Signaux aléatoires.

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1 Signaux aléatoires

2 Introduction Définition Signal bidimensionnel dépendant d'une variable d'espace (le temps) et d'une variable aléatoire. Objectifs Comment caractériser ce type de signaux. Notion de stationnarité et d'ergodicité

3 Fonction aléatoire Soit une fonction aléatoire X(t,)
Pour t=ti , X(ti,) = Xi () variable aléatoire Pour i , X(t,i) = Xi (t) fonction classique

4 Caractéristiques statistiques Espérance Mathématique
Pour une infinité de réalisations Moment du 1er Ordre, moyenne statistique.

5 Caractéristiques statistiques Moments
Moment d'ordre n

6 Caractéristiques statistiques Variance
Fluctuation autour de la moyenne

7 Caractéristiques statistiques Corrélation et Covariance
Mesure de la dépendance

8 Caractéristiques statistiques
E[x] E[x]+x) E[x]-x)

9 Stationnarité Au sens strict Les densités de probabilité jointes de toutes les V.A sont indépendantes du temps Au 2éme ordre Les densités de probabilité jointes jusqu'à l'ordre 2 sont indépendants du temps

10 Stationnarité Conséquences

11 Stationnarité propriétés de la fonction de corrélation

12 Stationnarité propriétés de la fonction de corrélation

13 Exemples Bruit d'un AOP xn / xn+5 C(x)

14 Ergodisme Moyennes d'ensemble = Moyennes temporelles
Dans la pratique on ne dispose souvent que d'une réalisation du phénomène aléatoire. L'hypothèse d'ergodicité consiste à admettre que l'évolution d'un signal aléatoire au cours du temps apporte la même information qu'un ensemble de réalisations. Très difficile à prouver

15 Exemples Caractéristiques d'un AOP
Ergodique Bruit: après stabilisation thermique, le processus est stationnaire et ergodique Non ergodique Offset: Offset (t,i) = i i loi uniforme entre ± vo le processus est stationnaire et non ergodique

16 Densité Spectrale de Puissance
Un signal alèatoire ne possède pas de TF. Cependant on peut lui associer une notion de densité spectrale de puissance. Calcul de Sxx(f) en TD

17 Densité Spectrale de Puissance
Théorème de Wiener-Kintchine La fonction de corrélation et la densité spectrale de puissance sont TF l'une de l'autre

18 Généralisation Interactions
Soit deux processus aléatoires X et Y CXY et SXY sont complexes

19 Bruit Blanc Un bruit blanc est un processus aléatoire dont la densité spectrale est constante.

20 Bruit Blanc Sxx f C  a a 

21 Bruit Blanc à spectre borné
C'est un bruit blanc dont le spectre est constant sur une bande de fréquences.

22 Bruit Blanc à spectre borné
Sxx f C  a 2a 