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3. Trajectoire (suite) - Vecteur normal - Rayon de courbure - Trièdre de Frenet.

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1 3. Trajectoire (suite) - Vecteur normal - Rayon de courbure - Trièdre de Frenet

2 Vecteur tangent et abscisse curviligne u = OM / MM OM / s Rapprochons les points M M (ou t t) position à t M position à t = t + t M s MM = OM O x origine repère

3 Vecteur tangent et abscisse curviligne (2) lim u = lim OM / s = dOM/ds T = dOM/ds M M s MM = OM t 0 T

4 Abscisse curviligne et vitesse T = T(s) avec s fonction de t t s(t) OM(s) s OM

5 Abscisse curviligne et vitesse vitesse instantanée [ norme de v(M) ] = dérivée de labscisse curviligne (norme vecteur T = 1 …)

6 Calcul de labscisse curviligne Exemple : x(t) = t y(t) = 1 + t² t 0 = 0 t t 1 = 2s z(t) = (4/3) t 3/2…... M 0 M 1 = 6 m (en m) M 0 M 1 =

7 Vecteur normal à la trajectoire 3 points de la trajectoire M M et M'' (à t, t+dt, et t – dt) forment le plan osculateur ( P ) (…relatif à M, donc P nest pas un plan fixe : son inclinaison varie avec t)

8 plan osculateur et trajectoire O (T) position M 2 position M 1 Si trajectoire 2D, ( P ) = plan de la trajectoire

9 Vecteur normal à la trajectoire (2) le plan osculateur contient M et M donc T ( P ) défini par T et N le vecteur normal tel que: N T N dirigé à lintérieur de la trajectoire ( T, N ) = π/2 ou ( T, N ) = – π/2

10 Vecteur normal à la trajectoire (3) +π/2 v(M) T N – π/2 T N

11 Calcul du vecteur normal N =+ dT / d (1) (d angle OM OM) - Plus utile sous la forme N =(2)

12 Calcul du vecteur normal (2) Cas frequent de trajectoire 2D : T = T x i + T y j supposé connu N = – T y i + T x j angle = +pi/2 N = T y i – T x j angle = -pi/2

13 Rayon de courbure R C = rayon du cercle qui tangente la trajectoire – dans le plan osculateur – au voisinage de M

14 Rc Mtrajectoire

15 Calcul du rayon de courbure Dans le plan ( P ), au voisinage de M, mvt équivalent à mvt circulaire de rayon Rc : Vitesse linéaire de M = rayon x |vit. angulaire| || v(M) || = R c × | | = || v(M) || = R c × || dT/dt ||

16 Calcul du rayon de courbure (3) Si vecteur accélération connu || v(M) || 3 R c = || v(M) a(M) || exemple :

17 Relation vecteur tangent, vecteur normal, et rayon de courbure A partir de N =et On obtient

18 Le rayon de courbure permet de caractériser les trajectoires Trajectoire à R c constant : – en 2D, cercle (R c = R) – en 3D ? hélice, mvt sur sphère R c – cas limite mvt rectiligne

19 Trièdre de Frenet Troisième vecteur, appelé binormale B = T N – angle T,N = + π/2 B (π), vers le haut – angle T,N = – π/2 B (π), vers le bas (M, T, N, B) = trièdre de Frenet repère local, associé à R 0

20 Programme Matlab (tracé courbe 3D+ rayon de courbure t=[0:0.1:2]; x=1+t; y=t.^2; z=4/3*t.^(3/2); plot3(x,y,z, 'r-o'); grid Rc=(1+2*t).^3./sqrt(36*t+1./t+4); figure(2) plot(t,Rc);grid


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