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Les différents types dordre. Quest-ce que lordre ? « Un ensemble infini de points de l'espace est géométriquement ordonné, s'il est engendré par un algorithme.

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1 Les différents types dordre

2 Quest-ce que lordre ? « Un ensemble infini de points de l'espace est géométriquement ordonné, s'il est engendré par un algorithme déterministe de complexité finie. » D. Gratias et al., Annu. Rev. Mat. Res. (2003) « Disposition organisée, structurée selon certains principes, chaque élément ayant la place qui lui convient » Larousse Ordre

3 O r,t d3rd3r v a =V/N Volume atomique moyen Fonctions de corrélation de paire t=0 Fonction de corrélation de paire dépendante du temps Moyenne spatiale, statistique, temporelle Fonction de corrélation de paire instantanée G(r,t=0) G(r,t) : TF dans le temps et dans lespace par diffusion de neutron Diffusion des rayons X : TF de g(r) Fonction de corrélation densité-densité :

4 La fonction de distribution de paire Pics premier voisin deuxième voisin etc. Largeur du pic : fluctuation de distance Intégrale du pic : nombre de voisins

5 Corrélations orientationnelles g(r) Ici, g(r) ne dépend que de |r| Ce nest pas général. Fonction de corrélation dorientation :

6 Ordre à courte distance g(r) ~ exp(-|r| : longueur de corrélation Ex : verre, liquide Ordre max. à 1D Quasiordre à grande distance g(r) ~ |r| - Pas déchelle de longueur Ex : Smectiques, cristaux 2D Ordre max. à 2D Ordre à grande distance g(r) na pas de limite à linfini Ex : Cristaux Pics de Bragg Comportement à grande distance de g(r) définit trois types dordre : exp(-|r| Les trois types dordre

7 Caractérisation de lordre… approche expérimentale Ordre à grande distance : diffraction Sinon : diffusion diffuse Rayons X Électrons Neutrons Existence de taches de Bragg Largeur limitée par la résolution Cristal de C 60 Quasi-cristal Eau Diffusion répartie continûment Cristal liquide smectique

8 Ordre à 1D Liquides, amorphes, verres Ordre à courte distance État amorphe (désordonné, mal ordonnée) Amorphe recristallise lorsqu'on le réchauffe. Métaux, Silicium, eau. Verre repasse par l'état liquide : transition vitreuse. Silice, Soufre, Glycerol, Se (+As), obsidienne, diatomées Liquide : même fonction de distribution, mais dynamique. a+ a na+n a

9 Fusion à 2D Contrairement à la fusion classique, La fusion 2D passe par une phase intermédiaire Quasi-ordre à longue distance… Cristal 2DHexatiqueLiquide g(r)|r| - exp-(r ) o(r)OGD|r| - exp-(r ) Mise en évidence dans les cristaux liquides Brock, PRL57, 98 (1986), Colloïdes (Petukhov, 2006) Chou, Science 1998 g(r)OGDexp-(r ) o(r)OGDexp-(r ) Fusion à 3D SolideLiquide

10 Cristaux 2D (ordre orientationnel GD) L'ordre se perd très lentement. Quasi-ordre à longue distance Vortex dans les supraconducteurs de type II Entre H c1 et H c2 phase d'Abrikosov Verre de Bragg (Giamarchi et al. 1994) h 106 µm, vortex Expérience de décoration par des agrégats de Fe, observés au MEB (Kim et al., PRB60, R12589) Carte des déplacements de vortex par rapport au réseau parfait impu.

11 Structures Fractales Auto-similarité Auto-similarité Invariance d'échelle Invariance d'échelle Dimension fractale Dimension fractale d'Hausdorff (1918) : n(k)=k D Le triangle de Sierpinski D=log(3)/log(2)= 1, Flocon de von Koch D=log(4)/log(3) = 1, L'éponge de Menger D=log(20)/log(3) = 2, Fractales ordonnées ne modélisent pas les structures réelles...

12 Fractales irrégulières Dimension fractale Minkowski-Bouligant n(r)=(r/a) D g(r) ~ r D-d Agrégat de particules d'or D=1,75 ± 0.05 Structure de l'aimantation au point critique (Ising) D=1,75 Frontière mouvement Brownien (W. Werner) D=4/3 Figures de Lichtenberg Brocolis D=2,33

13 * = Un cristal est un motif quelconque associé à un réseau Nucléosome Macromolécule C 60 Molécule MotifCristal NaCl Groupement datomes Na Atome Le cristal... périodique

14 Cristaux incommensurables Propriété locale (ex : polarisation) possède une périodicité incommensurable avec celle du réseau. Ex : Onde de densité de charge, NaNO 2 Cristaux composites Enchevêtrement de deux cristaux ayant des paramètres de maille dans un rapport irrationnel. Ex : Rb, Ba, Cs sous pression, Hg 3- AsF 6 irrationnel Quasicristaux Systèmes présentant de lordre à grande distance et une symétrie interdite (5, 8, 10...) Pavage de Penrose Ordre à grande distance Pas de périodicité Le cristal... apériodique a b

15 Microscope à force atomique : Réseau moyen Microscope à effet tunnel : Onde de densité de charge Les cristaux incommensurables Dichalcogénure de tantale 1T-TaSe 2 : Onde de densité de charge Modulation de la densité électronique à 2k F (k F vecteur de Fermi) E. Meyer et al. J. Vac. Sci. Technol. 8, 495 (1990)

16 Alcane-Urée Inclusion dalcane dans des canaux durée B.Toudic et al, Science 319, 69 (2008) Ba sous 12 GPa ( atm.) Ba dans des canaux de Ba ! (c g /c n irrationnel) Les cristaux composites R.J. Nelmes et al. Phys. Rev. Lett. 83, 4081 (1999) Enchevêtrement de deux cristaux périodiques ayant des paramètres de maille dans un rapport irrationnel

17 Les quasicristaux Taches de diffraction fines Taches de diffraction fines Ordre à grande distance Ordre à grande distanceET Symétrie dordre Al-Ni-Co décagonal : Symétrie dordre 10 Diffraction électronique dun alliage dAl-Mn (Daprès D. Shechtman et al. Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984))Phys. Rev. Lett. 53, 1951 Quasicristaux découverts « par hasard » par Schechtman (1982) qui étudiait des alliages dAl par trempe ultra rapide. 56

18 Les quasicristaux Taches de diffraction fines : Taches de diffraction fines : Ordre à grande distance Ordre à grande distance Al-Ni-Co décagonal : Symétrie dordre 10 Pavage de lespace Sans vide ni recouvrement Seules symétries compatibles avec la translation : 1, 2, 3, 4, 6 5 8

19 Pavages de Penrose Deux types de « tuiles » Deux types de « tuiles » Règles daccord Règles daccord Certains quasicristaux modélisés par un pavage de Penrose Alliage Al-Fe-Cu (Marc Audier) 36° 72°

20 Pavages de Penrose Pavage non périodique de lespace Pavage non périodique de lespace Ordre à grande distance SANS périodicité Ordre à grande distance SANS périodicité Symétrie dordre quelconque Symétrie dordre quelconque Pavages quasi-périodiques Pavages quasi-périodiques avant Penrose… Symétrie dordre 12 Temple Darb-i Imam Isfahan, Iran Isfahan, Iran, XV e

21 Le potentiel dinteractions Potentiel dinteraction U(r) : mini autour de 1,5-2 Å et 3-4 Å Ex : Dans la vapeur deau distance moyenne 30 Å (gaz parfait) Dans leau liquide 3 Å (ordre de type liquide) Forme du potentiel détermine les propriétés physiques : Distance d équilibre donnée par dU(r)/dr=0 : structure. Rigidité donnée par d 2 U(r)/dr 2 : élasticité, dynamique (spectre des phonons), conductivité thermique, chaleur spécifique. Anharmonicité de U(r) : dilatation thermique. Origine de lordre

22 La liaison ionique (hétéropolaire) Due à linteraction coulombienne entre ions. Liaison forte (eV), non saturable et non dirigée. Ex : NaCl, LiF La liaison covalente (homopolaire) Mise en commun délectrons. Liaison forte (1.5 eV O-O, 3.6 eV C-C ), saturable et dirigée. Ex : Diamant La liaison métallique Délocalisation des électrons de valence. Liaison intermédiaire (0.5 eV Cu), non saturable et non dirigée. Ex : Tous les métaux (Na, Cu, U), conducteurs organiques. La liaison van der Waals Due à linteraction entre dipôles électriques permanents ou induits. Liaison faible (10 meV), non saturable et non dirigée. Ex : Gaz rares (Ar, Xe), cristaux moléculaires. La liaison hydrogène Hydrogène se partage entre deux molécules. Liaison faible (100 meV) et dirigée. Ex : Glace (O-H---O 0.26 eV), cristaux organiques, biologiques. 300 K (k B T) 25.8 meV 6.25 THz cm µm Les cinq types de liaisons

23 Pas de prédiction de structure connaissant les interactions Quelques modèles simples : empilement compact À 2D, empilement compact : réseau hexagonal infini À 3D, empilement de couches hexagonales : cubique faces centrées, hexagonal compact. Cest lempilement le plus compact (Th. Hales 1998) ; compacité =0.74 Pas forcément périodique (fautes dempilement) Gaz rares, ~ 2/3 des métaux (c.f.c. ou h.c) Mais métaux alcalins (c.c), Fe (c.c.) Fe (c.f.c). Construction dun cristal atome par atome… Des interactions au type dordre-1

24

25 Structure des éléments simples cfc hc cc Daprès R.K Vainshtein, Structure of Crystals

26 Empilement 3D compact de 4 atomes : Tétraèdre Impossibilité métrique de paver lespace par des tétraèdres (angle dièdre = 70,528°) Mais LOCALEMENT, empilement de tétraèdres déformés Icosaèdre Impossibilité de paver lespace avec des tétraèdres quelconques, le même nb partageant une arête commune. FRUSTRATION TOPOLOGIQUE Interactions favorisent un ordre local « icosaèdrique » incompatible avec un système infini. Frustration engendre des défauts (liquides, verres) Des interactions au type dordre °

27 Des interactions au type dordre-3 Agrégats icosaédrique plus stables Diffraction électronique sur Cu, Ni, CO 2, N 2, Ar Transition icosaédrique-c.f.c. si la taille augmente (1000 Ar, 30 CO 2 )

28 Désordre 1-Effet de la température Agitation thermique Agitation thermique un instant donné, À un instant donné, pas de périodicité parfaite Périodicité rétablie en moyenne Périodicité rétablie en moyenne Désordre dorientation Désordre dorientation Ex : Ex : C 60, cristaux plastiques Kroto et al T=300 K c.f.c. Structure moyenne périodique Structure moyenne périodique Moyenne statistique Moyenne temporelle Moyenne statistique Moyenne temporelle (Hypothèse ergodique)

29 Cristal réel : 2-Les défauts Défauts topologiques Défauts topologiques Induisent des déformations qui concernent lenvironnement atomique local, comme le nombre de voisins Dimension 0 Dimension 0 Lacunes, intersticiels Dimension 1 Dimension 1 Dislocations (plasticité des métaux) Désinclinaisons (2D, cristaux liquides) Dimension 2 Dimension 2 Surfaces, fautes dempilements Joints de grains, sous-joints, macles Lacune Toujours présentes ( Cu à 300 K) Diffusion, centres colorés Intersticiel Plasticité (Impureté) Dopage des semi-cond. Couleur des joyaux Plasticité Surface Faute dempilement Joint de grain DislocationDésinclinaison

30 Dislocation : atmosphère de Cottrell D. Blavette, E. Cadel, A. Fraczkiewicz and A. Menand. Science 286 (1999) GPM UMR 6634 CNRS, Université de Rouen Visualisation dune dislocation coin Microscope à effet de champ Alliage FeAl dopé au bore Accrochage des dislocations Vieillissement

31 Glissement dune dislocation Cisaillement dune zone GP par une dislocation coin Microscopie électronique haute résolution Zone GP (Guinier-Preston) Amas datomes dans une matrice Durcissement des alliages dAl (Concorde) Plaquettes dans alliage Al-1.7at.%Cu Daprès M. Karlík et B. Jouffrey, J. Phys. III France, 6 (1996) 825M. Karlík et B. Jouffrey, J. Phys. III France, 6 (1996) 825

32 Joints de grains Sous-joints : Formés de réseau de dislocation Surface de raccordement entre deux cristaux dorientations différentes Si langle est < 15° ou 20° : sous-joint de grain Si langle est > 20° : joint de grain Joint de grain : Structure est débattue, ordonnée ou désordonnée (amorphe) Exemple : Grains dor déposés sur du Ge(100) de direction de croissance (110) A linterface, les paramètres sont a et a2 Linterface est ordonnée et même quasi-périodique ! F. Lançon et al. EPL49, 603 (2000) Modèle de Read et Shockley (1950)

33 Téreptal-bis(p-butylaniline) TBBA Phase liquide isotrope T=236 °C Phase nématique T=200 °C Phase smectique A T=175 °C Phase smectique C États condensés intermédiaires : les cristaux liquides thermotropes Anisotropie de g(r) Transitions de phases dépendent de la température

34 Ordre nématique Ordre de position à courte distance Dans la direction n Orthogonalement à n Ordre dorientation à grande distance Dans la direction n Nématique n Ordre de position à courte distance Orthogonalement à n Quasi-ordre à longue distance Dans la direction n « Quasi-période » a Smectique A a n Ordre smectique

35 Ordre héxatique OCD position QOGD dorientation Orthogonalement à n Désordre dorientation des molécules sur elles-même Ordre cristallin 3D Cristal plastique

36 Phases colonnaires Ordre de position à grande distance Orthogonalement aux colonnes Ordre de position à courte distance Selon les colonnes Molécules discotiques

37 Phases cholestériques Molécules allongées et chirales Structure hélicoïdale, basée sur le nématique Pas P de 1 m à 2 m dépend de T Thermomètres

38 Cristaux liquides lyotropes Transitions de phases dépendent dune concentration Molécules amphiphiles (savon) Bulles dair facettées Diagramme de phases Tête hydrophile Queue hydrophobe Cristal Micelles Tubes Lamelles Phase cubique Daprès P. Sotta, J. Phys. France, Phase cubique


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