Test de signification d’une ANOVA à deux critères de classification: sans réplication, modèle I, plan factoriel Tester CMeffet sur CMerreur... … mais,

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1 Test de signification d’une ANOVA à deux critères de classification: sans réplication, modèle I, plan factoriel Tester CMeffet sur CMerreur... … mais, souvenez vous que toute inférence dépend et doit tenir compte de la condition de l’absence d’interaction! Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

2 Test de signification d’une ANOVA à deux critères de classification: sans réplication, modèle II, plan factoriel Tester CMeffet sur CMerreur Les inférences sont valides même s’il y a présence d’interaction. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

3 Test de signification d’une ANOVA à deux critères de classification: sans réplication, modèle III, plan factoriel Tester CMeffet sur CMerreur Quand il y a un facteur fixe, les inférences sont valides même s’il y a interaction Pour un facteur aléatoire, les inférences ne sont valides que s’il n’y a pas d’interaction. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

4 ANOVA à mesures répétées
Utilisée quand la même unité d’échantillonnage (individus, champs, etc…) est utilisé pour différents traitements. Ex: la pression sanguine d’un patient avant, 1 mois et 2 mois après un traitement contre l’hypertension. On peut considérer cette ANOVA comme une ANOVA type III, le temps (facteur 1) est fixe, le patient (facteur 2) est aléatoire et est utilisé comme réplicat. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

5 Covariance La covariance de l’échantillon entre deux variables X et Y est: Cov(X,Y) = 0 si X et Y sont indépendants, < 0 s’ils sont corrélés négativement, et > 0 s’ils sont positivement corrélés. Covariance Variance La matrice de covariance est une matrice dont les éléments sur la diagonale sont les variances et les autres, hors de la diagonale, sont les covariances. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

6 Conditions d’application de l’ANOVA à mesures répétées
Toutes les conditions habituelles d’une ANOVA et... …les données doivent rencontrer la condition de compound symmetry, c’est-à-dire que les valeurs de la diagonale de la matrice de covariance sont égales, tout comme les valeurs hors de la diagonale. Si cette condition n’est pas respectée, utiliser le test statistique de Greenhouse-Geisser ou Huyndh-Feldt. Covariance Variance Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

7 Exemple: Effet de l’âge sur la largeur du visage chez les filles
6.50 6.75 7.00 7.25 7.50 7.75 8.00 Les sommes des carrés sont réparties pour les individus, selon l’âge (CMâge) et pour les individus, pour un âge CMerreur H0: F = CMâge/ CMerreur est petit Largeur du visage (cm) 5 6 7 Âge (années) Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

8 Exemple: Effet de l’âge sur la largeur du visage chez les filles
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9 ANOVA à critères multiples, alternative non-paramétrique
Effet de la température (fixe) et du type de plant (fixe) sur la production primaire nette (gC m-2 j-1), 4 réplicats (parcelle) par traitements Calculer les rangs et procéder à une ANOVA à deux critères de classification de type I sur les rangs. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

10 Test de signification d’une ANOVA à deux critères de classification non-paramétrique
Tester H = SCeffet sur CMtotale Comparer H à la distribution du c2 avec le nombre de degrés de liberté correspondant. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

11 Effet du sexe et du site sur le poids de l’esturgeon
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12 ANOVA à critères multiples: plan à blocs aléatoires
Pour les plans factoriels (entièrement aléatoire) chaque observation est indépendante des autres. Dans certains plans (plan à blocs aléatoires), une observation pour un traitement est reliée d’une certaine façon à une observation des autres traitements. L’ensemble des observations reliées constitue un “bloc”. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

13 Plans entièrement aléatoire versus blocs aléatoires
On choisit au hasard, un porcelet d’une portée de chacune des 20 truies. On assigne à ces porcelet une diète spéciale. Les observations recueillies sont entièrement aléatoires et le modèle que l’on devrait choisir serait l’ANOVA à un critère de classification de type I. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

14 Plans entiérement aléatoire versus blocs aléatoires
Pour chaque truie, on choisit 4 porcelets au hasard. Chaque porcelet est assigné aléatoirement à une des 4 diètes spéciales. Comme les 4 porcelets d’une même portée sont reliés, ils constituent un bloc et le plan approprié serait une ANOVA à deux critères de classification de type III (diète, fixe), portée (blocs, aléatoire). Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

15 Blocs aléatoires: ANOVA à deux critères de classification de type III
Le plan à deux facteurs et blocs aléatoires se calcule comme une ANOVA à deux critères de classification de type III sans réplication. Le facteur 1 (fixe) et le facteur 2 (blocs) est toujours aléatoire. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

16 Exemple: la croissance des plantes avec différents traitements de fertilisation
Des gradients de température, d’humidité, de lumière, etc… sont instaurés dans une serre ou un champs. Cinq blocs sont créés, 4 parcelles pour chacun. On assigne à chacune des parcelles un fertilisant différent (1,2,3,4). 1 4 2 3 2 1 3 4 4 3 1 2 1 3 4 2 3 4 1 2 Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

17 Exemple: la croissance des plantes avec différents traitements de fertilisation
H0: le taux de croissance est le même pour tous les traitements rejeter H0: p(traitement) = .0007 p(blocs) = .08, attention, c’est peut-être l’indication d’une certaine variabilité environnementale entre les champs. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

18 Blocs aléatoires, alternative non-paramétrique
Si le nombre de niveaux k du facteur fixe ne respecte pas les conditions d’application d’une ANOVA paramétrique, utiliser le test de Friedman. Pour un nombre de groupes (traitements) a et un nombre de blocs b, le test statistique est le suivant: Ri est la somme des rangs pour le groupe I, et le test statistique suit environ la distribution du c2 Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

19 Exemple: la croissance des plantes avec différents traitements de fertilisation
H0: Ri est identique pour tous les traitements Alors, on rejette H0: p(traitement) = .008 Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

20 Les valeurs représentent les moyennes N = 5 champs, en tonnes/hectare
Puissance et taille de l’effectif pour l’ANOVA à deux critères de classification de type I La puissance maximale pour un effectif donné N est obtenue avec un plan équilibré (on a le même nombre d’observations dans chaque cellule). Les valeurs représentent les moyennes N = 5 champs, en tonnes/hectare Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

21 Deux facteurs (A et B), on a a niveaux pour le facteur A et b niveaux pour le facteur B à un a donné (k’ = a ou b) . Pour un plan équilibré avec n’ observations par cellule, mm est la moyenne de chaque cellule Si la variabilité intra-groupe s2 (CMerreur), on peut calculer f pour chaque facteur: Puissance et taille de l’effectif pour l’ANOVA à deux critères de classification de type I Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

22 Calcul de la puissance pour un f donné
1-b Diminution de n2 n1 = 2 a = .05 2 3 4 5 a = .01 1 1.5 2.5 Pour un n1 donné (dl des facteurs, ex: a-1, b-1), n2 (dl d’une cellule (erreur), a et f, on peut obtenir 1-b de tables ou de courbes (ex: Zar (1996), Appendice Figure B.1) f(a = .05) f(a = .01) Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

23 ANOVA de type I: plus petite différence détectable
Supposons que l’on veut détecter les différences entre les moyennes des échantillons les plus différents et ce, pour chaque niveau d’un des facteurs (A, B) au moins d. Afin de tester au seuil de signification a avec une puissance 1 - b , on peut calculer la taille de l’effectif minimum nmin requis pour détecter d, pour une variance s2 donnée. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

24 Puissance du test: effets principaux
Si on accepte H0 , on peut quand même calculer la puissance. C’est une bonne pratique! On connaît CMfacteur , (s2 = CMerreur), et k’, on peut calculer f pour chacun des effets principaux. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

25 Puissance du test: effet de l’interaction
Si on accepte H0, on peut quand même calculer la puissance. C’est une bonne pratique! On connait CMinteraction et s2 = CMerreur, on peut calculer f pour l’interaction Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

26 Puissance: exemple Effet d’un traitement hormonal sur la concentration de plasma d’oiseaux. 5 individus de chaque sexe (Facteur B, mâle (M) ou femelle (F)) avec ou sans hormone (Facteur A) On accepte H0 pour l’effet principal B (sexe) et pour l’interaction) Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

27 Puissance : exemple Quelle est la puissance du test pour l’effet du sexe? Alors, on a environ 71% de chance de commettre une erreur de Type II. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

28 Puissance et taille de l’effectif pour une ANOVA à deux critères de classification de type III: plan avec réplication Pour une ANOVA de type III avec réplication, on peut calculer la puissance en tenant compte des hypothèses concernant le facteur fixe en remplaçant CMinteraction par CMerreur, et en utilisant dlinteraction pour n2. 120 160 200 240 280 Poids (kg) Riding Kluane Algonquin Mountain mâles femelles Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

29 Puissance et taille de l’effectif pour une ANOVA à deux critères de classification de type III: plan sans réplication Pour une ANOVA de type III sans réplication, on peut calculer la puissance en tenant compte des hypothèses concernant le facteur fixe en remplaçant CMrestes par CMerreur, et en utilisant dlrestes pour n2. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

30 ANOVA à critères multiples
En principe, les procédures de calculs d’une ANOVA à deux critères de classification peuvent s’appliquer pour une ANOVA à 3 facteurs ou plus. Ex: l’effet de l’espèce (facteur 1), la température (facteur 2) et du sexe sur le taux de respiration de crabes. Toutefois, en pratique, les résultats d’ANOVAs à plus de 2 facteurs sont difficiles à interpréter étant donné le nombre élevé d’hypothèses nulles. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

31 ANOVA à trois critères de classification de type I, plan factoriel
Pour une ANOVA à trois critères de classification de type I, plan factoriel, on a 7 hypothèses nulles Tous les CM des effets sont testés sur CMerreur. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

32 Nombre d’hypothèses que l’on peut tester avec une ANOVA à critères multiples, plan factoriel
Quand le nombre de facteur augmente, le nombre d’hypohèses possibles augmente aussi Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

33 ANOVA à critères multiples: plans avec blocs et à mesures répétées
Les designs expérimentaux avec 3 facteurs ou plus où un des facteurs est un bloc ou des mesures répétées sont prises sur un des sujets On procède comme avec l’ANOVA à plan factoriel en prenant les blocs ou la mesure répétée comme étant un facteur aléatoire C’est donc une ANOVA de type III. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

34 Distinction entre les designs avec blocs et ceux à mesures répétées
Si chaque bloc représente des observations indépendantes (ex: individus), c’est un plan avec blocs. Si le même bloc contient des informations provenant d’une combinaison de facteurs, c’est un design split-plot. Si un même individu est soumis à une combinaison de facteurs, c’est un plan à mesures répétées. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

35 Effets de l’alimentation et de l’exercice sur le poids d’animaux: plan en blocs aléatoires
Le poids d’animaux est mesuré pour deux diètes (D1, D2) et deux intensités d’exercice ( E1, E2), 4 blocs par diète, 2 animaux par bloc, un animal est assigné au hasard à un des 2 types d’exercice (16 animaux au total) la diète et l’exercice sont des facteurs fixes Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

36 Effets de l’alimentation et de l’exercice sur le poids d’animaux: plan à mesures répétées
Le poids est mesuré pour 2 diètes (D1, D2) et 2 types d’exercices (E1, E2), 4 sujets par diète sont soumis aux deux types d’exercices (8 animaux au total) la diète et l’exercice sont des facteurs fixes À noter que N est la moitié de ce qu’il était pour le plan avec blocs! Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

37 ANOVA à plusieurs critères de classification- plan à mesures répétées
Effet du sexe (facteur 1) et de la diète (facteur 2) sur le niveau de protéines du plasma de tortues (sujets, facteur répété), 8 animaux au total. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

38 Décomposition de la variance
Tester les effets entre-sujets sur l’erreur entre-sujets. Ex: Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

39 ANOVA à critères multiples - plan avec blocs
Effet du sexe (facteur 1) et de la diète (facteur 2) sur le niveau de protéines du plasma de tortues, 4 blocs par sexe, 3 tortues par bloc (24 animaux au total). Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

40 Décomposition de la variance: plan avec blocs
Tester le CM du facteur fixe sur le CM des résidus. Traitez le test CMblocs/CMrésidus avec prudence! Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

41 Puissance et taille d’effectif pour une ANOVA à critères multiples
Les principes et les procédures de calculs sont les mêmes que pour une ANOVA à deux critères de classification. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

42 ANOVA à critères multiples de type I
Pour calculer f, k’ est le nombre de niveaux du facteur fixe, n’ est le nombre total de données (c’est-à-dire, combiné pour les autres facteurs) dans chaque niveau du facteur, et s2 est le CMerreur. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

43 Puissance et taille de l’effectif pour une ANOVA à 3 critères de classification de type I: exemple
Effet de l’espèce, du sexe et de la température sur la consommation d’O2 chez le crabe (crabO2.sys) Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

44 ANOVA de type I: différence minimum détectable
Si on veut détecter la différence entre les moyennes des 2 échantillons les plus différents pour chaque niveau du sexe pour au moins d. Si n1 = 1, n2 = 54, afin de tester au seuil de signification a = .05 et 1 - b = .95 , on a besoin de f = 5.2, et nmin = 1590! Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

45 Puissance du test: effets principaux
Quelle est la puissance du test pour un effet du sexe? Alors, il y a 79% de chance de commettre une erreur de type II. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

46 Puissance du test: effet de l’interaction
Quelle est la puissance du test pour la détection de l’effet de l’interaction sexe X temp? Il y a 75% de chance de détecter une interaction. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

47 ANOVA à critères multiples de type III
Afin d’estimer la puissance du test qui détecte l’effet d’un facteur fixe, utiliser la procédure montrée précédemment, toutefois… …pour l’effet entre-cellules (s2), remplacer le dénominateur dans le test de F Ce n’est pas toujours CMerreur! Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

48 Exemple: calculs pour une ANOVA à mesures répétées
Effet du sexe (facteur 1) et de la diète (facteur 2) sur le niveau de protéines du plasma de tortues (sujets, facteur répété), 8 animaux au total. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

49 Puissance de détection d’un effet du sexe
Afin de calculer f, remplacer le CM sujets entre-sexe et les dl par s2. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05

50 Questions critiques sur l’ANOVA à critères multiples
Combien de facteurs? Quel type (I, II, or III)? Quel plan factoriel? nested? bloc? À mesures répétées? mixte? Réplication équilibré/ non-équilibré? Sans réplication? Paramétrique ou non-paramétrique? Les réponses à ces questions déterminent quelles hypothèses peuvent être testées et quel test est le plus approprié. Attention à vos réponses! Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :05