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Signaux aléatoires. Introduction Définition Signal bidimensionnel dépendant d'une variable d'espace (le temps) et d'une variable aléatoire. Objectifs.

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1 Signaux aléatoires

2 Introduction Définition Signal bidimensionnel dépendant d'une variable d'espace (le temps) et d'une variable aléatoire. Objectifs Comment caractériser ce type de signaux. Notion de stationnarité et d'ergodicité

3 Fonction aléatoire Soit une fonction aléatoire X(t,  ) ✔ Pour t=t i, X(t i,  ) = X i (  ) variable aléatoire ✔ Pour  i, X(t,  i ) = X i (t) fonction classique

4 Caractéristiques statistiques Espérance Mathématique Pour une infinité de réalisations Moment du 1er Ordre, moyenne statistique.

5 Caractéristiques statistiques Moments Moment d'ordre n

6 Caractéristiques statistiques Variance Fluctuation autour de la moyenne

7 Caractéristiques statistiques Corrélation et Covariance Mesure de la dépendance

8 Caractéristiques statistiques E[x] E[x]+  x) E[x]-  x)

9 Stationnarité ✔ Au sens strict Les densités de probabilité jointes de toutes les V.A sont indépendantes du temps ✔ Au 2 éme ordre Les densités de probabilité jointes jusqu'à l'ordre 2 sont indépendants du temps

10 Stationnarité Conséquences ✔ Conséquence 1 ✔ Conséquence 2

11 Stationnarité propriétés de la fonction de corrélation

12

13 Exemples Bruit d'un AOP x n / x n+5 C(x)

14 Ergodisme Moyennes d'ensemble = Moyennes temporelles

15 Exemples Caractéristiques d'un AOP Ergodique Non ergodique Bruit: après stabilisation thermique, le processus est stationnaire et ergodique Offset: Offset (t,  i ) =  i  i loi uniforme entre ± v o le processus est stationnaire et non ergodique

16 Densité Spectrale de Puissance

17 Théorème de Wiener-Kintchine

18 Généralisation Interactions Soit deux processus aléatoires X et Y C XY et S XY sont complexes

19 Bruit Blanc Un bruit blanc est un processus aléatoire dont la densité spectrale est constante.

20 Bruit Blanc S xx f C  a  a

21 Bruit Blanc à spectre borné C'est un bruit blanc dont le spectre est constant sur une bande de fréquences.

22 Bruit Blanc à spectre borné S xx f C  2a a


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