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30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine1 Les marchés de taux dintérêt.

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1 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine1 Les marchés de taux dintérêt

2 Le zéro-coupon 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine2 F 0 = 100 F 1 = 105 i = 5 % Le taux i = 5% est-il un taux dintérêt ? un taux de rendement ? un taux dactualisation ? Prêt + Remboursement Achat + Revente

3 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine3 Trois techniques de calcul Les taux simples (monétaires) Les taux composés (actuariels) Les taux continus

4 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine4 Lintérêt simple I = i F t Le flux FLa durée t Post-compté = Lintérêt est calculé sur le flux initial F = F 0 Précompté = Lintérêt est calculé sur le flux final F = F t Base t = d / A t = Exact / 360 t = Exact / 365 t = Exact / Exact t = 30 / Le nominal peut être F 0 et lintérêt est payable à léchéance (IPE) ou F t et lintérêt est payable davance (IPA)

5 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine5 Les taux monétaires (simples) 0 t Durée t CapitalisationActualisationRendement Post-compté Précompté Attention à la mesure de t !

6 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine6 Exercice n° 1 Le marché primaire des Bons du Trésor Quel est le montant dû, lors dune adjudication de Bons du Trésor à 13 semaines, pour une soumission de 10 millions deuros, au taux de 1,35 % ? NB : Le taux pratiqué est post-compté IPA

7 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine7 Les taux actuariels (composés) 0 t Durée t Capitalisation ActualisationRendement actuariel Attention à la mesure de t !

8 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine8 La « norme » du taux actuariel Exemple classique de conversion dun taux monétaire i m en un taux actuariel i a pour une durée dapplication de d jours :

9 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine9 Exercice n° 2 Le marché secondaire des Bons du Trésor Suite de lexercice n° 1 : Les Bons du Trésor acheté lors de ladjudication sont revendus au bout dune période de 21 jours au taux de 1,05 %. Quelle est la valeur de cession ? Quel est le rendement actuariel de lopération dachat/vente ?

10 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine10 Les taux continus (composés) 0 t Durée t CapitalisationActualisation Rendement continu

11 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine11 Interprétation du taux continu Limite de la capitalisation dun taux dintérêt simple r = 5 % Nb de périodesFormuleCapital dans 1 an 1 (année)1 + r1, (semestres)(1 + r/2) 2 1, (trimestres)(1 + r/4) 4 1, (mois)(1 + r/12) 12 1, (jours)(1 + r/365) 365 1, Infinierer 1, On obtient donc si i est le taux sur 1 an : e r = (1+i) ou r = ln(1+i) (NB : On peut aussi intégrer léquation différentielle dF = r F dt … !)

12 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine12 Utilisations comparées Comparez les 3 types de taux, simples, actuariels et continus, pour le calcul dun taux global ou moyen. - Un même taux est appliqué sur 2 périodes successives de durées t 1 et t 2 - On applique 2 taux différents sur 2 années successives - Un portefeuille est composé de 2 actifs de rendements annuels différents, dans les proportions 1 et 2.

13 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine13 Exercice n° 3 Les taux Euribor Sur un tableur … Convertir les taux Euribor du jour, pour les maturités de 1 à 12 mois, en taux actuariels et en taux continus. Représentations graphiques.

14 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine14 Les structures de flux Une opération de taux peut correspondre à lacquisition dune structure de flux. Prix P F1F1 F2F2 FnFn t1t1 t2t2 tntn La décomposition en n emprunts zéro-coupon, avec un même rendement actuariel i, permet décrire :.....

15 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine15 Prix et rendement actuariel Le prix est entraîné à la baisse par la hausse du taux Le rendement actuariel saméliore quand le prix est bas Prix Rendement P i

16 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine16 Lanalogie avec lactualisation pour une opération dinvestissement Années012…n EncaissementsR1R1 R2R2 …RnRn Décaissements I D1D1 D2D2 …DnDn Le cash-flow de lannée i est CF i = R i - D i

17 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine17 Introduction au risque de taux Achat de 2 emprunts zéro-coupon au taux de 5 %. ActifPrix démissionRemboursement Zéro-coupon 2 ans Zéro-coupon 5 ans × 1,05 2 = 110, × 1,05 5 = 127,63 Immédiatement après lacquisition, les taux passent à 6 %. ActifPrix de marchéRemboursement Zéro-coupon 2 ans Zéro-coupon 5 ans 110,25/1,06 2 =98,12 127,63/ =95,37 110,25 127,63

18 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine18 La duration dun zéro-coupon La variation que subit le prix de marché dun zéro- coupon lorsque le taux dintérêt varie est dautant plus forte que sa durée est longue. Ainsi, pour un zéro-coupon, Duration = Durée

19 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine19 Duration dune structure de flux P F1F1 F2F2 FnFn t1t1 t2t2 tntn La duration dune structure de flux est la moyenne des durées pondérées par les flux actualisés. D.....

20 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine20 Exemple de duration D i = 10 %

21 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine21 La sensibilité La sensibilité mesure le rapport entre la variation du prix, en pourcentage, et la variation du taux dintérêt. Une sensibilité égale à 5 signifie que le prix baisse de 0,05 % quant le taux monte dun point de base (0,01 %). On démontre que sensibilité et duration sont reliés par :

22 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine22 La date dimmunisation P F1F1 F2F2 FnFn t1t1 t2t2 tntn La duration peut être comprise comme la date à laquelle la valeur de la structure est insensible à la variation des taux Si les taux montent : D..... Le gain réalisé sur la capitalisation des flux reçus jusqu'à la date D, compense La perte réalisée par lactualisation des flux à la date D.

23 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine23 Anticipation de hausse des taux dintérêt Un investisseur anticipe une hausse régulière des taux dintérêt jusquà la date D (durée du placement). Comment doit-il placer ses ressources ?

24 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine24 Anticipation de baisse des taux dintérêt Un investisseur anticipe une baisse régulière des taux dintérêt jusquà la date D (durée du placement). Comment doit-il placer ses ressources ?

25 Le marché obligataire Les obligations à taux fixe –Amortissement in fine –Zéro-coupon, rente perpétuelle et prêt amortissable Les obligations à taux variable –Références pré et post-déterminées Les clauses particulières –Indexation, primes, obligations assimilables

26 Taux fixe coupon annuel En labsence de prime à lémission et de prime au remboursement, le rendement actuariel est égal au taux du coupon (à démontrer…). Après lémission, le prix se décompose en prix pied de coupon et coupon couru

27 Exercice sur Excel Identifier sur Internet les caractéristiques dun emprunt détat français (OAT) et prélevez son cours et coupon couru. Calculer le taux de rendement actuariel, la duration, la sensibilité et la convexité.

28 Le prêt amortissable à taux fixe A chaque période, une part du capital emprunté est remboursée Lintérêt est calculé sur le capital restant dû (encours ou KRD) Le total remboursé est la somme des intérêts payés et du capital « amorti ». Il peut être constant sur lensemble de la période de remboursement.

29 30/05/2014JM Dalbarade29 Exercice Un emprunt de $ est remboursé en 3 annuités constantes de $ pendant les 3 années suivantes. 1.En construisant le plan damortissement du prêt, vérifiez que le taux dintérêt est de 10 % ? 2.Quel est le taux rendement actuariel du prêt ? 3.Peut-on décomposer le prêt en 3 zéro-coupons ?

30 30/05/2014JM Dalbarade30 Lannuité de remboursement dun prêt amortissable

31 La rente perpétuelle Le capital nest jamais remboursé…

32 Les emprunts à taux variable Références prédéterminées : Les taux sont prélevés avant le début de la période d'application (exemple : Euribor). Références post-déterminées : Les taux sont prélevés à la fin de la période d'application (exemple : TAM). Montants d'intérêt variables Achat de l'emprunt

33 Les indices de taux d'intérêt Euribor( ou Libor ) Taux monétaires de 1 à 12 mois Eonia( TJJ ) Taux monétaire au jour le jour TMM (T4M) Moyenne arithmétique des EONIA d'un mois TAM Composition de 12 TMM consécutifs TEC 10 Taux actuariel d'une OAT de 10 ans (obtenu par interpolation)

34 Les coupons des emprunts à taux variable A l'indice prélevé s'ajoute une marge commerciale soit additive Exemple : Euribor + 0,5 % soit multiplicative Exemple : 1,1 × TAM soit mixte Exemple : 0,9 × TAM + 0,5 % Des seuils plafond et plancher peuvent être définis.

35 Le prix et le coupon des emprunts Le coupon…Le prix… Emprunt à taux fixe…reste fixe…sadapte Emprunt à taux variable…sadapte…reste fixe Quand les taux dintérêt changent … … approximativement

36 Le risque associé à un emprunt à taux variable Le risque "instantané" est très faible, limité à l'influence du premier coupon à recevoir. Le risque relatif à un horizon futur est croissant avec cette date d'évaluation.

37 La marge actuarielle Cristallisation Tr = Rendement actuariel après cristallisation Tc = Taux de cristallisation Marge actuarielle Ma = Tr - Tc

38 La courbe des taux d'intérêt La courbe des taux d'intérêt est la représentation graphique des taux en fonction des durées sur lesquelles ils s'appliquent. Pour que les comparaisons selon ces durées soient pertinentes, il convient d'utiliser des taux composés, par exemple des taux actuariels. Pour que les durées d'application soient clairement définies, on ne retient que des opérations à deux flux, c'est-à-dire des emprunts zéro-coupon.

39 Actualisation sur la courbe des taux P F1F1 F2F2 FnFn t1t1 t2t2 tntn La décomposition en emprunts zéro-coupon d'une structure de flux implique l'usage de taux d'intérêt différents prélevés sur la courbe des taux zéro-coupon......

40 Exercice A partir des taux zéro-coupon ci-dessous, Durées1 an2 ans3 ans Taux zéro0,5 %1 %1,5 % quel est le taux de référence (hors marge commerciale) dun emprunt obligataire à taux fixe, coupon annuel, de durée 3 ans, émis et remboursé au pair ?

41 Calcul d'un taux à terme (1) Hypothèse : Taux zéro-coupon à 1an = 4 % Taux zéro-coupon à 2 an = 5 % Quel est le taux à terme à 1an dans 1an ? i ? 2 Taux à terme ?

42 Calcul d'un taux à terme (2) Opération de terme contre terme : Le montant emprunté (sur 2 ans) est de 1/1,04 Le montant produit par le placement sur 1an est alors de 1 Le montant remboursé 1 an plus tard est donc ( 1/1,04 ) × 1,05 2 = 1,0601 Le taux à terme est donc de 6,01 % i Placement à 4 % Emprunt à 5 %

43 La théorie des anticipations Si le taux anticipé est inférieur à 6 % Emprunt à 4 % sur 1 an + Placement à 5 % sur 2ans Si le taux anticipé est supérieur à 6 % Emprunt à 5 % sur 2 ans + Placement à 4 % sur 1an Le taux à terme, déduit de la courbe des taux, est le taux anticipé par le marché ( LUTZ ) % 6 % 5 % Le refinancement au taux du 1 an (1iercas) ou le replacement à 1an (2ème cas) assure un gain spéculatif.

44 Exemple dune couverture à terme de taux dintérêt Une entreprise doit emprunter dans 3 mois un montant de pour une durée de 6 mois. 6 mois Aujourdhui 3 mois Taux dintérêt ? Intérêt ? Comment peut-elle fixer dès aujourdhui le taux dintérêt futur ?

45 Le terme contre terme Lentreprise qui souhaite emprunter dans 3 mois pour une durée de 6 mois peut : Emprunter immédiatement sur une durée de 9 mois. Placer temporairement sur une durée de 3 mois. Placement 3 mois Emprunt sur 9 mois 6 mois L'entreprise fixe ainsi le montant reçu dans 3 mois et le montant remboursé 6 mois plus tard, c'est-à-dire son taux à terme.

46 Le FRA (Forward Rate Agreement) Date de conclusion ………………………… Acheteur et vendeur ……………………………. Montant…………………………………………... Période dapplication ……………………… Taux fixe ……………………………………….... Taux variable ……………………………… Date de détermination du taux variable ……...

47 Le FRA (questions) Comment est calculé le différentiel ? Comment est déterminé le taux fixe ? Comment couvrir un FRA ?

48 Exercice Durée1 an2 ans3 ans4 ans5 ans Taux zéro0,5 %1 %1,5 %2 %2,5 % A partir des taux zéro-coupon ci-dessous, calculer tous les taux à terme calculables sans interpolation, ni extrapolation… Mais au fait, combien y-a-til de taux à terme calculables ?

49 Interprétation de la courbe des taux Selon la théorie des anticipations : Une courbe des taux normale (croissante) correspond à une anticipation de hausse des taux. Une courbe des taux inversée (décroissante) correspond à une anticipation de baisse des taux.


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