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Factorisation par division. Factoriser, cest retrouver les facteurs qui constituent un produit. Produit = 15 = 5a = ab = 3x + 3 = x 2 + 5x + 6 = ou 1.

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1 Factorisation par division

2 Factoriser, cest retrouver les facteurs qui constituent un produit. Produit = 15 = 5a = ab = 3x + 3 = x 2 + 5x + 6 = ou 1 X 15 facteur X facteur 3 X 5 5 X a a X b 3 X ( x + 1 ) ( x + 2 ) X ( x + 3) factoriser Remarque:Comme il existe plusieurs formes de produit, il existe plusieurs techniques de factorisation.

3 Lorsque lon connaît lun des facteurs, on peut déterminer lautre par division. Exemple: Que vaut le quotient de 15 ÷ 3 ? Ici, on nous fournit un des facteurs soit 3. La division de 15 par 3 nous donnera lautre facteur soit 5 La division est donc une forme de factorisation. Factoriser par division

4 Division de monômes - diviser les coefficients entre eux; - diviser les lettres semblables en soustrayant leurs exposants; - inclure les lettres différentes dans le terme final; Pour diviser un monôme par un monôme, il faut: 12 x 3 y 2 z ÷ 6yz : 12 ÷ 6 = 2 x3x3 y 2 ÷ y 1 =y 2-1 = y 1 = z ÷ z = z 1 ÷ z 1 = z 1-1 = z 0 = 1 2 x 3 y y 2. x 3. y. 1 =

5 2 x 2 y 3 z ÷ 4 x yz 2 : 2 ÷ 4 = 1 2 x 2 ÷ x 1 = x 1 = x y 3 ÷ y 1 = y2y2 z 1 ÷ z 2 = z 1-2 = z -1 = 1 z x 2-1 = y 3-1 = 2 z x y ÷ 2 2 = =2 -1 = 1 2. x. y 2. 1 z =

6 4 x 2 ÷ 2 x 1 y 1 ou 4 x 2 X 1 ÷ 2 x 1 y 1 4 x 2 X y 0 ÷ 2 x 1 y 1 : 4 ÷ 2 = 2 x 2 ÷ x 1 = x 2-1 = x y 0 ÷ y 1 =y 0-1 =y -1 = 1 y y 2x2x 4 x 2 ÷ 2 x y = 2. x. 1 y =

7 Division dun polynôme par un monôme Exemples: ( 3xy + 6y ) ÷ 3y = ( 3xy + 6y ) 3y = 3xy + 6y 3y = x + 2 ( x 2 – 3x ) ÷ x = ( x 2 – 3x ) x = x 2 - 3x x x = x - 3 2x 2 + 3x - 4 ( 6x 3 + 9x 2 – 12x ) 3x = 6x 3 + 9x x 3x = Pour diviser un polynôme par un monôme : - on distribue le monôme sur le polynôme; - on procède alors comme une division dun monôme par un monôme.

8 Pour bien comprendre ce procédé, il faut se souvenir du procédé manuel de division. Exemple:875 ÷ En débutant par le chiffre le plus à gauche dans le dividende, on cherche combien de fois on peut y inclure le diviseur. On abaisse le chiffre suivant et on recommence. On soustrait alors cette quantité. Ce nombre sappelle le dividendeCe nombre sappelle le diviseur. Ce nombre sappelle le quotient. Comme il ny a pas de reste dans cette division, on conclut que 5 et 175 sont deux facteurs de 875. Un autre procédé pourrait être utilisé.

9 Exemple:947 ÷ En débutant par le chiffre le plus à gauche dans le dividende, on cherche combien de fois on peut y inclure le diviseur. On abaisse le chiffre suivant et on recommence. On soustrait alors cette quantité. Comme il y a un reste dans cette division, on conclut que 6 et 157 ne sont pas deux facteurs de 947.

10 On peut utiliser le même procédé pour diviser un polynôme par un monôme. Exemple:( 3xy + 6y ) ÷ 3y 3xy + 6y 3y On commence par le terme le plus à gauche dans le dividende. On cherche le facteur qui multiplié par 3y donne 3xy; ce facteur est x. x 3xy y On effectue la soustraction. On abaisse lautre terme et on recommence. On cherche le facteur qui multiplié par 3y donne 6y; ce facteur est Comme il ny a pas de reste dans cette division, on conclut que 3y et ( x + 2 ) sont deux facteurs de ( 3xy + 6y ) y+

11 ( x 2 – 3x ) ÷ x = Exemples: x 2 - 3x x On commence par le terme le plus à gauche dans le dividende. On cherche le facteur qui multiplié par x donne x 2 ; ce facteur est x. x x x On effectue la soustraction. On abaisse lautre terme et on recommence. On cherche le facteur qui multiplié par x donne -3x; ce facteur est x - 0 Comme il ny a pas de reste dans cette division, on conclut que x et ( x - 3 ) sont deux facteurs de ( x 2 – 3x )

12 0 ( 6x 3 + 9x 2 – 12x ) 3x Exemple: 6x 3 + 9x 2 – 12x 3x 2x 2 6x x 2 – 12x + 3x 9x 2 - – 12x - 4 – 12x Comme il ny a pas de reste dans cette division, on conclut que 3x et ( 2x 2 + 3x – 4 ) sont deux facteurs de ( 6x 3 + 9x 2 – 12x )

13 - 0 ( 3x 2 + 6x – 8 ) 3 Exemple: 3x 2 + 6x – 8 3 x2x2 3x x – 8 + 2x 6x - – – Comme il y a un reste dans cette division, on conclut que 3 et ( x 2 + 2x – 2 ) ne sont pas deux facteurs de ( 3x 2 + 6x – 8 )

14 Division dun polynôme par un binôme La division dun polynôme par un binôme utilise le même procédé avec un peu plus de calculs. Exemple: ( x x + 6 ) ÷ ( x + 3 ) x x + 6 x + 3 On commence avec le terme le plus à gauche dans le dividende et le terme le plus à gauche dans le diviseur. On cherche le facteur qui multiplié par x donne x 2 ; ce facteur est x. x x2x2 Attention:Le diviseur est un binôme; il faut donc penser à multiplier le 2 e terme aussi. + 3 x X On effectue la soustraction x2x On abaisse le reste du polynôme et on recommence x2x Comme il ny a pas de reste dans cette division, on conclut que ( x + 3 ) et ( x + 2 ) sont deux facteurs de ( x x + 6 ).

15 Division dun polynôme par un binôme Exemple: ( x x - 8 ) ÷ ( x + 4 ) x x - 8 x + 4 On commence avec le terme le plus à gauche dans le dividende et le terme le plus à gauche dans le diviseur. On cherche le facteur qui multiplié par x donne x 2 ; ce facteur est x. x x2x2 Attention:Le diviseur est un binôme; il faut donc penser à multiplier le 2 e terme aussi. + 4 x X On effectue la soustraction x On abaisse le reste du polynôme et on recommence x Comme il ny a pas de reste dans cette division, on conclut que ( x + 4 ) et ( x - 2 ) sont deux facteurs de ( x x - 8 ).

16 Division dun polynôme par un binôme Exemple: ( 4 x x - 15 ) ÷ ( 2 x + 3 ) 4 x x x + 3 On commence avec le terme le plus à gauche dans le dividende et le terme le plus à gauche dans le diviseur. On cherche le facteur qui multiplié par 2 x donne 4 x 2 ; ce facteur est 2 x. 2x2x 4x24x2 Attention:Le diviseur est un binôme; il faut donc penser à multiplier le 2 e terme aussi. + 6 x On effectue la soustraction x On abaisse le reste du polynôme et on recommence x Comme il ny a pas de reste dans cette division, on conclut que ( 2 x + 3 ) et ( 2 x - 5 ) sont deux facteurs de (4 x x - 15 ).

17 Exemple: ( x x + 33 ) ÷ ( x + 11 ) x2x x x x x + 33 x x x Démarche exigée:

18 Exemple: ( x x + 50 ) ÷ ( x + 5 ) x2x2 + 5 x x x x + 50 x x x Démarche exigée:

19 Exemple: ( x x + 28 ) ÷ ( x - 7 ) x2x2 - 7 x x x x + 28 x x x Démarche exigée:

20 - - 6 x x - 53 x Exemple: ( 6 x 2 + 7x - 5 ) ÷ ( 3 x + 5 ) 6x26x x x x x2x Démarche exigée: 0

21 Exemple: ( x ) ÷ ( x + 2 ) x2x2 + 2 x x x x - 4 x x x Ce polynôme peut sécrire ( x 2 – 0 x – 4)

22 Exemple: ( x 2 + 3x + 3 ) ÷ ( x + 1 ) x2x2 + 1 x x x x + 3 x x x Comme il y a un reste dans cette division, on conclut que ( x + 1 ) et ( x + 2 ) ne sont pas deux facteurs de ( x x + 3). Le quotient de cette division pourrait sécrire : + 2 x 1 x + 1 +

23 2c + 3 Problème Le volume de ce prisme est de ( 4c c c + 24 ) unités 3. Quelle expression algébrique représente laire dune des bases sachant que la hauteur du prisme est représentée par le binôme ( 2c + 3 ) ? Volume = Aire base X hauteur Aire base = volume hauteur 4c c c c + 3 4c c c + 242c + 3 2c 2 4c 3 + 6c c c c + 24c+ 16c c c Réponse: ( 2c 2 + 8c + 8 ) unités 2 Remarque:La division est une des techniques de factorisation.


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