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Series Temporelles Caracteristiques des donnees Financieres Tests.

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1 Series Temporelles Caracteristiques des donnees Financieres Tests

2 Comportement des Series Financieres La base de lanalyse repose sur les taux de rendements Raison –Concurrence parfaite, pas de rendements dechelle –Comportement distinct des rendements et des prix facilitant la construction de modeles de prevision Se mefier des prix (analyse en niveau) !

3 Exemples

4 Caracteristiques des Prix Trends et renversements de tendance Pas de retour a la moyenne Volatilite augmente avec le temps (infinie) Exemple: Ecart type AUD/USD hebdo – : 10.5% – : 22.4% Decroissance tres lente des autocorrelations sur echantillon fini NON STATIONARITE

5 Rendements

6 Carateristiques des Rendements Definition en temps discret: R(t)=P(t)/P(t-1)-1 En temps continu: r(t)=log(Pt)-log(Pt-1) Rendement cumule entre 2 periodes: r(k periodes)=r(1)+r(2)+...r(t-k+1) Pas de tendance Evolution autour dune moyenne constante Sur grand echantillon, volatilite constante STATIONARITE

7 Stationarite Faible: Definition Soit y une variable aleatoire stationnaire au sens faible Moyenne: E(y t )= Variance: E[(y t - ) 2 ]= 2 = (0) Autocovariance: E[(y t - ) (y t-k - )]= (k) Autocorrelations: (k)= (k)/ (0) Les series temporelles sont le plus souvent analysees sur la base de leur fonction dautocorrelation Meme information, meme forme

8 Ergodicite Des valeurs separees par un grand intervalle de temps doivent etre peu correlees Decroissance des autocorrelations Moyenne et variance calculees sur un echantillon donnent une estimation consistente des vraies valeurs des parametres

9 Autocorrelations

10 Marche Aleatoire Efficience de marche –Roberts (1967): The information set includes all information known to all a participants –Pas de profits excessifs par des agents informes –Black (1971): If the price is going up, it should move up all at one, rather than in a series of small steps Samuelson: Perfectly anticipated prices fluctuate randomly) Hypothese continuellement testee par les chercheurs

11 Demonstration Samuelson (1965): Le prix P(t) est fonction dune variable fondamentale V Iteration des esperances de rendements P(t)=E(V* | I(t) )=E t (V*) P(t+1)=E(V* | I(t+1) )=E t+1 (V*) E t (P(t+1)-P(t))= E t (E t+1 (V*))- E t (V*)=0

12 Lien avec Calcul Stochastique P(t+1)=a+ P(t)+e(t+1) E( P(t)| P(0))=P(0)+at Var( P(t) | P(0) )=s 2 t Si e est distribue selon N(0, s 2 ) le prix suit un processus Brownien arithmetique dP(t)=a t + s dB(t) avec B processus de Wiener Si P est Brownien geometrique: dP/P suit une marche aleatoire

13 A Retenir La majorite des modeles deconometrie financiere sont valides sous hypothese de stationarite Necessaire de tester la stationarite des donnees avant lapplication de modeles

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15 Spurious Regression Ordinary Least-squares Estimates R-squared = Rbar-squared = sigma^2 = Durbin-Watson = Nobs, Nvars = 840, 2 ********************************************************* Variable Coefficient t-statistic t-probability Constante Coefficient

16 Spurious Regression Y=MSCI Australie X=Taux dinteret en Allemagne Aucune relation economique Forte relation statistique

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18 Exemple Y 2t = Y 2t-1 +u t Y 1t = Y 1t-1 +v t Estimation par Moindres Carres Ordinaires Y 2t =a+b Y 1t +z t (a,b)=ArgMin(z t z t ) Avec des tests conventionels a 5%, lhypothese nulle b=0 est rejetee dans 75% des cas

19 Identification du Probleme Le test de Durbin Watson= test dautocorrelation dordre 1 des residus e t = e t-1 +f t Si 0 violation des conditions MCO et le coefficient de regression est biaise, les erreurs sont sous-estimees =0: Valeur attendue=2 < 2 sil y a autocorrelation positive (au pire=0) Entre 2 et 4 si autocorrelation negative

20 Premiere Solution 1) Inclure les valeurs passees dans la regression Y 2t =a+a 1 Y 2t-1 + b 1 Y 1t +b 2 Y 1t- 1+h t Les coefficients b 1 et b 2 convergent vers leurs vraies valeurs T test est asymptotiquement N(0,1) Mais le test joint F sur b 1 et b 2 a une distribution non standard

21 Meilleure Solution 2) Differencer les variables afin quelles soient stationaires Y 2t =a+b Y 1t +u t u t est stationaire Comportement attendu des tests t et F

22 Ordre dIntegration Une serie stationaire apres differentiation simple est integree dordre 1: I(1) Si stationaire apres d differentiations est integregree dordre d: I(d) Une serie stationaire est notee I(0) Y t =a+Y t-1 +e t I(1) Y t = Y t - Y t-1 =a+e t I(0)

23 Test Traditionnel 1000 observations Y t = Y t-1 +e t t test nous informe si b 0, et non b=1 Ordinary Least-squares Estimates R-squared = Rbar-squared = sigma^2 = Durbin-Watson = Nobs, Nvars = 1000, 2 ************************************************** ************* Variable Coefficient t-statistic t-probability variable variable

24 Test de Dickey Fuller Y t =b 0 +b 1 Y t-1 +e t Determiner si b 1 =1 (racine unitaire) or <1 (stationarite) Soustraire Y t-1 des deux cotes Y t - Y t-1 = b 0 +(b 1 -1) Y t-1 +e t Y t =b 0 + Y t-1 +e t Test: H0: =0 Racine Unitaire H1: <0 Stationarite

25 Tests Complementaires Tester 3 types de specification 1) Marche aleatoire pure Y t = Y t-1 +e t 2) Random walk with drift Y t =b 0 + Y t-1 +e t 3) Random walk with drift and deterministic trend Y t =b 0 + Y t-1 +ct+e t

26 Test ADF Augmente par inclusion dautocorelation dordre superieur a 1 Y t =b 0 +b 1 Y t-1 +b 2 Y t-2 +et Le test DF est biaise car les residus sont autocorreles Rajouter les differences jusqua ce que lautocorrelation disparaisse Y t =b 0 + Y t Y t-1 +… n Y t-n +e t

27 Exemple 1 Le modele le plus approprie est probablement RW with drift and trend

28 Exemple 2 Pas de tendance Le meilleur modele semble etre un RW with drift

29 Taille de lEchantillon Taille versus frequence Simulation: y t = *y t-1 + e t La serie est stationaire Nbre de fois hypothese de racine unitaire est rejetee? Conclusion de + en + forte que la serie est I(1)


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