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1 Il y a problème et problème Maggy Schneider Université de Liège.

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1 1 Il y a problème et problème Maggy Schneider Université de Liège

2 2 Les problèmes en mathématiques : difficiles mais incontournables « Ne dites pas : ce problème est difficile. Sinon, ce ne serait pas un problème (Poincaré)

3 3 Les problèmes en mathématiques : un sujet récurrent

4 4 Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vue Idée de malaise, dobstacle : Idée de malaise, dobstacle :

5 5 Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vue Idée de malaise, dobstacle : Idée de malaise, dobstacle :

6 6 Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vue Idée de forme dapprentissage : Idée de forme dapprentissage :

7 7 Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vue Ou dabsence de guidance : Ou dabsence de guidance :

8 8 Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vue Idée de nouveauté : Idée de nouveauté :

9 9 Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vue Réponses détudiants : Obstacle, malaise, nouveauté, difficulté liée au problème ou à lun ou lautre concept, nouveauté, absence de guidance, gymnastique intellectuelle, modélisation de problèmes « concrets », appel au raisonnement logique, réorganisation de données, absence de « recette » et obligation de choisir une méthode ou plusieurs, … Obstacle, malaise, nouveauté, difficulté liée au problème ou à lun ou lautre concept, nouveauté, absence de guidance, gymnastique intellectuelle, modélisation de problèmes « concrets », appel au raisonnement logique, réorganisation de données, absence de « recette » et obligation de choisir une méthode ou plusieurs, … Fonctions didactiques : évaluation, introduction dun concept, motivation des élèves, … Fonctions didactiques : évaluation, introduction dun concept, motivation des élèves, …

10 10 Les problèmes en mathématiques : des questions à problématiser Quest-ce quun problème concret ? Quest-ce quun problème concret ? La modélisation mathématique se réduit-elle à une démarche de traduction du langage courant en langage mathématique ? La modélisation mathématique se réduit-elle à une démarche de traduction du langage courant en langage mathématique ? La résolution des problèmes est-elle réservée à des élèves forts ? La résolution des problèmes est-elle réservée à des élèves forts ? Motive-t-on les élèves à travers les problèmes ? Motive-t-on les élèves à travers les problèmes ? Par quel type de guidance les aider sans vendre la mèche? Par quel type de guidance les aider sans vendre la mèche? Y a-t-il des contenus qui « posent problème » plus que dautres ? Y a-t-il des contenus qui « posent problème » plus que dautres ?

11 11 Trois façons, parmi dautres, de parler des problèmes De la psychologie à la didactique, on sintéresse à la résolution de problèmes mais pas forcément de la même manière De la psychologie à la didactique, on sintéresse à la résolution de problèmes mais pas forcément de la même manière Visite de trois « lieux » où lon parle de problèmes, à travers des exemples Visite de trois « lieux » où lon parle de problèmes, à travers des exemples

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14 14 De lidée de difficulté aux obstacles psychologiques Psychologues du comportement : attitudes et habitudes mentales des sujets, restrictions implicites, … Psychologues du comportement : attitudes et habitudes mentales des sujets, restrictions implicites, … exemples : allumettes de Duncker, 9 points de Maier, sections planes de solides, brainstorming

15 15 Oser sortir du cube …

16 16 Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ? Construire un triangle dont on donne les longueurs des trois médianes :

17 17 Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ? « Considérons le problème comme résolu » Recherche de lieux auxquels appartiennent des points clés : il faudrait deux lieux pour un même point

18 18 Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ? Deux lieux pour E : cercle C 3 et cercle C 2, image de C 1 lieu de D par une homothétie

19 19 Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ? Méthode des deux lieux: « Dabord, ramener le problème à la construction dUN SEUL point. Puis diviser la condition en DEUX parties telles que chacune delles fournisse un lieu géométrique pour le point inconnu; chaque lieu étant soit une droite, soit un cercle » (Polya) Exemples : construction dun triangle dont on connaît les côtés, détermination dune fonction répondant à plusieurs conditions à partir dun modèle paramétré

20 20 Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ? Débat, en psychologie cognitive, sur lefficacité des méthodes générales ou celle de méthodes spécifiques Etapes dune résolution de problèmes par Schoenfeld : lecture de lénoncé, analyse du problème, exploration des solutions possibles, planification dune ou plusieurs stratégies de résolution, application de la ou des solutions, vérification de la solution en regard des données initiales Etapes dune résolution de problèmes par Schoenfeld : lecture de lénoncé, analyse du problème, exploration des solutions possibles, planification dune ou plusieurs stratégies de résolution, application de la ou des solutions, vérification de la solution en regard des données initiales Méthodes spécifiques : méthode des deux lieux, méthode des figures semblables (construction dun triangle dont on donne les angles et le périmètre) Méthodes spécifiques : méthode des deux lieux, méthode des figures semblables (construction dun triangle dont on donne les angles et le périmètre)

21 21 Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ? « Un problème de géométrie analytique étant posé, après avoir reconnu à quel genre, parmi ceux que nous allons indiquer, il appartient, nous voulons donner les indications générales qui permettent darriver, aussi simplement que possible, à la solution quil comporte. Chaque énoncé particulier doit dabord être classé; quand on a trouvé son genre, on applique au problème proposé les idées qui sont attachées à ce genre. Elles donnent une voie; il ne reste plus quà diriger les calculs avec exactitude » (Cours à lusage des Candidats à lEcole Centrale et à lEcole Polytechnique) Efficacité plus grande des méthodes spécifiques

22 22 Et ces fameuses « situations-problèmes » ? « La coquille de largonaute » : une « situation- problème » relative à un cas de similitude Il sagit de faire découvrir aux élèves le cas de similitude de deux triangles qui sappuie sur légalité de deux angles en leur faisant construire une spirale rectiligne et analyser ses propriétés (programme FESeC)

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25 25 Savoirs concurrents des cas de similitude Un préambule : « Axiome fondateur de la géométrie, le principe de légalité par superposition sappuie essentiellement sur la notion de mouvement; la géométrie est ainsi fondée empiriquement sur le lien entre corps solide et mouvement, et cest la coïncidence par transport dun corps sur un autre qui permet de conclure à légalité de deux corps […]. Le problème de la géométrie est alors dénoncer a priori des conditions dégalité, ce qui permettra d éliminer le mouvement, remplacé par un raisonnement sappuyant sur des critères dégalité ainsi définis » (R. Bkouche) Donc la référence au mouvement ou lexploitation des isométries concurrencent lutilisation des critères disométrie. Et pour la similitude ?

26 26 Savoirs concurrents des cas de similitude Pour vérifier que deux triangles sont semblables, on peut : Déplacer lun dans lautre et vérifier le parallélisme des cotés non confondus (daprès le texte, les élèves sont censés savoir que les triangles sont alors homothétiques) Déplacer lun dans lautre et vérifier le parallélisme des cotés non confondus (daprès le texte, les élèves sont censés savoir que les triangles sont alors homothétiques) Démontrer la similitude en exploitant légalité des angles correspondants et le théorème de Thalès dans les triangles Démontrer la similitude en exploitant légalité des angles correspondants et le théorème de Thalès dans les triangles Mettre en évidence lexistence dune similitude qui envoie lun sur lautre Mettre en évidence lexistence dune similitude qui envoie lun sur lautre Utiliser un critère de similitude Utiliser un critère de similitude Ici les élèves utilisent ce quils savent faire et ce qui est induit par lénoncé mais ne tombent pas … sur le savoir visé !

27 27 Le caractère fondamental des « situations-problèmes » Doù une caractéristique importante des « situations-problèmes » : le savoir visé doit être la réponse optimale, si ce nest exclusive, pour répondre à la question posée et aux questions du même type

28 28 Un « flou artistique » autour des « situations-problèmes » Une pédagogie de la recherche (programmes FESeC); caractéristiques dune situation dapprentissage : Elle constitue un défi, suscite un étonnement, crée une surprise, Elle invite lélève à faire quelque chose (compter - faire un dessin - calculer - couper …), Elle laisse à lélève une certaine liberté quant au choix de sa méthode et de ses conjectures et met en œuvre sa créativité Elle est issue du terrain de lélève Elle met en œuvre une réflexion qui dépasse lutilisation immédiate de résultats antérieurs Elle permet de rencontrer plusieurs notions différentes Elle conduit lélève à rédiger sa démarche, son raisonnement

29 29 Le questionnement des mathématiques comme rupture épistémologique de la didactique avec les autres sciences de léducation « La singularité originaire de la didactique consiste à prendre comme objet premier à étudier (et donc à questionner, à modéliser et à problématiser selon les règles de lactivité scientifique), non pas le sujet apprenant ou le sujet enseignant, mais le savoir mathématique quils sont censés étudier ensemble, ainsi que lactivité mathématique que leur projet commun détude les portera à réaliser. Pour expliquer les faits denseignement auxquels elle se voit confrontée, la didactique postule que le mystère est dans les mathématiques, et non pas dans les sujets qui ont à apprendre et à enseigner les mathématiques. » (M. Bosch, Y. Chevallard, 1999)

30 30 Le questionnement des mathématiques comme rupture épistémologique de la didactique avec les autres sciences de léducation En particulier, la possibilité de faire travailler les élèves « en autonomie » est fonction dune bonne « adéquation » entre la question posée et le savoir mathématique visé. Doù lintérêt de penser « math » avant de penser « élèves »

31 31 Quel est limpact des «situations-problèmes » qui nont pas un caractère fondamental ? Les élèves ne sont pas dupes du caractère factice de certaines situations concrètes Les élèves ne sont pas dupes du caractère factice de certaines situations concrètes A la longue, cela provoque désintérêt et dérespon- sabilisation des élèves A la longue, cela provoque désintérêt et dérespon- sabilisation des élèves Nécessité dinscrire les « situations-problèmes » dans un cadrage didactique plus vaste : TSD et TAD Nécessité dinscrire les « situations-problèmes » dans un cadrage didactique plus vaste : TSD et TAD


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