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05/11/20131 Master 1 – Outils statistiques. 05/11/20132 Plan du cours Introduction aux plans dexpériences Problématique Notion despace expérimental Plans.

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1 05/11/20131 Master 1 – Outils statistiques

2 05/11/20132 Plan du cours Introduction aux plans dexpériences Problématique Notion despace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2 k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs daliases Calcul des contrastes Technique pour désaliaser

3 05/11/20133 Problématique Les systèmes peuvent être complexes. Ils sont pilotés par de nombreux paramètres de conception et de réglages (X 1, X 2, X i,…). L'objet des plans dexpériences (experimental designs) est de quantifier l'influence des paramètres sur la réponse à partir de résultats d'expérimentations.

4 05/11/20134 Pour cela, il existe plusieurs stratégies d'expérimentation : Les plans complets : Cette stratégie consiste à tester toutes les combinaisons des paramètres sélectionnés (très long et coûteux) Les plans réduits : Cette stratégie consiste à tester une partie de toutes les combinaisons des paramètres. Les plans Taguchi : Génichi Taguchi a proposé une sélection de plans réduits (non traité ici). Problématique

5 05/11/20135 Cette catapulte a été conçue de manière à ce que lon puisse facilement modifier 5 des paramètres de construction ou dutilisation : 1. bandage de lélastique 2. accrochage de lélastique 3. position du bol sur le bras 4. angle de butée de percussion 5. angle darmement Catapulte et ses différents réglages Problématique

6 05/11/20136 En résumé Problématique But: Optimiser la distance de tir!

7 05/11/20137 Problématique Méthode classique: on fixe le niveau de toutes les variables sauf une et on mesure la réponse y en fonction de plusieurs valeurs non fixées x 1

8 05/11/20138 Problématique Méthode des plans dexpériences On fait varier les niveaux de tous les facteurs à la fois à chaque expérience, mais de manière programmée et raisonnée. Choquant? Non!! Avantages (mais pas toujours intuitifs): Diminution du nombre dessais. Nombre de facteurs étudiés très grand Détection des interactions entre facteurs Détection des optimaux Meilleure précision sur les résultats Optimisation des résultats Modélisation des résultats DANS CE COURS, LE BUT SERA SURTOUT LA RECHERCHE DES FACTEURS INFLUENTS (PAS FORCEMMENT DE LOPTIMAL)

9 05/11/20139 Plan du cours Introduction aux plans dexpériences Problématique Notion despace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2 k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs daliases Calcul des contrastes Technique pour désaliaser

10 05/11/ Notion despace expérimental La valeur donnée à un facteur pour réaliser un essai est appelée niveau. Lorsqu'on étudie l'influence d'un facteur, en général, on limite ses variations entre deux bornes. La borne inférieure est le niveau bas. La borne supérieure est le niveau haut.

11 05/11/ Notion despace expérimental

12 05/11/ Eventuellement: modéliser la réponse Notion despace expérimental

13 05/11/ Plan du cours Introduction aux plans dexpériences Problématique Notion despace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2 k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs daliases Calcul des contrastes Technique pour désaliaser

14 05/11/ PLANS FACTORIELS COMPLETS A DEUX NIVEAUX Ces plans possèdent un nombre de niveaux limité à deux pour chaque facteur. Toutes les combinaisons de niveaux sont effectuées au cours de l'expérimentation. Ces plans peuvent être utilisés indistinctement pour les variables continus et pour les variables discrètes. Plans factoriels complets à deux niveaux Exemple: Le rendement dune réaction dépend de t° et de P. ABCD 60°C80°C60°C80°C 1 bar1bar2 bars2 bars

15 05/11/ P t C AB D On peut démontrer que la meilleure stratégie consiste à choisir les 4 points aux extrémités du domaine expérimental. Plans factoriels complets à deux niveaux

16 05/11/ N essaisT (facteur 1)P(facteur 2)rendement Niveau -60°C1 bar Niveau +80°C2 bars Facile: meilleur rendement 80°C, 2 bars Plans factoriels complets à deux niveaux

17 05/11/ Plans factoriels complets à deux niveaux P t y3y3 y1y1 y2y2 y4y4 60% 80%90% 70% 80% Moyenne des réponses au niveau bas de t Effet moyen de t Effet moyen de P Moyenne des réponses au niveau haut de t

18 05/11/ Plans factoriels complets à deux niveaux Ajoutons la moyenne

19 05/11/ Plans factoriels complets à deux niveaux N essaisT (facteur 1)P(facteur 2)rendement Niveau -60°C1 bar Niveau +80°C2 bars Autre exemple, mais cette fois avec un catalyseur

20 05/11/ Effet moyen de t Effet moyen de P Interaction température pression Plans factoriels complets à deux niveaux

21 05/11/ N essaisMoyenneT (facteur 1)P(facteur 2)Interactionrendement diviseur4444 Effet76,56,2511,251,25 Plans factoriels complets à deux niveaux

22 05/11/ Plans factoriels complets à deux niveaux N° essai MF1F2F3Rep Plan complet à trois facteurs 2 3

23 05/11/ N° essai MF1F2F3I12I13I23I div Effet27, ,25 0,250 Plans factoriels complets à deux niveaux Sans effet

24 05/11/ Plans factoriels complets à deux niveaux Construction des plans dexpériences Signes du facteur 1: … Signes du facteur 2: … Signes du facteur 3: … Etc…

25 05/11/ Plans factoriels complets à deux niveaux

26 05/11/ Plans factoriels complets à deux niveaux Sans influence

27 05/11/ Plans factoriels complets à deux niveaux 1,3,9,11 identiques puisque les facteurs 2 et 4 sont sans influence

28 05/11/ Plans factoriels complets à deux niveaux Tout se passe comme si lon avait répété quatre fois un plan à trois facteurs

29 05/11/ Plans factoriels complets à deux niveaux Meilleur résultat: Concentration maïs faible Présence de précurseur Absence de glucose

30 05/11/ Plans factoriels complets à deux niveaux Notation matricielle N essaisMoyenneT (facteur 1)P(facteur 2)Interaction TP transposée

31 05/11/ Plans factoriels complets à deux niveaux Matrice vecteur Y des réponses Matrice vecteur E des effets soit X t Y=4E E=X t Y/n Une fois généralisée:

32 05/11/ Plan du cours Introduction aux plans dexpériences Problématique Notion despace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2 k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs daliases Calcul des contrastes Technique pour désaliaser

33 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Pour 7 facteur, 2 7 = 128 essais!!! Pour diminuer le nombre des essais en conservant la possibilité d'étudier tous les facteurs, les plans factoriels fractionnaires à deux niveaux sont introduits.

34 05/11/ N° essai MF1F2F3Rep Plan complet à trois facteurs 2 3 N° essai MF1F2F3Rep Plan fract Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p On expliquera ce choix plus tard

35 05/11/ Plan complet Plan fract. I Fact1 Fact 2 Fact 3 27, ,5 -0,75 -6,25 -4,25 … Très proches finalement… mais quel est le prix à payer?? Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

36 05/11/ Reprenons les calculs de E 3 et E 12 e 3 = E 3 + E 12 E 3 et E 12 sont dits aliasés, e 3 peut être appelé aliase ou contraste ou simplement effet. Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

37 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Nombre dexpériences divisé par 2. Prix à payer: Les effets calculés ne sont plus « purs », ils sont mélangés ou aliasés avec les interactions. Ici les interactions étaient négligeables donc Interprétations dune façon générale plus complexe!! e 3 E 3

38 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Hypothèses dinterprétation 1. Les interactions du troisième ordre ou plus sont considérées comme négligeables. 2. Si un contraste est nul, cela peut signifier : que les effets aliasés sont nuls que les effets aliasés se compensent (cas rare) 3. Si deux effets sont faibles, on supposera que leur interaction lest aussi 4. Si deux effets sont forts, on se mefiera de leur interaction qui peut également être forte.

39 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p N° essai IF1F2F3I12I13I23I er demi plan 2 e demi plan Identiques pour les facteurs 1 et 2 Si on considère le ½ plan sup. 3 = 12 équivalent à e 3 =E 3 +E 12 Si on considère le ½ plan inf. 3 = -12 équivalent à e 3 =E 3 -E 12 Notation de Box

40 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Sur le premier ½ plan: e 1 = E 1 + E 23 e 2 = E 2 + E 13 e 3 = E 3 + E 12 e M = I + E 123 Sur le deuxième ½ plan: e 1 = E 1 - E 23 e 2 = E 2 - E 13 e 3 = E 3 - E 12 e M = I - E 123 Une colonne de signes multipliée par elle-même donne une colonne de signes + I = 1 2 = 2 2 = 3 2

41 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Générateur daliases Pour le ½ plan sup. I = 123 I x 1 = 123 x 1 1 = = 23 2 = 13 3 = 12 générateur daliases On comprend maintenant le choix des essais 5, 2, 3, 8. On a pris les essais correspondant aux signes + de linteraction 123.

42 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Méthode dangereuse? Non, on peut toujours réaliser la deuxième moitié du plan sil y a un doute. Au mieux, seulement la moitié des expériences est réalisée. Outils qui sadapte parfaitement à lacquisition progressive des données

43 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Contruction des plans fractionnaires 2 facteurs -> 3 facteurs (2 3-1 fractionnaire) N° essai MF1F2I N° essai MF1F2F = 12 On prend une interaction dordre élevé. Ici I 12 Générateur daliases : 123

44 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p IF1F2F3I23I Contruction des plans fractionnaires 3 facteurs -> 5 facteurs (2 5-2 fractionnaire) IF1F2F3F4F = 23 5=123 On prend deux interactions dordre élevé. Ici I23 et I23 Deux générateurs daliases : I = 234 et I = 1235

45 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

46 05/11/ Ces deux générateurs daliases : I = 234 et I = 1235 sont dits indépendants. Ils traduisent le fait que 234 = 1235 = I Si lon multiplie entre eux les générateurs daliases indépendants, on obtient: I x I = 1235 x 234 I = = 145 I = 234 = 1235 = 145 Tous ne présentent que des signes + Le générateur I = 145 est dit dépendant Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Groupe des générateurs daliases des plans 2 k-p

47 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Calcul des contrastes I = 234 = 1235 = 145 I x 1 = 234 x 1 = 1235 x 1 = 145 x 1 1 = 1234 = 235 = 45 e 1 = E 1 + E E E 45 …

48 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Générateur daliases: faisons une parenthèse Imaginons 4 = = 12 6 = 23 7 = 13 Ce qui donne comme GA indépendants I = 1234 = 125 = 236 = 137 Les générateurs daliases dépendants se calculent à partir des générateurs indépendants en les multipliant 2 à 2, 3 à 3, et 4 à 4

49 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Multiplication 2 à x 125 = x 236 = x 137 = x 236 = x 137 = 1267 Multiplication 3 à x 125 x 236 = x 125 x 137 = x 236 x 137 = x 236 x 137 = 3467 Multiplication 4 à x 125 x 236 x 137 =

50 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Le GGA devient: I = 1234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 1356 = 2357 = 1267 = 2456 = 1457 = 567 = 3467 = Ouf! Heureusement on néglige les interactions dordre supérieur à 2 dans les calculs des contrastes.

51 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Notion de résolution: On appellera plan de résolution III, un plan fractionnaire dans lequel les facteurs principaux seront aliasés aux interactions dordre 2. Cest le cas dun plan défini par I = 123 e 1 = E 1 + E 23 e 2 = E 2 + E 13 e 3 = E 3 + E 12 On appellera plan de résolution IV, un plan fractionnaire dans lequel les facteurs principaux seront aliasés aux interactions dordre 3. Cest le cas dun plan défini par I = 1234 Exemple…

52 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Un exemple: le gâteau danniversaire La réponse est la hauteur du cake mesurée en millimètres. Plus, il sera haut meilleur sera le résultat. Comme on ne veut pas préparer 32 gâteaux, on décide d'exécuter un plan factoriel fractionnaire en aliasant le facteur 4 sur l'interaction 123 et le facteur 5 sur l'interaction 13.

53 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Générateur daliases indépendants: 1234 et 135 Générateur daliases dépendant: 1234 x 135 = 245 I = 135 = 245 =

54 05/11/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p I = 135 = 245 = 1234 I x 1 = 135 x 1 = 245 x 1 = 1234 x 1 1 = 35 = 1245 = 234 e 0 = E 0 + E E E 1234 E 0 e 1 = E 1 + E 35 + E E 234 E 1 + E 35 e 2 = E 2 + E 45 + E E 1235 E 2 + E 45 e 3 = E 3 + E 15 + E E 2345 E 3 + E 15 e 4 = E 4 + E 25 + E E 1345 E 4 + E 25 e 5 = E 5 + E 13 + E 24 + E E 5 + E 13 + E 24 e 12 = E 12 + E 34 + E E 145 E 12 + E 34 e 14 = E 14 + E 23 + E E 345 E 14 + E 23 Les contrastes sont simplifiés en tenant compte des hypothèses d'interprétation (Hypothèse 1)

55 05/11/ e 0 E 0 = 30 e 1 E 1 + E 35 = -11 e 2 E 2 + E 45 = 1 e 3 E 3 + E 15 = -2 e 4 E 4 + E 25 = 1 e 5 E 5 + E 13 + E 24 = 12 e 12 E 12 + E 34 = 2 e 14 E 14 + E 23 = 1 Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Cinq contrastes sont faibles. D'après l'hypothèse 2, on peut conclure que les effets et les interactions aliasés dans ces contrastes sont tous faibles. On néglige les facteurs Durée (2), Farine (3) et Sucre (4).

56 05/11/ En revanche les contrastes e 1 et e 5 ne sont pas négligeables. Il faut donc se méfier de l'interaction E 15 qui pourrait être forte (Hypothèse 4). Cette interaction est aliasée avec le facteur 3 dans le contraste e 3. Comme ce contraste est faible, l'interaction l'est aussi (Hypothèse 2). On peut donc conclure qu'il y a 2 facteurs influents sur la hauteur du gâteau, la Température (1) et le nombre d'oeufs (5). Il n'y a pas d'interaction entre ces deux facteurs. Si l'on veut un gâteau de bonne hauteur, il faut travailler à 160°C (niveau bas) et avec 4 oeufs (niveau haut). Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

57 05/11/ Technique pour désaliaser Un exemple: Un plan fractionnaire On construit un plan de base 23 que lon aliase avec les facteurs supplémentaires 4 = 123 et 5 = 13 Le groupe de générateur daliases devient I = 1234 = 135 = 245 On obtient après simplification… Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

58 05/11/ e 1 E 1 + E 35 = -2,18 e 3 E 3 + E 15 = -3,33 e 5 E 5 + E 13 + E 24 = -4,55 e 2 E 2 + E 45 0 soit E 2 0 et E 45 0 e 4 E 4 + E 25 0 soit E 4 0 et E 25 0 e 12 E 12 + E 34 0 soit E 12 0 et E 34 0 e 14 E 14 + E 23 0 soit E 14 0 et E 23 0 Semblent non significatifs Semblent significatifs Il est difficile de conclure car linteraction 35 peut être différente de zéro étant donné que les effets 3 et 5 sont influents. De même pour les interactions 15 et 13… Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

59 05/11/ e 1 E 1 - E 35 e 3 E 3 - E 15 e 5 E 5 - E 13 Il faudrait pouvoir calculer les contrastes: E 1 = (e 1 + e 1 )/2 E 35 = (e 1 - e 1 )/2 parce quon obtiendrait: Nous devons donc bâtir un plan complémentaire 4 = 123 et 5 = -13 Avec comme GGA : I = 1234 = -135 = -245 Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Générateur daliases I= -135

60 05/11/ E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 15 E 25 E 35 E 45 E 12 +E 34 E 13 +E 24 E 14 +E 23 I +E , , , , , ,26 1 0, ,84 1 0,22 1 0, , , ,45 1 Conclusion Seuls deux facteurs sont influents et une forte interaction existe entre ces deux facteurs Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p


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