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Fonction exponentielle: enchaînement de théorèmes théorème: Il existe une fonction définie sur R, notée exp, dérivable sur R et vérifiant: exp(0)=1 et.

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1 Fonction exponentielle: enchaînement de théorèmes théorème: Il existe une fonction définie sur R, notée exp, dérivable sur R et vérifiant: exp(0)=1 et pour tout x de R exp (x)=exp(x). Admis Mais: Plusieurs tracés avec des pas de plus en plus fins. Démontrer le théorème revient à étudier la convergence d une suite. h=0,5 h=0,1

2 Propriété: pour tout x de R exp(x)exp( x)=1 Corollaire: a) pour tout x de R exp(x) 0 b) pour tout x de R On considère la fonction F(x)= exp(x)exp( x) définie dérivable sur R. Théorème: il existe une unique solution à l équation différentielle y = y et y(0) = 1. Soit f une solution, la fonction définie par F(x)=f(x) exp( x) est dérivable sur R et F (x)=0 pour tout x. Ces premières démonstrations font appel au théorème vu en première une fonction f dérivable sur R, à dérivée nulle sur R, est constante sur R.

3 Théorème: pour tout x et x de R, exp(x+x )=exp(x) exp(x ) Corollaire: Corollaire: d où pour tout x, exp(x)>0 On fixe une des deux « variables » et on étudie la fonction définie par F(x)=exp(x+x )exp(-x) … Ce principe se retrouve: Dans l étude des surfaces z=f(x,y) et des sections avec y=a par exemple. Dans l étude des complexes, lien entre opérations [(z 1,z 2 ) z 1 +z 2 ] et transformations [(z,z 1 ) z =z+z 1 ]

4 Théorème: pour tout p appartenant à Z, exp(px)=exp(x) p D abord sur N, sans la récurrence, puis on démontre le passage aux négatifs On passe alors à l écriture e x. Le principe du raisonnement par récurrence sera mis en place, plus tard, pour rendre opératoire le de proche en proche.

5 Etude de la fonction exponentielle: Elle est strictement croissante sur R. Valeur approchée de e, méthode d Euler. Etude de la suite géométrique définie par: pour tout n de N, u n =e n (2 n

6 L équation x R, e x =, avec réel donné. Cas >1. Il existe un unique n tel que e n

7 L équation différentielle y = k y, avec k réel donné. 1°) a et b étant des réels, la fonction définie par f(x)=e ax+b est telle que pour tout x de R f (x)=a f(x) 2°)la fonction définie par f(x)=e kx est donc solution. 3°)méthode de la variation de la constante: soit g une autre solution on considère F telle que F(x)=g(x)e -kx. 4°) unicité de la fonction solution dont la courbe passe par un point donné. Théorème: L ensemble des solutions de l équation différentielle y =ky est l ensemble des fonctions F telles que F(x)=Ce kx, avec C nombre réel.

8 Pb: Quelles sont les fonctions dérivables sur R telles que: pour tout (x;y) f(x+y)=f(x)f(y) ? 1°) la fonction nulle est solution. 2°) si f n est pas la fonction nulle et si f est solution alors pour tout x de R f(x) 0 (par l absurde). 3°) alors f(0)=1. 4°) Relation entre f et f : pour tout x, f (x)=f (0)f(x). 5°) Les solutions sont les fonctions définies par f(x)=e f (0)x. On avait vu que la fonction exponentielle vérifiait la relation fonctionnelle, est-ce qu il y en a d autres? La démonstration du 4°) est un moment important de la gestion des quantificateurs et des lettres, quelle est la variable? quel est le paramètre?


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