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Université dOttawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2014-06-05 09:10 1 Test de signification dune ANOVA à deux.

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1 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 1 Test de signification dune ANOVA à deux critères de classification: sans réplication, modèle I, plan factoriel Tester CM effet sur CM erreur... … mais, souvenez vous que toute inférence dépend et doit tenir compte de la condition de labsence dinteraction!

2 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 2 Test de signification dune ANOVA à deux critères de classification: sans réplication, modèle II, plan factoriel Tester CM effet sur CM erreur Les inférences sont valides même sil y a présence dinteraction.

3 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 3 Test de signification dune ANOVA à deux critères de classification: sans réplication, modèle III, plan factoriel Tester CM effet sur CM erreur Quand il y a un facteur fixe, les inférences sont valides même sil y a interaction Pour un facteur aléatoire, les inférences ne sont valides que sil ny a pas dinteraction.

4 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 4 ANOVA à mesures répétées Utilisée quand la même unité déchantillonnage (individus, champs, etc…) est utilisé pour différents traitements. Ex: la pression sanguine dun patient avant, 1 mois et 2 mois après un traitement contre lhypertension. On peut considérer cette ANOVA comme une ANOVA type III, le temps (facteur 1) est fixe, le patient (facteur 2) est aléatoire et est utilisé comme réplicat.

5 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 5 Covariance La covariance de léchantillon entre deux variables X et Y est: Cov(X,Y) = 0 si X et Y sont indépendants, 0 sils sont positivement corrélés. La matrice de covariance est une matrice dont les éléments sur la diagonale sont les variances et les autres, hors de la diagonale, sont les covariances. Variance Covariance

6 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 6 Conditions dapplication de lANOVA à mesures répétées Toutes les conditions habituelles dune ANOVA et... …les données doivent rencontrer la condition de compound symmetry, cest-à- dire que les valeurs de la diagonale de la matrice de covariance sont égales, tout comme les valeurs hors de la diagonale. Si cette condition nest pas respectée, utiliser le test statistique de Greenhouse- Geisser ou Huyndh-Feldt. Variance Covariance

7 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 7 Exemple: Effet de lâge sur la largeur du visage chez les filles Les sommes des carrés sont réparties pour les individus, selon lâge (CM âge ) et pour les individus, pour un âge CM erreur H 0 : F = CM âge / CM erreur est petit Âge (années) 567 Largeur du visage (cm)

8 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 8 Exemple: Effet de lâge sur la largeur du visage chez les filles

9 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 9 ANOVA à critères multiples, alternative non-paramétrique Effet de la température (fixe) et du type de plant (fixe) sur la production primaire nette (gC m -2 j -1 ), 4 réplicats (parcelle) par traitements Calculer les rangs et procéder à une ANOVA à deux critères de classification de type I sur les rangs.

10 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 10 Test de signification dune ANOVA à deux critères de classification non- paramétrique Tester H = SC effet sur CM totale Comparer H à la distribution du 2 avec le nombre de degrés de liberté correspondant.

11 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 11 Effet du sexe et du site sur le poids de lesturgeon

12 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 12 ANOVA à critères multiples: plan à blocs aléatoires Pour les plans factoriels (entièrement aléatoire) chaque observation est indépendante des autres. Dans certains plans (plan à blocs aléatoires), une observation pour un traitement est reliée dune certaine façon à une observation des autres traitements. Lensemble des observations reliées constitue un bloc.

13 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 13 Plans entièrement aléatoire versus blocs aléatoires On choisit au hasard, un porcelet dune portée de chacune des 20 truies. On assigne à ces porcelet une diète spéciale. Les observations recueillies sont entièrement aléatoires et le modèle que lon devrait choisir serait lANOVA à un critère de classification de type I.

14 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 14 Plans entiérement aléatoire versus blocs aléatoires Pour chaque truie, on choisit 4 porcelets au hasard. Chaque porcelet est assigné aléatoirement à une des 4 diètes spéciales. Comme les 4 porcelets dune même portée sont reliés, ils constituent un bloc et le plan approprié serait une ANOVA à deux critères de classification de type III (diète, fixe), portée (blocs, aléatoire).

15 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 15 Blocs aléatoires: ANOVA à deux critères de classification de type III Le plan à deux facteurs et blocs aléatoires se calcule comme une ANOVA à deux critères de classification de type III sans réplication. Le facteur 1 (fixe) et le facteur 2 (blocs) est toujours aléatoire.

16 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 16 Exemple: la croissance des plantes avec différents traitements de fertilisation Des gradients de température, dhumidité, de lumière, etc… sont instaurés dans une serre ou un champs. Cinq blocs sont créés, 4 parcelles pour chacun. On assigne à chacune des parcelles un fertilisant différent (1,2,3,4)

17 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 17 Exemple: la croissance des plantes avec différents traitements de fertilisation H 0 : le taux de croissance est le même pour tous les traitements rejeter H 0 : p(traitement) =.0007 p(blocs) =.08, attention, cest peut- être lindication dune certaine variabilité environnementale entre les champs.

18 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 18 Blocs aléatoires, alternative non-paramétrique Si le nombre de niveaux k du facteur fixe ne respecte pas les conditions dapplication dune ANOVA paramétrique, utiliser le test de Friedman. Pour un nombre de groupes (traitements) a et un nombre de blocs b, le test statistique est le suivant: R i est la somme des rangs pour le groupe I, et le test statistique suit environ la distribution du 2

19 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 19 Exemple: la croissance des plantes avec différents traitements de fertilisation H 0 : R i est identique pour tous les traitements Alors, on rejette H 0 : p(traitement) =.008

20 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 20 Puissance et taille de leffectif pour lANOVA à deux critères de classification de type I La puissance maximale pour un effectif donné N est obtenue avec un plan équilibré (on a le même nombre dobservations dans chaque cellule). Les valeurs représentent les moyennes N = 5 champs, en tonnes/hectare

21 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 21 Puissance et taille de leffectif pour lANOVA à deux critères de classification de type I Deux facteurs (A et B), on a a niveaux pour le facteur A et b niveaux pour le facteur B à un donné (k = a ou b). Pour un plan équilibré avec n observations par cellule, m est la moyenne de chaque cellule Si la variabilité intra-groupe s 2 (CM erreur ), on peut calculer pour chaque facteur:

22 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 22 Calcul de la puissance pour un donné Pour un 1 donné (dl des facteurs, ex: a-1, b-1), 2 (dl dune cellule (erreur), et, on peut obtenir 1- de tables ou de courbes (ex: Zar (1996), Appendice Figure B.1) 1- Diminution de 2 1 = 2 = = =.05) =.01)

23 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 23 ANOVA de type I: plus petite différence détectable Supposons que lon veut détecter les différences entre les moyennes des échantillons les plus différents et ce, pour chaque niveau dun des facteurs (A, B) au moins. Afin de tester au seuil de signification avec une puissance 1 -, on peut calculer la taille de leffectif minimum n min requis pour détecter, pour une variance s 2 donnée.

24 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 24 Puissance du test: effets principaux Si on accepte H 0, on peut quand même calculer la puissance. Cest une bonne pratique! On connaît CM facteur, (s 2 = CM erreur ), et k, on peut calculer pour chacun des effets principaux.

25 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 25 Puissance du test: effet de linteraction Si on accepte H 0, on peut quand même calculer la puissance. Cest une bonne pratique! On connait CM interaction et s 2 = CM erreur, on peut calculer pour linteraction

26 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 26 Puissance: exemple Effet dun traitement hormonal sur la concentration de plasma doiseaux. 5 individus de chaque sexe (Facteur B, mâle (M) ou femelle (F)) avec ou sans hormone (Facteur A) On accepte H 0 pour leffet principal B (sexe) et pour linteraction)

27 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 27 Puissance : exemple Quelle est la puissance du test pour leffet du sexe? Alors, on a environ 71% de chance de commettre une erreur de Type II.

28 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 28 Puissance et taille de leffectif pour une ANOVA à deux critères de classification de type III: plan avec réplication Pour une ANOVA de type III avec réplication, on peut calculer la puissance en tenant compte des hypothèses concernant le facteur fixe en remplaçant CM interaction par CM erreur, et en utilisant dl interaction pour 2. Poids (kg) Riding Mountain Kluane Algonquin mâles femelles

29 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 29 Puissance et taille de leffectif pour une ANOVA à deux critères de classification de type III: plan sans réplication Pour une ANOVA de type III sans réplication, on peut calculer la puissance en tenant compte des hypothèses concernant le facteur fixe en remplaçant CM restes par CM erreur, et en utilisant dl restes pour 2.

30 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 30 ANOVA à critères multiples En principe, les procédures de calculs dune ANOVA à deux critères de classification peuvent sappliquer pour une ANOVA à 3 facteurs ou plus. Ex: leffet de lespèce (facteur 1), la température (facteur 2) et du sexe sur le taux de respiration de crabes. Toutefois, en pratique, les résultats dANOVAs à plus de 2 facteurs sont difficiles à interpréter étant donné le nombre élevé dhypothèses nulles.

31 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 31 ANOVA à trois critères de classification de type I, plan factoriel Pour une ANOVA à trois critères de classification de type I, plan factoriel, on a 7 hypothèses nulles Tous les CM des effets sont testés sur CM erreur.

32 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 32 Nombre dhypothèses que lon peut tester avec une ANOVA à critères multiples, plan factoriel Quand le nombre de facteur augmente, le nombre dhypohèses possibles augmente aussi

33 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 33 ANOVA à critères multiples: plans avec blocs et à mesures répétées Les designs expérimentaux avec 3 facteurs ou plus où un des facteurs est un bloc ou des mesures répétées sont prises sur un des sujets On procède comme avec lANOVA à plan factoriel en prenant les blocs ou la mesure répétée comme étant un facteur aléatoire Cest donc une ANOVA de type III.

34 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 34 Distinction entre les designs avec blocs et ceux à mesures répétées Si chaque bloc représente des observations indépendantes (ex: individus), cest un plan avec blocs. Si le même bloc contient des informations provenant dune combinaison de facteurs, cest un design split- plot. Si un même individu est soumis à une combinaison de facteurs, cest un plan à mesures répétées.

35 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 35 Effets de lalimentation et de lexercice sur le poids danimaux: plan en blocs aléatoires Le poids danimaux est mesuré pour deux diètes (D 1, D 2 ) et deux intensités dexercice ( E 1, E 2 ), 4 blocs par diète, 2 animaux par bloc, un animal est assigné au hasard à un des 2 types dexercice (16 animaux au total) la diète et lexercice sont des facteurs fixes

36 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 36 Effets de lalimentation et de lexercice sur le poids danimaux: plan à mesures répétées Le poids est mesuré pour 2 diètes (D 1, D 2 ) et 2 types dexercices (E 1, E 2 ), 4 sujets par diète sont soumis aux deux types dexercices (8 animaux au total) la diète et lexercice sont des facteurs fixes À noter que N est la moitié de ce quil était pour le plan avec blocs!

37 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 37 ANOVA à plusieurs critères de classification- plan à mesures répétées Effet du sexe (facteur 1) et de la diète (facteur 2) sur le niveau de protéines du plasma de tortues (sujets, facteur répété), 8 animaux au total.

38 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 38 Décomposition de la variance Tester les effets entre-sujets sur lerreur entre- sujets. Ex:

39 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 39 ANOVA à critères multiples - plan avec blocs Effet du sexe (facteur 1) et de la diète (facteur 2) sur le niveau de protéines du plasma de tortues, 4 blocs par sexe, 3 tortues par bloc (24 animaux au total).

40 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 40 Décomposition de la variance: plan avec blocs Tester le CM du facteur fixe sur le CM des résidus. Traitez le test CM blocs /CM résidus avec prudence!

41 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 41 Puissance et taille deffectif pour une ANOVA à critères multiples Les principes et les procédures de calculs sont les mêmes que pour une ANOVA à deux critères de classification.

42 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 42 ANOVA à critères multiples de type I Pour calculer, k est le nombre de niveaux du facteur fixe, n est le nombre total de données (cest-à-dire, combiné pour les autres facteurs) dans chaque niveau du facteur, et s 2 est le CM erreur.

43 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 43 Puissance et taille de leffectif pour une ANOVA à 3 critères de classification de type I: exemple Effet de lespèce, du sexe et de la température sur la consommation dO 2 chez le crabe (crabO2.sys)

44 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 44 ANOVA de type I: différence minimum détectable Si on veut détecter la différence entre les moyennes des 2 échantillons les plus différents pour chaque niveau du sexe pour au moins. Si 1 = 1, 2 = 54, afin de tester au seuil de signification.05 et , on a besoin de = 5.2, et n min = 1590!

45 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 45 Puissance du test: effets principaux Quelle est la puissance du test pour un effet du sexe? Alors, il y a 79% de chance de commettre une erreur de type II.

46 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 46 Puissance du test: effet de linteraction Quelle est la puissance du test pour la détection de leffet de linteraction sexe X temp? Il y a 75% de chance de détecter une interaction.

47 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 47 ANOVA à critères multiples de type III Afin destimer la puissance du test qui détecte leffet dun facteur fixe, utiliser la procédure montrée précédemment, toutefois… …pour leffet entre- cellules (s 2 ), remplacer le dénominateur dans le test de F Ce nest pas toujours CM erreur !

48 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 48 Exemple: calculs pour une ANOVA à mesures répétées Effet du sexe (facteur 1) et de la diète (facteur 2) sur le niveau de protéines du plasma de tortues (sujets, facteur répété), 8 animaux au total.

49 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 49 Puissance de détection dun effet du sexe Afin de calculer, remplacer le CM sujets entre- sexe et les dl par s 2.

50 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :10 50 Questions critiques sur lANOVA à critères multiples Combien de facteurs? Quel type (I, II, or III)? Quel plan –factoriel? –nested? –bloc? –À mesures répétées? –mixte? Réplication –équilibré/ non-équilibré? –Sans réplication? Paramétrique ou non- paramétrique? Les réponses à ces questions déterminent quelles hypothèses peuvent être testées et quel test est le plus approprié. Attention à vos réponses!


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