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Optimisation de formes dans lindustrie: méthodes de résolution et exemples 1.Modélisation du problème doptimisation de formes 2.Méthodes de résolution.

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1 Optimisation de formes dans lindustrie: méthodes de résolution et exemples 1.Modélisation du problème doptimisation de formes 2.Méthodes de résolution existantes 2.1 Méthode de descente 2.2 Méthode des algorithmes génétiques 2.3 Comparaison des deux méthodes 2.4 Méthode hybride 3.Exemple doptimisation de formes dans lindustrie automobile 3.1 Présentation de la collaboration PSA/LJLL 3.2 Situation actuelle du projet 3.3 Perspectives 4.Autres exemples 5.Conclusion Laurent Dumas (Maître de Conférences au Laboratoire Jacques-Louis Lions)

2 1. Modélisation du problème doptimisation de formes Le problème se ramène à minimiser une fonction J (par exemple le Cx dune automobile ou une fonction erreur dans le cas dun problème inverse) en fonction de N paramètres géométriques x = (x 1,...,x N ) sous certaines contraintes (géométriques, aérodynamiques, etc…). La fonction J peut faire intervenir de manière indirecte dans son évaluation des variables auxiliaires, par exemple des variables aérodynamiques issues de la résolution dune équation de Navier Stokes avec modèle de turbulence.

3 2. Méthodes de résolution existantes Différentes méthodes sont utilisées dans ce type de problèmes pouvant être classées en 2 grandes catégories: méthodes de type descente (gradient, quasi Newton) nécessitant le calcul du gradient de J. méthodes de type algorithmes génétiques basées sur létude de lévolution dune famille de solutions. Ces deux méthodes peuvent également faire lobjet dun couplage donnant alors naissance à une méthode dite hybride.

4 2.1 Méthode de descente On cherche x*=arg min{J(x) J(x,W(x)), x O R N } W(x) représente les variables auxiliaires, par exemple les variables aérodynamiques ( (x),U(x),E(x)) vérifiant une équation du type E(x,W(x))=0 (Euler, Navier Stokes k- ). La principale difficulté consiste à calculer x J(x) (pour effectuer ensuite un algorithme de descente). Ce calcul peut être réalisé au niveau continu ou discret (privilégié en général).

5 2.2 Méthode des algorithmes génétiques La méthode de minimisation dune fonction J par algorithmes génétiques repose sur le principe suivant: Tirage au sort dune certaine population dindividus (Np) associés à différentes valeurs des paramètres x O R n. A chacun de ces individus est affecté un facteur de santé (inversement proportionnel à J). la population évolue à chaque génération par un principe Darwinien de sélection, de croisement et de mutation. au bout de Ng générations, la santé globale des individus sest (normalement) améliorée. Il sagit dun procédé stochastique ne possédant pas de véritable justification mathématique mais possédant lavantage de ne pas nécessiter dhypothèses de régularité sur J et de ne pas stationner en des minima locaux.

6 Temps de calcul Coût dépendant du nombre de variables Paramètres ajustables Minimum global Pas de condition de régularité sur J Multi-objectif Parallélisable Minimum local Complexité du calcul du gradient Pas de version multi-objectif Rapidité Précision Coût indépendant du nombre de variables Les moinsLes plusLes moinsLes plus Méthode des Algorithmes génétiquesMéthode de descente 2.3 Comparaison des 2 méthodes

7 2.4 Méthode hybride Un procédé de couplage entre les deux approches a été développé en essayant de combiner les avantages de chacune des deux méthodes. Il consiste à effectuer un algorithme génétique dans lequel les meilleurs individus sont régulièrement améliorés par quelques itérations dune méthode de descente.

8 3.1 Optimisation de formes dans lindustrie automobile: collaboration PSA/LJLL Une collaboration étroite entre les équipes du Laboratoire Jacques-Louis Lions et la Direction de la Recherche et de lInnovation de PSA est en cours sur le problème de loptimisation de formes depuis Les principaux membres impliqués sont dune part, Olivier Pironneau (Pr) et Laurent Dumas (MC) pour le Laboratoire dAnalyse Numérique, Vincent Herbert et Laurent Elena pour la société PSA. Deux stages de DEA (Frédérique Muyl en 2000, Olivier Colin en 2001) et une thèse CIFRE (Frédérique Muyl de 2000 à 2003) ont également porté (ou portent) sur le sujet.

9 Différentes méthodes hybrides ont été testées sur le cas des fonctions analytiques et ont permis de confirmer leur intérêt en termes daccélération du temps de calcul par rapport aux algorithmes génétiques. Un premier calcul par une méthode hybride dans une configuration dautomobile (écoulement 3D incompressible turbulent) a été réalisé. Il consiste à minimiser le C x dune macroforme de monospace en fonction des angles de lunette ( ), diffuseur ( ) et rétreint ( ) 3.2 Situation actuelle du projet

10 3.3 Perspectives Dici 2003, lobjectif consiste à être capable doptimiser une partie dune automobile (par exemple un aileron) comprenant une vingtaine de paramètres. Pour cela, les outils actuels devront être améliorés, principalement au niveau de leur temps de calcul, grâce à différents procédés daccélération (dont la parallélisation sur cluster). Pour plus de détails sur ce programme (abstract AMIF2002, article soumis à Computers & Fluids, …), vous pouvez consulter la page:

11 4. Autres exemples Deux autres exemples doptimisation de formes sont en cours de traitement à laide dune méthode de type algorithmes génétiques: dans le domaine médical: optimisation de la forme dune endoprothèse (ou stent) placée dans un vaisseau sanguin après une sténose. dans lindustrie des télécommunications: optimisation des caractéristiques géométriques (profil dindice) dune fibre optique en vue d optimiser ses performances.

12 5. Conclusion Depuis quelques années, lessor des moyens de calcul a permis de voir lémergence doutils automatiques doptimisation de formes dans différents contextes industriels (aérodynamique, télécommunications) ou médicaux. Lutilisation de méthodes simples et robustes comme les Algorithmes Génétiques a permis en particulier de déterminer des géométries originales quasi-optimales pour chaque problème traité et peut a priori sadapter facilement à tout nouveau problème doptimisation de formes.


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