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Introduction au CHAOS D après Larry Liebovitch, Ph.D. Université de Floride Atlantique 2004 – extrait traduit approximativement par D.Seban.

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1 Introduction au CHAOS D après Larry Liebovitch, Ph.D. Université de Floride Atlantique 2004 – extrait traduit approximativement par D.Seban

2 Ces deux ensembles de données ont les mêmes l l moyennes l l aspects irréguliers l l gammes dintensité

3

4 Données 1 Hasard (random) x(n) = RND

5 CHAOS Déterministe x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)] Données 2

6 etc.

7

8 Données 1 Hasard random x(n) = RND

9 Données 2 CHAOS déterministe x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)] x(n+1) x(n)

10 Définition CHAOS Déterministe on prédit cette valeur Avec ces valeurs

11 CHAOS Petit nombre de Variables x(n+1) = f(x(n), x(n-1), x(n-2)) Définition

12 CHAOS Résultat Complexe

13 Propriétés CHAOS Espace des phases de basse dimension espace des phases d, hasard d = 1, chaos

14 Propriétés CHAOS Sensibilité aux conditions initiales Valeurs initiales très proches Valeurs finales très différentes

15 Propriétés CHAOS Bifurcations Petit changement pour un paramètre Un motif Un autre motif

16 Séries temporelles X(t) Y(t) Z(t) enchassées

17 Espace des phases X(t) Z(t) Y(t)

18 Attracteurs dans lespace des phases Equation logistique X(n+1) X(n) X(n+1) = 3,95 X(n) [1-X(n)]

19 Attracteurs dans lespace des phases Equations de Lorenz X(t) Z(t) Y(t)

20 X(n+1) X(n) Equation logistique espace des phases Séries temporelles d<1 Le nombre de variables indépendantes est supérieur à la dimension fractale d de lattracteur Ici d < 1, léquation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur depend d1 variable indépendante.

21 Equations de Lorenz espace des phasesséries f(t) d =2.03 Le nombre de variables indépendantes est supérieur à la dimension fractale d de lattracteur Ici d = 2.03, léquation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur dépend de 3 variables indépendantes.. X(t) Z(t) Y(t) X(n+1) n

22 Données 1 Séries temporelles Espace des phases avec attracteur dont la dimension fractale tend vers linfini Quand, Les séries temporelles ont été générées par un mécanisme aléatoire. d

23 Données 2 séries temporelles espace des phases d = 1 Quand d = 1, les séries ont été générées par un mécanisme déterministe.

24 Construit par des mesures directes: Espace des phases Chaque point dans lespace des phases muni dun repère, a des coordonnées X(t), Y(t), Z(t) Mesures X(t), Y(t), Z(t) Z(t) X(t) Y(t)

25 Construit à partir dune seule variable Espace des phases Théorème de Takens Takens 1981 In Dynamical Systems and Turbulence Ed. Rand & Young, Springer-Verlag, pp X(t+ t) X(t+2 t) X(t) chaque point dans lespace des phases a des coordonnées X(t), X(t + t), X(t+2 t)

26 vitesse (cm/sec) Position et vitesse de déplacement de la membrane dune cellule ciliée de loreille interne Teich et al Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ; x déplacement (cm) stimulus = 171 Hz Rappel physiologique :

27 vitesse (cm/sec) Position et vitesse de déplacement de la membrane dune cellule ciliée de loreille interne Teich et al Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ; x déplacement (cm) stimulus = 610 Hz -3 x x x 10 -5

28 micro-électrode cellule cardiaque de poussin source électrique voltmètre Cellules myocardiques de poussin v Glass, Guevara, Bélair & Shrier Phys. Rev. A29:

29 Battement spontané, pas de stlimulation externe Cellules myocardiques de poussin voltage temps

30 Stimulées périodiquement 2 stimulations - 1 battement Cellules myocardiques de poussin 2:1

31 Cellules myocardiques de poussin 1:1 Stimulées périodiquement 1 stimulation - 1 battement

32 Cellules myocardiques de poussin 2:3 Stimulées périodiquement 2 stimulations - 3 battements

33 Stimulation périodique - réponse chaotique Le Pattern de battement des cellules myocardiques de poussin Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:

34 = phase de battement en fonction du stimulus Le Pattern de battement des cellules myocardiques de poussin poursuivi phase vs. phase précédente i + 1 expérience i théorie (carte en arcs de cercle)

35 Le Pattern de battement des cellules myocardiques de poussin Glass, Guevara, Belair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29: Tant que la courbe dans lespace des phases est de dimension 1, la synchronisation entre les battements de ces cellules peut être décrite par une relation déterministe.

36 Procédure 1 Séries temporelles Par ex. le voltage en fonction du temps 2 Représenter les séries temporelles en un objet géométrique (=variété topologique). Cette opération sappelle enchassement (embedding )

37 Procédure 3 Déterminer les propriétés topologiques de cet objet et particulièrement, et particulièrement, sa dimension fractale sa dimension fractale 4 Dimension fractale élevée = hasard = hasard Dimension fractale basse Dimension fractale basse = Chaos déterministe = Chaos déterministe

38 La dimension fractale nest pas égale à la dimension fractale!

39 Dimension fractale d: combien de nouveaux détails de la série temporelle apparaissent quand ils sont observés à une échelle de résolution temporelle plus fine. X temps

40 Dimension fractale: La dimension d de lattracteur dans lespace des phases est corrélé au nombre de variables indépendantes X temps d x(t) x(t+ t) x(t+2 t)

41 Mécanisme qui génère les données Chance d(espace des phases) Déterminisme d(espace des phases) = faible Données x(t) t ?

42 Air froid Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20: Modèle Air Chaud (Rayleigh, Saltzman)

43 Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20: Equations

44 X = vitesse de la circulation convective X > 0 sens horaire, X 0 sens horaire, X < 0 sens anti-horaire Y = différence de température entre les flux montants et descendants température entre les flux montants et descendants Equations Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141

45 Z = température du bas vers le haut moins le gradient linéaire Equations Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141

46 Espace des phases Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20: Z X Y

47 Attracteur de Lorenz X < 0 X > 0 Cylindre dair tournant dans le sens anti- horaire cylindre dair tournant dans le sens horaire

48 IX sommet (t) - X base (t)I e t = Exposant de Liapunov Sensibilité aux conditions initiales Equations de Lorenz X(t) X= Condition initiale: différent identique X(t) X=

49 Déterministe non-chaotique X(n+1) = f {X(n)} Précision des valeurs calculées pour X(n): 1,736 2,345 3,254 5,455 4,876 4,234 3,212

50 Déterministe chaotique X(n+1) = f {X(n)} Précision des valeurs calculées pour X(n): 3,455 3,45? 3,4?? 3,??? ? ? ?

51 Conditions initiales X(t 0 ), Y(t 0 ), Z(t 0 )... Univers de lhorloger détermimiste non-chaotique Calcul possible de toutes les valeurs futures X(t), Y(t), Z(t)... Equations

52 Conditions initiales X(t 0 ), Y(t 0 ), Z(t 0 )... Univers Chaotique Chaotique déterministe sensibilité aux conditions initiales Impossibilité de calculer à long terme X(t), Y(t), Z(t)... Equations

53 Attracteur Etrange de Lorenz Les trajectoires venant du dehors sont attirées VERS lui doù son nom dattracteur! En partant de loin:

54 Attracteur Etrange de Lorenz Des trajectoires proches sur lattracteur sont poussées vers la séparation lune de lautre: BIFURCATION (sensitibilité aux conditions initiales) En partant dedans:

55 Lattracteur Etrange est fractal espace des phases ordinaireétrange

56 Chaotique sensibilité aux conditions initiales Séries temporelles non chaotiquechaotique X(t) t t

57 Shadowing Theorem Si les erreurs à chaque étape dintégration sont petites, il existe une trajectoire EXACTE qui arrive à une petite distance de la trajectoire erronée que nous avons calculée

58 Il existe un nombre INFINI de trajectoires dans un attracteur. Quand nous sortons de lattracteur, nous sommes aspirés vers larrière à une vitesse exponentielle. Nous sommes sur une trajectoire exacte, pas juste sur celle où nous croyons être. Shadowing Theorem

59 4. Nous sommes sur une trajectoire réelle 3. puis nous sommes attirés vers lattracteur 2. Lerreur nous fait sortir de lattracteur 1. Nous démarrons ici Trajectoire que nous calculons en réalité Trajectoire que nous essayons de calculer

60 La sensibilité aux conditions initiales signifie que les conditions de lexpérience peuvent être très semblables, mais que les résultats peuvent être assez différents.

61 Mardi + 10 µl ArT

62 10 µl Vendredi ArT +

63 A = 3,22 X(n) n X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]

64 A = 3,42 X(n) n X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]

65 A = 3,62 X(n) n Bifurcation

66 l Commencez avec une valeur de A l commencez avec x(1) = 0,5 l utilisez léquation pour calculer x(2) à partir de x(1). l utilisez léquation pour calculer x(3) à partir de x(2) et ainsi de suite... jusquà x(300). x(n + 1) = A x(n) [1 -x(n)]

67 l Ignorez x(1) à x(50), ce ne sont que les valeurs de transition hors de lattracteur. l Tracez x(51) to x(300) sur laxe des Y au-dessus de la valeur de A sur laxe des X. l Changez la valeur de A, et répétez la procédure. x(n + 1) = A x(n) [1 -x(n)]

68 Des changements soudains dans le pattern indiquent la présence de bifurcations ( ) x(n)

69 Lénergie du glucose est transferrée dans lATP. LATP est utilisé comme une source dénergie pour piloter les réactions biochimiques. Glycolyse + - -

70 périodique Théorie Markus and Hess 1985 Arch. Biol. Med. Exp. 18: Glycolyse temps entrée: sucresortie: ATP chaotique temps

71 Expériences Hess and Markus 1987 Trends. Biomed. Sci. 12:45-48 Consommation dénergie par de la levure de boulanger Glycolyse ATP mesuré par fluorescence entrée de glucose temps

72 Expériences Hess and Markus 1987 Trends. Biomed. Sci. 12:45-48 Périodique fluorescence Glycolyse V in

73 Glycolyse Expériences Hess and Markus 1987 Trends. Biomed. Sci. 12:45-48 Chaotique 20 min

74 Glycolyse Markus et al Biophys. Chem 22: Diagramme de Bifurcation chaos théorie expérience

75 Glycolyse Markus et al Biophys. Chem 22: LADP mesuré à la même phase du cycle du glucose (lATP est en rapport avec lADP) période du cycle du glucose # = période de concentration en ATP fréquence du cycle du glucose

76 Transitions de phase Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press Faites battre lindex gauche au rythme (en phase) avec le métronome. Essayez de faire battre lindex droit hors du rythme du métronome.

77 Transitions de phase Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press Pendant que la fréquence du métronome augmente, lindex droit passe dune oscillation hors- phase (décalé / métronome) à une oscillation en phase.

78 Position de lindex droit Position de lindex gauche A. Séries temporelles Transitions de phase Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press ADD ABD

79 Position de lindex droit 360 o 0o0o B. Évaluation du point de phase relative 180 o Transitions de phase auto-organisées Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press 2 sec

80 cette bifurcation peut sexpliquer comme un changement de fonction dénergie potentielle semblable au changement qui survient dans une transition de phase physique. Potentiel du système paramètre de contrôle Transition de phase Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press

81 De petits changements dans les paramètres peuvent produire de gros changements dans le comportement. + 10cc ArT + 9cc ArT

82 Les bifurcations peuvent servir à tester si le système est déterministe Modèle mathématique déterministe Expérience Bifurcations observées Bifurcations prédites correspondance ?

83 La dimension fractale de lespace des phases nous dit si les données étaient générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe. Données expérimentales x(t) t

84 X(t+ t) Espace des phases X(t) La dimension fractale de lespace des phases nous dit si les données étaient générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.

85 Mécanisme qui a généré les données expérimentales DéterministeHasard d = bas d La dimension fractale de lespace des phases nous dit si les données étaient générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.

86 Epidémies Schaffer and Kot 1986 Chaos ed. Holden, Princeton Univ. Press rougeole New York Séries temporelles: Espace des phases: varicelle

87 Epidémies Olsen and Schaffer 1990 Science 249: dimension de lattracteur dans lespace des phases rougeole varicelle Kobenhavn 3,1 3,4 Milwaukee 2,6 3,2 St. Louis 2,2 2,7 New York 2,7 3,3

88 Epidémies Olsen and Schaffer 1990 Science 249: Modèles SEIR: 4 variables indépendantes S susceptible = prédisposé E exposé, mais pas encore infecté I infecté R recovered = convalescent

89 Epidémies Olsen and Schaffer 1990 Science 249: Conclusion: rougeole: chaotique varicelle: quasi – cyclique annuel

90 Séries temporelles: voltage Kaplan and Cohen 1990 Circ. Res. 67: normal Fibrillation ventriculaire mort D = 1 chaos D = hasard Espace des phases V(t), V(t+ t) Electrocardiogramme: enregistrement électrique de lactivité musculaire cardiaque 8

91 Séries temporelles: voltage Babloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58: normal D = 6 chaos Electrocardiogramme: enregistrement électrique de lactivité musculaire cardiaque

92 Electrocardiogramme: enregistrement électrique de lactivité musculaire cardiaque Séries temporelles: intervalle de temps entre les battements cardiaques Babloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58: normal D = 6 chaos FV mort D = 4 chaos arythmies induites D = 3 chaos Evans, Khan, Garfinkel, Kass, Albano, and Diamond 1989 Circ. Suppl. 80:II-134 Zbilut, Mayer-Kress, Sobotka, OToole and Thomas 1989 Biol. Cybern, 61:

93 Electroencephalogramme: enregistrement électrique de lactivité cérébrale Mayer-Kress and Layne 1987 Ann. N.Y. Acad. Sci. 504:62-78 séries temporelles: V(t) Espace des phases: D=8 chaos V(t) V(t+ t)

94 Rapp, Bashore, Martinerie, Albano, Zimmerman, and Mees 1989 Brain Topography 2: Babloyantz and Destexhe 1988 In: From Chemical to Biological Organization ed. Markus, Muller, and Nicolis, Springer-Verlag Xu and Xu 1988 Bull. Math. Biol. 5: Electroencephalogramme: enregistrement électrique de lactivité cérébrale

95 Différents groupes de chercheurs trouvent différentes dimensions en appliquant les mêmes conditions expérimentales Electroencephalogramme: enregistrement électrique de lactivité cérébrale

96 tâche mentale Éveil calme, paupières fermées Sommeil virus: Creutzfeld -Jakob Epilepsie: petit mal Méditation, Qi-kong Electroencephalogramme: enregistrement électrique de lactivité cérébrale Peut-être que… dimension élevée basse dimension

97 Chaîne aléatoire de Markov Comment calculer le x(n) suivant: Chaque t pioche un nombre R au hasard entre 0 et 1 0 < R < 1 Si ouvert et que R fermé Si fermé et que R ouvert

98 Chaîne de Markov t fermé Etat fermé: probabilité de souvrir dans létat suivant t=p o Etat ouvert: probabilité de se fermer dans létat suivant t = p c ouvert

99 Carte ditération déterministe Liebovitch & Tóth 1991 J. Theor. Biol. 148: x(n) = état au temps n x(n+1) = f (x(n)) ouvert fermé x(n+1) x(n)

100 0x(1) 0 x(2) 0 x(3) 0 x(2) Carte ditération déterministe Liebovitch & Tóth 1991 J. Theor. Biol. 148: Comment calculer le x(n) suivant:

101 Ecroulement du pont de Tacoma Le 7 novembre 1940, le pont suspendu de Tacoma entre en oscillation sous l'action du vent. L'amplitude de torsion devient excessive et le pont s'écroule. Une revue moderne explique pourquoi les explications données dans les livres de physique est fausse: Billah and Scanlan 1991 Am. J. Phys. 59:

102 Le pont de Tacoma Equation dune résonnance simple: x + Ax + Bx = f ( t ) Equation de la vibration qui a détruit le pont de Tacoma: x + Ax + Bx = f ( x, x )

103 Comme une petite molécule commutée sans cesse dun état à lautre par la chaleur qui lentoure (agitation moléculaire) le changement détat est provoqué par des fluctuations thermiques kT aléatoires FERME hasard OUVERT énergie Hasard

104 Déterministe Comme une petite machine mécanique avec des cliquets et des ressorts Le changement détat est commandé par des mouvements cohérents qui résultent de la structure et des forces atomiques, électrostatiques et hydrophobes des protéines constituant le canal. fermé ouvert énergie déterministe

105 Analyse des données expérimentales En principe, vous pouvez savoir si les données ont été générées par un mécanisme aléatoire ou déterministe La bonne nouvelle:

106 Analyse des données expérimentales En pratique, ce nest pas facile. La mauvaise nouvelle:

107 Beaucoup de données nécessaires Très grosse masse de données: 10 d ? Le taux déchantillonage doit couvrir lattracteur uniformément.échantillonnage trop fréquent: on voit seulement les trajectoires 1-d.échantillonage trop rare: on ne voit plus lattracteur du tout Pourquoi cest difficile de savoir si un mécanisme est aléatoire ou déterministe

108 Lanalyse des données est délicate Choix de lintervalle de temps t pour lenchassement – intervalle trop court: la variable ne change pas assez, les dérivées ne sont pas précises – intervalle trop long: la variable change trop, les dérivées ne sont pas précises. Méthode dévaluation de la dimension.

109 Les mathématiques ne sont pas la connaissance Les théorèmes denchassement ne sont prouvés que pour les séries temporelles lisses. Pourquoi cest difficile de savoir si un mécanisme est aléatoire ou déterministe

110 Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ? N = Nombre de valeurs dans les séries temporelles, nécessaires pour évaluer correctement la dimension dun attracteur de dimension D N quand D = 6

111 Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ? Smith 1988 Phys. Lett. A133: D Wolff et al Physica D16: D Wolf et al Physica D16: D

112 Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ? Nerenberg & Essex 1990 Phys. Rev. A42:7065 D+2 2 _______1________ k d 1/2 [A In (k)] (D+2)/2 D/2 2(k-1) ((D+4)/2) (1/2) ((D+3)/2) x[x[]

113 Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ? Ding et al Phys. Rev. Lett. 70: D/2 (D/2)! D/ Gershenfeld 1990 preprint 2D2D

114 nombres pris au hasard Exemple pathologique où un processus aléatoire de dimension infinie a un attracteur de BASSE dimension

115 Séries temporelles: 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6... Espace des phases: Exemple pathologique où un processus aléatoire de dimension infinie a un attracteur de BASSE dimension D =

116 Organisation des Vecteurs dans lespace des phases Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68: petite direction moyenne Hasard Pas de flux uniforme

117 Organisation des Vecteurs dans lespace des phases Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68: grande Déterministe direction moyenne Flux uniforme

118 Séries temporelles Espace des phases Expérience Dimension basse = déterministe élevée = hasard exemples: ECG, EEG FAIBLE

119 Faire varier un paramètre Expérience prédit par un modèle non-linéaire FORTE Voir le comportement stimulation électrique de cellules, réactions biochimiques exemples:

120 Contrôle données sortantes Système Non-Chaotique Paramètre de contrôle

121 Contrôle données sortantes Système chaotique Paramètre de contrôle

122 Contrôle des systèmes biologiques Lancienne manière dagir Un contrôle par la force brute GROSSE machine GROSSE puissance coeur Ampères

123 Contrôle des systèmes biologiques Nouvelle manière dagir: de délicates impulsions astucieusement rythmées petite machine petite puissance mA coeur

124 Ancienne façon de voir les choses: Des forces pilotent le système entre des états stables Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?

125 Force DForce E état stable B état stable A état stable C

126 Comment concevons-nous les systèmes biologiques ? Nouvelle façon de voir: Se maintenir un bon moment dans une condition oblige le système à évoluer vers une autre condition.

127 Dynamique de A Dynamique de B Comment concevons-nous les systèmes biologiques ? état instable B état instable A état instable C

128 Le Chaos en résumé PEU DE VARIABLES INDEPENDANTES Mais le comportement est si complexe quil mime un comportement aléatoire.

129 Le Chaos en résumé La valeur des variables à linstant suivant peut être calculée à partir des valeurs à linstant précédent. x i (t+ t) = f (x i (t)) SYSTEME DYNAMIQUE DETERMINISTE

130 Le Chaos en résumé x 1 (t+ t) - x 2 (t+ t) = Ae t SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALES NON PREDICTIBLE A LONG TERME

131 Le Chaos en résumé ATTRACTEUR ETRANGE Lespace des phases est de basse dimension (souvent fractale).


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