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Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 1 Influence des pôles Correction Perturbation.

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1 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 1 Influence des pôles Correction Perturbation

2 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 2 Influence des pôles Correction Perturbation  (t) correcteur e(t) s(t) Système capteur consigne S(p) A(p) B(p) E(p) H(p) = Fonction de transfert Structure générale Généralité

3 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 3 Influence des pôles Correction Perturbation Abaque de Hall dans le plan de Black 0dB -10° M FTBO -30° M' -2dB Abaque de Hall isomodule isophase Pour une pulsation  donnée

4 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 4 Influence des pôles Correction Perturbation Elle est définie par le temps de réponse du système soumis à un échelon d'amplitude e 0. le temps de réponse à 5%. En général, on prend le temps de réponse à 5%. Rapidité t r 5% Rapidité 95% de la valeur finale  5%

5 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 5 Influence des pôles Correction Perturbation Pour un 1 er ordre : t r 5% = 3 Tavec T : constante de temps Rapidité Rapidité Pour un 2 nd ordre : t r 5% minipour m = 0,69 si dépassements autorisés pour m = 1 sinon. Si m = 0,69 alors t r 5% = 3 / ω 0

6 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 6 Influence des pôles Correction Perturbation e0e0 t ssss s(t) e(t) t vvvv s(t)  s Écart statique en position notée  s e(t) = e 0 u(t)  (p) = E(p) – B(p).S(p)  v Écart statique en vitesse notée  v e(t) = a t u(t)  (p) = E(p) – B(p).S(p) Précision statique en régime permanent Précision

7 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 7 Influence des pôles Correction Perturbation Précision statique Précision La précision est caractérisée par l'écart entre la consigne et la sortie en régime permanent : elle augmente avec le gain statique de la FTBO BO et est liée à la présence d'intégrateurs dans la BO. e(t)E(p)écart statique  = 0  = 1   2 u(t)1/p  s (en position) 1/(1+K)00 t.u(t)1/p 2  v (en vitesse)  1/K0 Classe de la FTBO

8 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 8 Influence des pôles Correction Perturbation Condition sur les pôles de la FTBF Stabilité Dans le cas d’une réponse impulsionnelle, l’équation de la sortie peut s’écrire :.avec p i les pôles et z i les zéros Soit dans le domaine temporel : La partie réelle des pôles doit donc être strictement négatives pour que la réponse converge vers 0. avec p i les pôles réels et a i ± j b i les pôles complexes conjugués

9 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 9 Influence des pôles Correction Perturbation Stabilité pnpn anan a n-2 a n-4 … p n-1 a n-1 a n-3 a n-5 … p n-2 …… Critère de Routh FTBF soit D(p) = a n p n + … + a 0 : dénominateur de la FTBF Condition n°1 : Pour que le système soit stable, il faut que tous les a i soient de même signe. Condition n°2 : Le système est stable si tous les coefficients de la colonne des pivots sont positifs. colonne des pivots ?

10 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 10 Influence des pôles Correction Perturbation  G dB K stable instable Plan de Black Le système est stable en boucle fermée si, FTBO en parcourant le lieu de transfert de la FTBO dans le sens des  croissants, on laisse le point critique à droite. Critère de Revers Stabilité -180°

11 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 11 Influence des pôles Correction Perturbation K  G dB   -180°  -180° stable Plan de Bode Le système est stable en boucle fermée si, pour la pulsation correspondant à  = -180°, Critère de Revers Stabilité instable la courbe de gain FTBO de la FTBO passe au dessous du niveau 0 dB.

12 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 12 Influence des pôles Correction Perturbation -180°  -180° MgMgMgMg -180° MgMgMgMg 1/M g Marge de gain M g = - 20 log |H(j  -180° )| On prend en général une marge de gain de 6 à 15dB. Stabilité Re(H(j  )  G dB    Im(H(j  ) BodeBlackNyquist

13 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 13 Influence des pôles Correction Perturbation -180° 11 MMMM MMMM MMMM Marge de phase M  = 180° + arg (H(j  1 )) M  = 180° + arg (H(j  1 )) avec  1 telle que | H(j  1 )| = 1 On prend en général une marge de phase de 45°. Stabilité Re(H(j  )  G dB    Im(H(j  ) BodeBlackNyquist

14 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 14 Influence des pôles Correction Perturbation Influence des pôles sur la réponse Les parties réelles des pôles (réels ou complexes) se retrouvent dans les termes exponentiels, et elles permettent de caractériser l’amortissement, Les parties imaginaires des pôles complexes conjugués se retrouvent dans les pulsations des termes oscillants, et elles permettent de caractériser la rapidité (fréquence des oscillations). Influence des pôles Dans le cas d’une réponse impulsionnelle, l’équation de la sortie peut s’écrire : avec p i les pôles réels et a i ± j b i les pôles complexes conjugués

15 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 15 Influence des pôles Correction Perturbation Influence des pôles sur la réponse Influence des pôles

16 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 16 Influence des pôles Correction Perturbation Influence des pôles sur la réponse Influence des pôles La réponse d’un système linéaire est donc déterminée par la position de ses pôles dans le plan complexe : un système du 10 ème ordre a 10 pôles, sa réponse comporte au maximum 10 termes. e0e0 t s(t) Zone d’influence de tous les pôles Zone d’influence des pôles dominants Les réponses lentes sont pénalisantes, elles imposent donc la forme de la réponse globale.

17 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 17 Influence des pôles Correction Perturbation Influence Un système d’ordre élevé a en général un ou deux pôles dominants et se comporte donc comme un 1 er ou un 2 nd ordre ; on peut donc simplifier la transmittance d’un système d’ordre élevé en ne conservant que le ou les pôles dominants.

18 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 18 Influence des pôles Correction Perturbation  (t) correcteur e(t) s(t) Système capteur consigne Structure générale Les trois performances sont en général incompatibles : il faut donc faire des compromis. On corrige les systèmes asservis en ajoutant un correcteur (de fonction de transfert C(p)) dans la boucle ouverte. 3 types de correction sont au programme : - Correction intégrale : - Correction proportionnelle : - Correction dérivée : Correction

19 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 19 Influence des pôles Correction Perturbation Pour augmenter la rapidité et la précision, K > 1. Pour augmenter la stabilité, K < 1. Correction proportionnelle 20 logK K n'influe pas sur la phase de la FTBO, ce correcteur génère une translation de la courbe de gain de 20 logK.  M  donnée:  = - 180° + M     |K.H(j  )| = 1 d'où K  M g donnée:  = - 180°    20 log ||K.H(j  )| = - M g d'où K Correction

20 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 20 Influence des pôles Correction Perturbation Correction intégrale Comment augmenter la précision d'un système ? en introduisant un intégrateur dans la BO mais on risque ainsi de déstabiliser le système (en diminuant la phase de 90°)  on choisit un correcteur qui modifie la phase uniquement pour les basses fréquences G dB    -90° 1/  Il faut faire attention à ne pas diminuer la phase à la pulsation critique  éloigner 1/  de cette pulsation critique En général, on place le correcteur une décade avant  c soit : En général, ce correcteur diminue la rapidité du système. Correction

21 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 21 Influence des pôles Correction Perturbation Correction dérivée Quand on diminue le gain de la BO pour stabiliser le système, on diminue la rapidité et la précision en général. Pour améliorer la stabilité, on peut aussi augmenter la phase donc ajouter un correcteur à phase positive (action dérivée). Un dérivateur pur n'étant pas physiquement réalisable, on utilise un correcteur à avance de phase : a < 1 G dB    1/  a  maxi 20 log K 1/a  90° 1/  20 log (K/a)  maxi pour  n tel que : log  n = (log (1/  ) + log (1/a  ))/2  maxi = arc tan  n - arc tan a  n Il faut modifier la FTBO au voisinage du point critique donc choisir  n proche de  c, ensuite on détermine a pour avoir une marge de phase correcte Correction

22 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 22 Influence des pôles Correction Perturbation Correcteur PID Correction Le correcteur PID théorique a une fonction de transfert : En pratique, on prend : avec a < 1.

23 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 23 Influence des pôles Correction Perturbation Compensation par retours dérivés Correction Les techniques de compensation par retours dérivés consistent à créer des boucles internes sur les grandeurs dérivées de la grandeur commandée ; par exemple, le système ci-dessus permet de réguler :  en position,  en vitesse,  en courant (puissance moteur)

24 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 24 Influence des pôles Correction Perturbation Influence des perturbations sur la précisions Perturbation entréeperturbation PoursuiteRégulation

25 Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 25 Influence des pôles Correction Perturbation Influence des perturbations sur la précisions Perturbation Besoin d’un intégrateur en amont de la perturbation


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