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8INF4301 Algorithmes probabilistes On suppose lexistence dun générateur de nombres aléatoires dont lutilisation se fait à coût unitaire. Définition: Soit.

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1 8INF4301 Algorithmes probabilistes On suppose lexistence dun générateur de nombres aléatoires dont lutilisation se fait à coût unitaire. Définition: Soit a b, deux nombres réels. La fonction uniforme(a,b) retourne une valeur x choisie de façon aléatoire et uniforme dans lintervalle [a,b]

2 8INF4302 Définition: Si a et b sont deux entiers, alors la fonction uniforme(a,b) retourne la valeur entière a v b avec probabilité 1/ (b-a+1) Définition: Si S est un ensemble fini non vide, alors uniforme(S) retourne la valeur v S avec probabilité 1/|S|

3 8INF4303 Nombres aléatoires et pseudo-aléatoire Dans les années 50: Certains ordinateurs possèdent des dispositifs apparemment aléatoires: –compteur de particules cosmique, –bit le moins significatif de lhorloge Impopulaire car il devient impossible de répéter lexécution dun calcul: –Programmes difficiles à déboguer –Difficile de comparer lexécution de deux programmes

4 8INF4304 Pour certaines applications le vrai hasard est important: –loteries –cryptographie En pratique, on utilise des générateurs de nombres pseudo-aléatoires.

5 8INF4305 Définition: Une séquence de nombres est dite pseudo-aléatoire si elle est générée de façon déterministe mais semble avoir été produite de façon purement aléatoire (passe avec succès certains tests statistiques).

6 8INF4306 Exemple: [Méthode linéaire congruentielle] Choisir minutieusement 4 nombres: 1. m: le modulo (m > 0) 2. a: le multiplicateur (0 a < m) 3. c: le saut (0 c < m) 4. x 0 : la valeur de départ (0 x 0 < m) La séquence de nombres pseudo-aléatoires est: x n+1 = (aX n + c) mod m Certains auteurs recommendent (entre autres): m= , a =16807, c = 0.

7 8INF4307 Fait: La caractéristique fondamentale dun algorithme probabiliste est quil peut se comporter différemment lorsquil est appelé deux fois avec les mêmes paramètres. Définition: Le temps dexécution espéré dun algorithme probabiliste est le temps moyen de lalgorithme sur une entrée donnée. Remarque: Ne pas confondre temps espéré et temps moyen.

8 8INF4308 Exemple: Quicksort prend un temps O(n 2 ) en pire cas et O(n lg n) en moyenne. Supposons quau début de lalgorithme, on permute aléatoirement les éléments du tableau. Cela peut se faire en temps O(n). Alors, quelque soit lentrée initiale, le temps espéré est O(n + n lg n) = O(n lg n).

9 8INF4309 Événement probabiliste Considérons une expérience faisant appel au hasard: expérience aléatoire S: Ensemble de tous les résultats possibles : univers ou espace échantillon Un sous-ensemble E S est appelé: événement Ensemble de tous les événements: (S) Exemple: –Lancement de deux dés.

10 8INF43010 Loi de probabilité (cas discrêt) Fonction Prob: (S) qui associe à chaque événement E S une valeur Prob(E) 0 appelée probabilité telle que: –Pour chaque E S on a –Prob(S) = 1 –Prob( ) = 0 –Prob(S-E) = 1-Prob(S)

11 8INF43011 Indépendance Soit E et F deux événements L'équation Prob(E F) = Prob(E) · Prob(F) (*) n'est pas toujours vraie. Exemple: Lancement de deux dés: E := Les deux dés sont pairs: Prob(E)=1/4 F := La somme est paire: Prob(F)=1/2 Déf. E et F sont indépendants si (*) est vraie Exemple: E := Le premier dé est pair: Prob(E)=1/2 F := Le second dé est pair: Prob(F)=1/2 Prob(E F)=1/4

12 8INF43012 Probabilité conditionnelle Soit E et F deux événements Probabilité conditionnelle: Prob(E | F) = Prob(E F) / Prob(F) Exemple précédent: Prob(E | F)= ¼ / ½ = ½ Lorsque E et F sont indépendants alors Prob(E | F) = Prob (E) et Prob(F | E) = Prob(F) Si B1, B2,..., Bk, est une partition d'un événement E alors

13 8INF43013 Probabilité conditionnelle XX XXX XX X XX On choisit une ligne i et une colonne j au hasard. Quelle est la probabilité d'avoir un X ? 2/5*1/5 + 2/5*1/5 + 3/5*1/5 + 1/5*1/5 + 2/5*1/5 = 10/5 * 1/5 = 10/25

14 8INF43014 Variable aléatoire Étant donné un univers S et une loi de probabilité Prob: (S), une variable aléatoire est une fonction X: S et l'on défini: 1.Prob(X=a) = Prob( {s S | X(s)=a} ) 2.Si A alors Prob(X A)=Prob({s S | X(s) A}) X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes si pour tout A,B on a Prob(X A et Y B) = Prob(X A) · Prob(Y B)

15 8INF43015 Exemple: Somme de deux dés Exemple: Lancement de deux dés. X est une v.a. représentant la somme des deux dés. XProbÉvénement 21/36(1,1) 31/18(1,2), (2,1) 41/12(1,3), (2,2), (3,1) 51/9(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 6 5/36(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 71/6(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 85/36(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 91/9(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 101/12(4,6), (5,5), (6,4) 111/18(5,6), (6,5) 121/36(6,6)

16 8INF43016 Lois discrètes Soit X:S une variable aléatoire. Variable uniforme: (Im(X)={1,2,…,n}) Prob(X=r)= 1/n pour tout r Im(X) Exemple: X représente le résultat du lancement de deux dés (n=36) Variable de Bernouilli: (Im(X)={0,1}) Prob(X=0) = 1 - Prob(X=1) Exemple: X est la parité de la somme des deux dés Variable géométrique: (Lorsque Im(X) = N ) Prob(X=n)=(1-p) n-1 p Exemple: X est le nombres d'essais avant d'obtenir deux dés identiques

17 8INF43017 Espérance Espérance d'une variable aléatoire X: E(aX) = aE(X) E(X+Y) = E(X)+E(Y) E(XY) = E(X)E(Y) seulement si X et Y sont deux v.a. indépendantes

18 8INF43018 Variance Variance d'une variable aléatoire X: Var(X) = E((X - E(X)) 2 ) Var(X) = E(X 2 ) - E(X) 2 Var(aX) = a 2 Var(X) Soit X 1, X 2,..., X n, n variables aléatoires indépendantes. Alors Var(X 1 +X 2 + ···+X n )=Var(X 1 )+Var(X 2 )+···+Var(X n )

19 8INF43019 Calcul de lespérance et de la variance Variable uniforme: E(X)= (n+1)/2 Var(X) = (n 2 -1)/12 Variable de Bernouilli:E(X) = p Var(X) = p(1-p) Variable géométrique: E(X) = 1/p Var(X) = (1-p)/p 2

20 8INF43020 Inégalités Markov: Prob(X t) E(X) / t Chebychev: Prob(|X-E(X)| t) Var(X) / t 2 Chernoff: Soit X 1, X 2,..., X n, n variables de Bernouilli indépendantes deux à deux et telles que Prob(X i =1)=p et Prob(X i =0)=1-p. Alors E(X)=np et pour tout (0,1) on a Prob(X (1- )E(X)) e -E(X) 2 /2

21 8INF43021 Exemple (1) On lance une pièce de monnaie n>0 fois. Au i-ième essaie: X i = 1 si le résultat est face; X i =0 sinon Prob(X i =1)=prob(X i =0)=1/2 X = X 1 + X 2 + ··· + X n E(X) = n/2 et Var(X) = n/4 On veut montrer que pour tout >0 la probabilité: Prob(X (1+ )E(X)) est petite lorsque n est grand.

22 8INF43022 Exemple (2) Markov: Prob(X (1+ )E(X)) E(X)/(1+ )E(X) = 1/(1+ ) Chebychev: Prob(X (1+ )E(X)) Var(X) / [(1+ )E(X)] 2 = (E(X 2 )-E(X) 2 ) / ((1+ )E(X)) 2 = 1/( 2 n) Chernov: Prob(X (1+ )E(X)) = Prob(X (1- )E(X)) e -E(X) 2 /2 = 1/ e n 2 /4


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