Dépannage du 20 février 2007. Intra H04 no 4 On définit la distribution de probabilité d'une variable aléatoire X comme suit : a)Déterminer la valeur.

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1 Dépannage du 20 février 2007

2 Intra H04 no 4 On définit la distribution de probabilité d'une variable aléatoire X comme suit : a)Déterminer la valeur de K. b)Déterminer la fonction de répartition F(x). c)Calculer E(X), l'écart type de X et le fractile d'ordre 0,90 de X.

3 a)Déterminer la valeur de K. Si x = 0 alors f(x) = 0,1 Si x = 1 alors f(x) = k*x = k Si x = 2 alors f(x) = k*x = 2k Si x = 3 alors f(x) = k(5-x) = 2k Si x = 4 alors f(x) = k (5-x) = k Si x > 4 alors f(x) = 0

4 Retour sur la théorie Conditions pour lexistence dune fonction de probabilité discrète: 1. 2.

5 Selon la condition 2, en les additionnant tous, on obtiens 1: 0,1 + k + 2k + 2k + k = 1 En isolant, on obtient k = 0,15. La fonction de probabilité sera alors:

6 b)Déterminer la fonction de répartition F(x). Par définition, la fonction de répartition est: Faisons un tableau: xf(x)F(x) 00,10 10,150,25 20,300,55 30,300,85 40,151,00 50,001,00

7 La fonction de répartition F(x) est donc:

8 c)Calculer E(X), l'écart type de X et le fractile d'ordre 0,90 de X. E(x) La moyenne est 2,25.

9 Pour trouver lécart type, nous devons passer par le calcul de la variance: Il y a deux formules pour calculer la variance: et Nous utiliserons la deuxième formule.

10 Calculons dabord E(x²): Alors, La variance est 1,3875

11 Trouvons maintenant le fractile dordre 0,9: Note: La méthode pour trouver un fractile est basée sur la même logique que pour les centiles, les quartiles et les percentiles.

12 xf(x)F(x) 00,10 10,150,25 20,300,55 30,300,85 40,151,00 50,001,00 Nous cherchons x de sorte que Le fractile dordre 0,9 est 4.

13 Intra A03 no 4 Trois coiffeurs travaillent dans un salon de coiffure pour hommes. On estime à : Le 1/15 du temps, le salon est vide Les 2/15 du temps, il ny a quun client Les 3/15 du temps, il y a 2 clients Les 4/15 du temps, il y a 3 clients Les 5/15 du temps, il y a 4 clients ou plus. Chaque client rapporte un revenu de 10 $ pour sa coiffure. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de clients présents au salon.

14 a) Déterminer la distribution de probabilité de X. x01234 et + f(x)1/152/153/154/155/15 Note: Il est possible de sassurer que la distribution de probabilité est valide en vérifiant si la somme de toutes les probabilités est égale à 1.

15 b) Déterminer sa fonction de répartition. x01234 et + F(x)1/153/156/1510/1515/15

16 c) Calculer la probabilité que : c1) au moins 3 coiffeurs soient en train de travailler: c2) au moins lun des coiffeurs du salon soit en train de travailler.

17 d) Sachant que le propriétaire du salon encourt des frais fixes hebdomadaires de 1000 $, quelle est la probabilité quil fasse des profits si la fonction de profits est exprimée par la relation suivante : P = 1200 $ X – 1000 $?

18 Observons le tableau suivant: x01234 et + Profit-1000200140026003800 f(x)1/152/153/154/155/15 On cherche donc :

19 e) Quel est le profit espéré du salon de coiffure? E(profit):

20 Intra A04 no 3 (suite) b)Soit X une variable aléatoire discrète définie par la fonction de masse de probabilité suivante, où certaines probabilités sont inconnues : b1) Calculer la probabilité de P(2 X 4). b2) Calculer E(X) et Var(X). x123456 P(X=x)

21 Commençons dabord par déterminer la valeur de Nous savons que: Alors, En isolant, on obtient = 0,1. On obtient donc le tableau suivant: x123456 P(X=x) 0,4

22 b1) Calculer la probabilité de P(2 X 4).

23 b2) Calculer E(X) et Var(X). E(x) E(x²) V(x)

24 QUESTION 4 (intra #3) La demande journalière Q dun produit obéit à la loi de probabilité suivante : Quantité Q 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 0,05 0,15 0,25 0,30 0,15 0,05 0,05 Les demandes journalières successives sont supposées indépendantes. a) Calculer lespérance et lécart type de Q. b) En supposant que le stock est toujours de 5 unités en début de journée, calculer la probabilité que, sur une semaine de 6 jours, on nait une rupture de stock1 que le dernier jour de la semaine. c) Le prix de vente dun article est de 400 $, tout invendu entraîne une perte de 100 $. De plus, le coût dune rupture de stock est de 40 $. En supposant un stock journalier de 5 unités, donner les différentes valeurs possibles du bénéfice et calculer son espérance. Note (1) : Une rupture de stock survient lorsque la demande excède la quantité en main dun article donné.

25 a) Calculer lespérance et lécart type de Q. E(X) = (0 x 0,05) + (1 x 0,15) + (2 x 0,25 ) + (3 x 0,30) + (4 x 0,15) + (5 x 0,05) + (6 x 0,05)= E(X) = 2,70 Calculons maintenant la variance pour par la suite trouver lécart type. Var (X) = E(X 2 ) – (E(X)) 2 = 9,30 – (2,70) 2 = 2,01 E(X 2 ) = (0 2 x 0,05) + (1 2 x 0,15) + (4 x 0,25 ) + (9 x 0,30) + (16 x 0,15) + (25 x 0,05) + (36 x 0,05)= E(X 2 ) = 9,30 Lécart type est donc la racine de la variance donc la racine de 2,01 = 1,4177 b) En supposant que le stock est toujours de 5 unités en début de journée, calculer la probabilité que, sur une semaine de 6 jours, on nait une rupture de stock1 que le dernier jour de la semaine. 0,955 x 0,05 = 0,0387

26 c) Le prix de vente dun article est de 400 $, tout invendu entraîne une perte de 100 $. De plus, le coût dune rupture de stock est de 40 $. En supposant un stock journalier de 5 unités, donner les différentes valeurs possibles du bénéfice et calculer son espérance. Pour obtenir ces valeurs, on sais que chaque jour 5 unités de larticle sont en stock, si la demande pour une journée particulière est nulle alors 100$ par unité stockée en trop sont perdu doù une perte de 500 $. Si pour une journée particulière on a une demande dune unité et bien on fait un profit de 400$ pour cette unité vendue mais une perte de 100$ pour chacun des 4 unités non vendues doù le profit est nul. Et ainsi de suite. E(Profit) = (-500 x 0,05) + (0 x 0,15) + (500 x 0,25) + (1000 x 0,3) + (1500 x 0,15) + (2000 x 0,05) + ( 1960 x 0,05) = 823 $