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1 Remarque: Tu devrais visionner la présentation: - La complétion de carré.ppt avant de visionner celle-ci. Recherche des zéros dune fonction quadratique par la complétion du carré.

2 La technique de complétion du carré permet de déterminer les zéros de fonction. Exemple: Soit déterminer lez zéros de la fonction f( x ) = x x - 24 f( x ) = x x = x x - 24 x x – 24 = 0 1) Transférer le terme constant de lautre côté du signe égal. x x = 24 ou 2) Déterminer un nouveau terme à laide de la formule: 2 x 2 X x 2 2 = = 2 x 2 X x = = 2 ( 1 ) = 1 T2T2 2 X T 1 2 T 3 =

3 3) Insérer ce terme dans le membre de gauche pour former un trinôme carré parfait: x x = ) Pour ne pas changer la valeur de léquation, on additionne la même quantité au membre de droite x x + 1 = 5) On regroupe le tout: ( ) 6) On factorise le trinôme carré parfait: ( x + 1 ) 2 = 25 7) On extrait la racine carrée de chaque membre. ( x + 1 ) 2 = 25 ( x + 1 ) = ± 5 en se souvenant quun nombre carré a deux racines. 8) On complète les calculs: x + 1 = - 5 x 1 = - 6 x + 1 = + 5 x 2 =

4 Remarque: Létape consistant à extraire la racine carrée de chaque membre est importante. Exemple:On extrait la racine carrée de chaque membre. ( x + 1 ) 2 = 25 Le nombre sous le radical sert de discriminant. 25 nombre positif,alors 2 zéros; x y alors 1 zéro; -7 nombre négatif,alors aucun zéro.

5 Soit déterminer les zéros de f( x ) = x x = x x - 21 x x – 21 = 0 1) Transférer le terme constant de lautre côté du signe égal. x x = 21 2) Déterminer un nouveau terme à laide de la formule: - 4 x 2 X x 2 2 = = - 4 x 2 X x = = 2 ( -2 ) = 4 T2T2 2 X T 1 2 T 3 = 3) Insérer ce terme dans le membre de gauche pour former un trinôme carré parfait: x x = ) Pour ne pas changer la valeur de léquation, on additionne la même quantité au membre de droite. + 4

6 x x + 4 = 5) On regroupe le tout: ( ) 6) On factorise le trinôme carré parfait: ( x - 2 ) 2 = 25 7) On extrait la racine carrée de chaque membre de léquation. ( x - 2 ) 2 = 25 ( x - 2 ) = ± 5 en se souvenant quun nombre carré a deux racines. 8) On complète les calculs: x - 2 = - 5 x 1 = - 3 x - 2 = + 5 x 2 =

7 f( x ) = - x x + 48 Attention: ce terme nest pas un carré car il est négatif ; une simple mise en évidence comme première étape afin que ce premier terme devienne un carré. il faut donc faire f( x ) = - x x + 48 = f( x ) = - ( x x - 48 ) Cette parabole est donc ouverte vers le bas. f( x ) = - ( x x - 48 ) 0 = x x - 48 x x - 48 = 0 en factorisant -1 à chaque terme. 1) Transférer le terme constant de lautre côté du signe égal. x x = 48 Ce facteur précise le type de parabole mais il nest pas nécessaire pour trouver les zéros. On le garde en mémoire mais il nest pas nécessaire dans la démarche. Soit déterminer les zéros de

8 + 1 2) Déterminer un nouveau terme à laide de la formule: 2 x 2 X x 2 2 = = 2 x 2 X x = = 2 ( 1 ) = 1 T2T2 2 X T 1 2 T 3 = 3) Insérer ce terme dans le membre de gauche pour former un trinôme carré parfait: x x = 48 4) Pour ne pas changer la valeur de léquation, on additionne la même quantité au membre de droite. + 1 x x = x x + 1 = 5) On regroupe le tout: ( ) 6) On factorise le trinôme carré parfait: ( x + 1) 2 = 49 49

9 7) On extrait la racine carrée de chaque membre de léquation. ( x + 1 ) 2 = 49 ( x + 1 ) = ± 7 en se souvenant quun nombre carré a deux racines. 8) On complète les calculs: x + 1 = - 7 x 1 = - 8 x + 1 = + 7 x 2 = + 6

10 f( x ) = 2 x x + 30 Attention: évidence comme première étape afin que ce premier terme devienne un carré. il faut donc faire une simple mise en f( x ) = 2 x x + 30 = f( x ) = 2 ( x x + 15 ) en factorisant 2 à chaque terme. 1) Transférer le terme constant de lautre côté du signe égal. 0 = ( x x + 15 ) x x + 15 = 0 f( x ) = 2 ( x x + 15 ) x x = -15 Ce facteur précise le type de parabole mais il nest pas nécessaire pour trouver les zéros. On le garde en mémoire mais il nest pas nécessaire dans la démarche. Soit déterminer les zéros de ce terme nest pas un carré ;

11 = ) Déterminer un nouveau terme à laide de la formule: 8 x 2 X x 2 2 = = 8 x 2 X x = = 2 ( 4 ) = 16 T2T2 2 X T 1 2 T 3 = 3) Insérer ce terme dans le membre de gauche pour former un trinôme carré parfait: x x 4) Pour ne pas changer la valeur de léquation, on additionne la même quantité au membre de droite x x + 16 = 5) On regroupe le tout: ( ) 6) On factorise le trinôme carré parfait: ( x + 4 ) 2 = 1 1 x x = -15

12 7) On extrait la racine carrée de chaque membre de léquation. ( x + 4 ) 2 = 1 ( x + 4 ) = ± 1 en se souvenant quun nombre carré a deux racines. 8) On complète les calculs: x + 4 = - 1 x 1 = - 5 x + 4 = + 1 x 2 = -3

13 Soit déterminer les zéros de f( x ) = 0,5 x 2 + x - 12 Attention: évidence comme première étape afin que ce premier terme devienne un carré. il faut donc faire une simple mise en ce terme nest pas un carré ; f( x ) = 0,5 x 2 + x - 12 = f( x ) = 0,5 ( x x – 24 ) en factorisant 0,5 à chaque terme. cest-à-dire f( x ) = 0,5 x 2 + x ,5 Ce facteur précise le type de parabole mais il nest pas nécessaire pour trouver les zéros. On le garde en mémoire mais il nest pas nécessaire dans la démarche. f( x ) = 0,5 ( x x – 24 ) 0 = x x – 24 x x – 24 = 0

14 1) Transférer le terme constant de lautre côté du signe égal. 2) Déterminer un nouveau terme à laide de la formule: 2 x 2 X x 2 2 = = 2 x 2 X x = = 2 ( 1 ) = 1 T2T2 2 X T 1 2 T 3 = x x = 24 3) Insérer ce terme dans le membre de gauche pour former un trinôme carré parfait: x x = ) Pour ne pas changer la valeur de léquation, on additionne la même quantité au membre de droite x x + 1 = 5) On regroupe le tout: ( ) 6) On factorise le trinôme carré parfait: ( x + 1 ) 2 = 25 25

15 7) On extrait la racine carrée de chaque membre de léquation. ( x + 1 ) 2 = 25 ( x + 1 ) = ± 5 en se souvenant quun nombre carré a deux racines. 8) On complète les calculs: x + 1 = - 5 x 1 = - 6 x + 1 = + 5 x 2 = + 4

16 La technique de complétion du carré est loutil le plus utile avec les polynômes du second degré. Au début, elle semble un peu lourde pour le débutant mais, avec la pratique, elle est la technique la plus rapide et la plus efficace. Elle factorise, détermine les zéros de fonction et résout les équations du second degré de nimporte quel polynôme factorisable.


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