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18/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatorzième cours.

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1 18/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatorzième cours

2 18/10/07 Rappel du dernier cours Détermination de la valeur actuelle dune rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de lintérêt

3 18/10/07 Rappel du dernier cours Détermination de la valeur actuelle dune rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de lintérêt Détermination la valeur actuelle dune annuité pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de lintérêt

4 18/10/07 Rappel du dernier cours Détermination de la valeur actuelle dune rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de lintérêt Détermination la valeur actuelle dune annuité pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de lintérêt Détermination la valeur accumulée dune annuité pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de lintérêt

5 18/10/07 Rappel du dernier cours: La valeur actuelle dune annuité de début de période est

6 18/10/07 Rappel du dernier cours: La valeur accumulée dune annuité de début de période est

7 18/10/07 Rappel du dernier cours: La valeur actuelle dune rente perpétuelle de fin de période est

8 18/10/07 Rappel du dernier cours: La valeur actuelle dune rente perpétuelle de début de période est

9 18/10/07 Rappel du dernier cours: Considérons une annuité de fin de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par n: la durée de lannuité en période de capitalisation, par i le taux dintérêt par période de capitalisation et par i (m) le taux nominal dintérêt équivalent à i

10 18/10/07 Rappel du dernier cours: La valeur actuelle de cette annuité de fin de période est

11 18/10/07 Rappel du dernier cours: La valeur accumulée de cette annuité de fin de période au dernier paiement (après n périodes de capitalisation) est

12 18/10/07 Considérons une annuité de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par n: la durée de lannuité en période de capitalisation, par i le taux dintérêt par période de capitalisation et par i (m) le taux nominal dintérêt équivalent à i.

13 18/10/07 Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité par

14 18/10/07 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux descompte équivalent à i, d (m) est le taux nominal descompte équivalent à d. Il est possible aussi de donner une explication en terme dannuité de cette formule

15 18/10/07 Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par

16 18/10/07 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux descompte équivalent à i, d (m) est le taux nominal descompte équivalent à d. Il est possible aussi de donner une explication en terme dannuité de cette formule

17 18/10/07 Considérons une rente perpétuelle de fin de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par i : le taux dintérêt par période de capitalisation et par i (m) : le taux nominal dintérêt équivalent à i.

18 18/10/07 Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette rente perpétuelle par

19 18/10/07 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où i (m) est le taux nominal dintérêt équivalent à i. Il est possible aussi de donner une explication en terme dannuité de cette formule

20 18/10/07 Si nous considérons une rente perpétuelle de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par i : le taux dintérêt par période de capitalisation et par i (m) : le taux nominal dintérêt équivalent à i.

21 18/10/07 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux descompte équivalent à i, d (m) est le taux nominal descompte équivalent à d. Il est possible aussi de donner une explication en terme dannuité de cette formule

22 18/10/07 Exemple 1: La loterie nationale veut créer un nouveau jeu de hasard dans lequel le gros lot est de verser 1000$ par semaine à tout jamais. Si le taux dintérêt est le taux effectif i = 5% par année, déterminons la valeur actuelle de ce gros lot. Le premier versement est fait lors de lencaissement du billet gagnant.

23 18/10/07 Exemple 1: (suite) Nous voulons ainsi déterminer la valeur actuelle dune rente perpétuelle de début de période pour lequel le paiement est 1000$, les paiements sont à outes les semaines et la période de capitalisation est lannée. m = 52 i = 5% i (52) = % Total des paiements pendant une période de capitalisation = 52 x 1000 = 52000

24 18/10/07 Exemple 1: (suite) La valeur actuelle recherchée est

25 18/10/07 Exemple 1: (suite) La valeur actuelle recherchée est cest-à-dire

26 18/10/07 Pour conclure sur ce type dannuité, celle pour lesquelles la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de lintérêt. Nous allons considérer une situation continue.

27 18/10/07 Considérons une annuité pour laquelle un paiement de dt dollars est fait au temps t. Ces paiements sont faits continûment pendant n périodes de capitalisation. Le total des paiements faits pendant une période de capitalisation est 1. Le taux dintérêt par période de capitalisation est le taux effectif dintérêt i

28 18/10/07 Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité par

29 18/10/07 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où est le taux instantané dintérêt équivalent à i.

30 18/10/07 Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par

31 18/10/07 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où est le taux instantané dintérêt équivalent à i.

32 18/10/07 Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquelles les paiements ne seront pas constants; soit les paiements forment une suite arithmétique de la forme: P, (P + Q), (P + 2Q), …, (P + (n - 1)Q)

33 18/10/07 Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquelles les paiements ne seront pas constants; soit les paiements forment une suite arithmétique de la forme: P, (P + Q), (P + 2Q), …, (P + (n - 1)Q) soit les paiements forment une suite géométrique: P, (1 +k)P, (1 + k) 2 P, …, (1 + k) (n - 1) P

34 18/10/07 Considérons une annuité ayant n paiements dont le premier est de P dollars et les paiements suivants sont obtenus en ajoutant Q dollars avec chaque paiement. Ces paiements sont faits en fin de période et nous supposerons que la période de paiement coïncide avec la période de capitalisation de lintérêt.

35 18/10/07 Ainsi le premier paiement est de P dollars, le deuxième est de (P + Q) dollars, le troisième est de (P + 2Q) dollars, ainsi de suite jusquau dernier au montant de (P + (n - 1)Q) dollars. Noter que Q peut être négatif. Tout ce que nous supposerons est que (P + (n - 1)Q) > 0. Nous noterons par L : la valeur actuelle de cette annuité.

36 18/10/07 Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

37 18/10/07 La valeur actuelle est alors

38 18/10/07 Exemple 2: Anne a emprunté $ quelle remboursera en faisant 48 paiements. Ces paiements sont faits à la fin de chaque mois, le premier étant fait un mois après le prêt. Le premier paiement est de 1000$ et avec chaque paiement nous augmentons le paiement de X dollars jusquau 20 e. Ensuite ceux-ci sont constants et égaux à ( X). Le taux dintérêt est le taux nominal dintérêt i (12) = 6% par année capitalisé à tous les mois.

39 18/10/07 Exemple 2: (suite) Nous avons ainsi deux annuités, les 20 premiers paiements, qui forment une suite arithmétique, et les 28 derniers paiements, qui sont constants. Pour la seconde annuité, elle est différée. Il faudra ainsi escompter pour obtenir sa valeur actuelle. Le taux dintérêt par mois est (6%/12) = 0.5%

40 18/10/07 Exemple 2: (suite) La valeur actuelle de la première annuité est alors

41 18/10/07 Exemple 2: (suite) La valeur actuelle de la seconde annuité est

42 18/10/07 Exemple 2: (suite) Léquation de valeur à la date de comparaison t = 0 est

43 18/10/07 Exemple 2: (suite) Léquation de valeur à la date de comparaison t = 0 est Nous obtenons que X = 91.80$

44 18/10/07 Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

45 18/10/07 Calculons maintenant la valeur accumulée à la fin de la n e période de cette annuité formant une suite arithmétique. Cette valeur est

46 18/10/07 Exemple 3: Bernard veut accumuler $ en faisant 20 dépôts à La fin de chaque semestre pendant 10 ans. Il dépose initialement P dollars et avec chaque semestre, nous diminuons le paiement de (P/40) dollars. Déterminer P si le taux dintérêt est i (2) = 8%. Le taux dintérêt par semestre est (8%/2) = 4%.

47 18/10/07 Exemple 3: (suite) Léquation de valeur à la fin de la dixième année est

48 18/10/07 Exemple 3: (suite) Léquation de valeur à la fin de la dixième année est Nous obtenons que P = $

49 18/10/07 Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

50 18/10/07 Exemple 4: Cléo fait des dépôts à la fin de chaque mois pendant 15 ans dans un placement rémunéré au taux nominal dintérêt i (12) = 9%. La première année, les dépôts mensuels sont de 300$. Avec chaque année, les dépôts mensuels augmentent de 20$. Déterminons le montant accumulé X à la fin de la quinzième année.

51 18/10/07 Exemple 4: (suite) Il y a ainsi 15 x 12 = 180 dépôts. Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

52 18/10/07 Exemple 4: (suite) Ceci nest pas exactement une annuité pour laquelle les paiements forment une suite arithmétique. Cependant si nous considérons les valeurs accumulées à la fin de chaque année, nous aurons une annuité dont les paiements formeront une suite arithmétique et de plus celle-ci sera équivalente à notre annuité avec dépôts mensuels.

53 18/10/07 Exemple 4: (suite) Le taux dintérêt par mois est I (12) /12 = 9%/12 = 0.75%. Pour la k e année, les paiements mensuels sont au montant de (k - 1). Il y a ainsi 12 dépôts de (k -1) dollars dont la valeur accumulée à la fin de lannée est

54 18/10/07 Exemple 4: (suite) Nous aurons ainsi une annuité ayant 15 dépôts annuels, un à la fin de chacun des 15 années, au montant au lieu des 180 dépôts mensuels de notre première annuité. Mais cette seconde annuité est équivalente à la première.

55 18/10/07 Exemple 4: (suite) Cette seconde annuité a ds paiements qui forment une suite arithmétique. En effet, nous aurons et

56 18/10/07 Exemple 4: (suite) La période de paiement est une année et le taux effectif dintérêt par année équivalent au taux nominal dintérêt i (12) = 9% est %. Nous obtenons alors que la valeur accumulée est cest-à-dire $


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