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Cours 27 CRITÈRE DE CONVERGENCE 2. Au dernier cours, nous avons vu Critère du terme général Critère de lintégrale Série de Riemann Critère de dAlembert.

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1 cours 27 CRITÈRE DE CONVERGENCE 2

2 Au dernier cours, nous avons vu Critère du terme général Critère de lintégrale Série de Riemann Critère de dAlembert Critère de comparaison à laide dune limite Critère du polynôme

3 Aujourdhui, nous allons voir Critère de Cauchy Série alternée Critère de Leibnitz Série de puissance Intervalle de convergence Rayon de convergence

4 Somme finie Série géométrique Théorème: «Preuve»: (Critère de Cauchy) Si alorsconverge Si alorsdiverge Si???

5 Exemple: Doncconverge

6 Faites les exercices suivants p. 353 # 8

7 Séries alternées Une série alternée est une série de la forme où ou

8 Théorème: (Critère de Leibniz) et alorsetconvergeou avec Si

9 Exemple: On aetde plus Doncconverge

10 Si une série à terme positif converge convergeDonc converge

11 Définition: Soit une série On dit que la série est absolument convergente siconverge Théorème: Si une série est absolument convergente alors elle est convergente converge

12 Remarque: Limplication inverse est fausse converge Exemple: Définition: On a vu queconvergemais diverge On dit quune série est conditionnellement convergente si converge mais diverge

13 Faites les exercices suivants p. 362 # 1

14 Séries de puissances Maintenant quon a plusieurs outils nous permettant de déterminer la convergence dune série, on peut pousser une peu plus loin lidée dune série en y insérant une variable. De manière générale on pourrait considérer des expressions de la forme pour une valeur de disons si on pose est une série

15 À priori on pourrait prendre nimporte quel type de fonction pour les Par exemple si on prend On obtient qui est une série de Fourier Les séries de Fourier sont utile pour comprendre les fonctions donde

16 Remarque: Mais on va se concentrer sur les fonctions On nomme une série de la forme une série de puissance. Dans le cas fini en posant On obtient le polynôme de Taylor de degré n

17 Une série de puissance peut converger ou diverger dépendamment des valeurs de. Pour trouver les valeurs qui rendent la série convergente, on utilise souvent le critère de dAlembert généralisé et le critère de Cauchy généralisé. Si ou si convergediverge on ne peut rien conclure

18 Exemple: Converge si On nommelintervalle de convergence et est le rayon de convergence sisoit div. soit div.

19 Exemple: Dans ce cas, on dit que lintervalle de convergence est Et ce, peut importe la valeur de et que le rayon de convergence est infini.

20 Faites les exercices suivants p.371 # 1

21 Aujourdhui, nous avons vu Critère de Cauchy Série alternée Critère de Leibnitz Série de puissance Intervalle de convergence Rayon de convergence

22 Devoir: p. 353, # 8 et 12 p. 362, # 1 p. 371, # 1 à 4


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