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1 Méthodes Numériques appliquées à la physique Bibilographie: - Samir Al-Amer, King Fahd University of Petroleum & Minerals, Dhahran, Saudi Arabia - François.

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1 1 Méthodes Numériques appliquées à la physique Bibilographie: - Samir Al-Amer, King Fahd University of Petroleum & Minerals, Dhahran, Saudi Arabia - François Mauger, Université de Caen, France - Michael T. Heath (http://www.cse.illinois.edu/heath/scicomp/notes/chap01.pdf) - Mark H. Holmes, Introduction to Numerical Methods in Differential Equations, © 2007, Springer Science+Business Media, LLC Calcul Scientifique, Cours, exercices corrigés et illustrations en MATLAB et Octave, Alfio Quarteroni, Paola Gervasio and Fausto Saleri,

2 2 Une méthode numérique est lalgorithme, cest-à-dire la suite finie et non-ambiguë dinstructions pour obtenir une solution numérique à un problème mathématique. On utilise une méthode numérique lorsque il nexiste pas de solution analytique ou celle-ci existe mais est difficile à obtenir. Une méthode numérique doit être: Pratique: la solution doit être calculée en un temps raisonnable. Précise: La solution doit être une bonne approximation de la solution vraie. Des informations concernant lerreur commise doivent pouvoir être évaluées. Introduction Méthode numérique, algorithme

3 3 Introduction Erreur de troncature (e t ), de « schéma »

4 4 Introduction Erreur darrondi (e a ), de « représentation »

5 5 Lerreur darrondi e a génère une perte dinformation Introduction Perte dinformation

6 6 Problème Physique erreur de modèle Modèle Mathématique erreur de troncature Problème Numérique erreur darrondi erreur de calcul = e t + e a Introduction Du problème physique à la solution numérique Solution numérique

7 7 Introduction Erreur absolue, relative, ordre de convergence lorsque h 0

8 8 Rq: En fait, lerreur est inconnue, sinon on pourrait en déduire la solution exacte: Par contre on peut estimer comment lerreur varie en fonction de h. Ordre 1 Ordre 2 ecec h Introduction ordre de convergence dune méthode

9 9 On appelle dérivée de y = f(x) la quantité égale à : Formule de Taylor : Introduction Taylor Théorème de Taylor Soient n un entier naturel, f(x) une fonction dérivable n+1 fois dans un voisinage de x=x 0 et h un réel, alors il existe un réel compris entre x 0 et x 0 +h tel que: R n est un infiniment petit en h

10 x x+ x f(x) f(x+ x) Approximation au 1 ier ordre: f(x + x) = f(x) + x.f(x) 0 f(x) f(x) + x.f(x) f(x) + x.f(x) + R 1 R1R1 Introduction Taylor: interprétation géométrique x En x: pente approximée En x: pente exacte

11 11 f(x) est un infiniment petit dordre n si il existe un réel non nul tel que Autrement dit, f(x) =.x n quand x devient petit. Lordre n caractérise la vitesse avec laquelle la fonction f(x) tend vers zéro lorsque x devient petit. On écrit f(x) = O(x n ). Exemples: f(x)=exp(x) nest pas un infiniment petit puisque exp(x) 1 quand x 0 Introduction Infiniment petit

12 12 En combinant le théorème de Taylor avec + x et - x, on peut obtenir une approximation de f(x 0 ) pour laquelle on trouve que lerreur varie en ( x) 2 : 2( x) Approximation de f(x 0 ) Erreur [x 0, x 0 + h] Introduction Approximations des dérivées equ. diff., equ. non lin.,...

13 fifi 13 Différences excentrées Taylor à lordre 1, différence finie à 2 pts On pourra écrire: Effets de bord: f (x 6 ) ne peut pas être calculée avec la DFavant car x 7 nest pas défini Introduction Différences finies f i+1 h DFavant DFarrière

14 14 Différences centrées Différence finie à 3 pts On ne peut pas calculer f (x 6 ), ni f (x 1 ) avec la DFC Introduction Différences finies On pourra écrire:

15 15 Introduction Différences finies (1) (2) (3) (4) (5) (6)

16 16 Erreur générée en utilisant les DF Calculer la dérivée exacte de f(x)= (1+x)^0.5 en x=zéro. En utilisant un pas x = 0.1, calculer à la main les erreurs commises sur la dérivée en x=0, pour les DF avant (1), arrière (2) et centrée (3). Ecrire des DF a) Retrouver la DFcen (3): f(n) = [f(n+1)-f(n-1)] / (2h) à partir des DFava (1) et DFarr (2) b) Retrouver la DFcen (6): f(n) = [f(n+1)-2f(n)+f(n-1)] / h 2 en utilisant le théorème de Taylor jusquau deuxième ordre. c) Retrouver les DFava (4) et (5) en utilisant le théorème de Taylor jusquau premier ordre. Erreur dune DFC en fonction du pas Montrer que lerreur de la Dfcen (3) est E(h)= (h 2 ). Pour cela, développer au 2 ième ordre f(x+h) et f(x-h) avec les restes. En déduire lexpression de la DFcen est : f (1) (n) = [f(n+1)-f(n-1)] / (2h) et lexpression de lerreur E(h) commise sur f (1) (x). Introduction Exercice: DF

17 Questions de cours Introduction 1/ Quelles sont les 2 principales erreurs générées lors de lutilisation dune méthode numérique. Expliquez lorigine de chacune delle. 2/ Quand dit-on dune méthode numérique quelle est convergente dordre p ? 3/ Donner lexpression de la série de Taylor avec reste pour une fonction f(x). 4/ Quest quun infiniment petit dordre n ? 5/ Donner une approximation par différences finies à 3 points de la dérivée dune fonction f(x).


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