 Au super Noeud : Contrainte sur le super noeud : Exemple V 1 – V 2 = -2 -2V 1 – V 2 = 20 Et la solution est :Ce qui donne : V 1 = V V 2 = V

11 À v 1 : Au super Noeud : Contrainte sur le super noeud : V 2 – V 3 = -10 Exemple 7V 1 – 2V 2 – 5V 3 = V 1 + 9V V 3 = 0 V 2 – V 3 = -10 Et la solution est :Ce qui donne : V 1 = 30 V, V 2 = V, V 3 = V

12 Il faut exprimer les tensions des sources en termes de v i Circuits avec sources dépendantes À v 2 : La solution est : Ce qui donne : À v 1 :

13 Méthode des mailles

14 Méthodes de mailles Principe : 1.Ignorer la maille qui a le plus de branches communes avec les autres et attribuer un courant à chacune des N-1 mailles restantes 2.Appliquer la loi de Kirchhoff sur les tensions à chacune des mailles et exprimer les tensions en fonction des courants dans les mailles 3.Résoudre le système de N-1 équations obtenu pour trouver les tensions I i On peut alors déterminer toute tension dans le circuit à partir des tensions I i

15 Illustration On a pour la maille 1 : V 1 +V L1 =V A, avec V 1 =R 1 I 1 et V L1 =R x (I 1 -I 2 ) On en déduit : ( R 1 +R x )I 1 -R x I 2 =V A Pour la maille 2, on aurait obtenu : –R x I 1 +(R 2 +R x )I 2 = -V B Note : on suppose que les courants vont dans le sens horaire, sauf indication contraire

16 On peut écrire les équation précédente sous forme matricielle et les résoudre : ou Illustration

17 Exemple Maille 1 : 4I 1 + 6(I 1 – I 2 ) = Maille 2 : 6(I 2 – I 1 ) + 2I 2 + 7I 2 = Par conséquent : 10I 1 – 6I 2 = 8 -6I I 2 = 22 » % A MATLAB Solution » R = [10 -6;-6 15]; » V = [8;22]; » I = inv(R)*V I =

18 Exemple Maille 1: Maille 2: Maille 3: 6I (I 1 – I 3 ) + 4(I 1 – I 2 ) = (I 2 – I 1 ) + 11(I 2 – I 3 ) + 3I 2 = I (I 3 – I 2 ) + 10(I 3 – I 1 ) = I 1 – 4I 2 – 10I 3 = 30 -4I I 2 – 11I 3 = I 1 – 11I I 3 = 20 Forme matricielle Forme standard Noter la régularité du processus de détermination des coefficients!

19 Exemple On a par inspection :

20 Dans lexemple, on a I 2 = -4 A et seuls I 1 et I 3 sont à déterminer Circuits avec sources de courant Réduisent le nombre des courants inconnus La source est directement reliée à un ou plusieurs courants de maille Maille 1 : Maille 2 : 10I 1 + (I 1 -I 2 )5 = 10 2I 3 + (I 3 -I 2 )20 = 20 I 1 = A I 2 = - 4 A I 3 = A


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