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2-3-4 : Avantages de la médiane. La médiane est dun calcul facile ; elle résulte presque dune simple lecture après classement des observations faites.

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1 2-3-4 : Avantages de la médiane. La médiane est dun calcul facile ; elle résulte presque dune simple lecture après classement des observations faites. Elle donne une idée satisfaisante de la tendance générale dune série statistique. Elle nest pas influencé par les valeurs aberrantes de la variable qui pourraient figurer dans la série. Si, par exemple, dans le calcul précédent, au lieu dune classe [55, 60 ] comprenant 3 unités, nous avions une classe [55, 60[ comprenant deux unités et une classe [85, 90[ comprenant une unité, la valeur obtenue de la variable, 35 années et 4 mois, ne serait en rien modifiée : Propriétés de la médiane :Reprenons la série suivante des neuf notes obtenues par un candidat à un examen et pour laquelle la médiane est 11 : et calculons |x i -11| pour chacune des valeurs de la variable : |7-11| = 4 |7-11| = 4 |8-11| = 3 ……….. |12-11| = 1 |14-11| = 3 On obtient la suite : dont le total des termes est 18. Prenons une autre valeur observée de la variable, 10 par exemple et calculons |x i -10|. On obtient la suite : dont le total est 19, total plus élevé que le précédent, obtenu par référence à la médiane. Ainsi | x i – a | > | x i – médiane | où a est une valeur quelconque de la variable.

2 [ [[ [[ [[ [[ [[ [[ [[ [ Age Effectifs n i En statistique la valeur absolue de la différence entre deux nombres sappelle lécart des deux nombres, nous énoncerons alors la propriété suivante de la médiane propriété que nous ne démontrerons pas mais quil est aisé de vérifier. «La somme des écarts des valeurs observées de la variable et de la médiane, est plus petite que la somme des écarts des valeurs observées de la variable et dune valeur quelconque de la variable». Vous pouvez vérifier cette propriété sur la série des âges qui nous a servi à la détermination de la médiane dans le cas dune variable continue, mais en utilisant comme valeurs de la variable les centres de classes, soit 22.5, 23.5, 24.5, etc.…et en tenant compte, bien entendu des effectifs correspondant à chaque classe. lhistogramme en deux parties. Calculons la mesure de laire de chacune de ces deux parties. Mesure aire de gauche : 5*9 + 5*27 + 5* *1/3 = 375. Mesure aire de droite : 45*(14/3) + 5*18 + 5*9 + 5*3 + 5*3 = 375. « La verticale menée à hauteur de la médiane partage lhistogramme en deux surfaces dont les aires sont égales entre elles » : Reprenons lhistogramme, relatif à la série des âges des ouvriers et menons, par le point de laxe des abscisse ayant pour abscisse 35 ans et 4 mois, valeur de la médiane, une parallèle à laxe des ordonnées. Cette parallèle partage médiane

3 2- 4 : La moyenne arithmétique. A partir de la série statistique portant sur le nombre denfants à charge des membres du personnel dune entreprise, cherchons à calculer le nombre moyen denfants à charge par employé. Résolution : le raisonnement est le suivant : Le nombre moyen denfants à charge, par membre du personnel est donc : 209/89 = 2.3 enfants Nb denfants à charge Effectifs ni Total Valeurs de la variable x i Effectifs n i Produits x i n i N = n i = 89 x i n i = 209 Le nombre total denfants est : (0x5)+(1x17)+(2x31)+(3x20)+(4x11)+(5x4)+(6x1)= membres du personnel ont ensemble 209 enfants. Le raisonnement qui vient dêtre fait se traduit par le tableau de calculs ci-contre. En désignant par la lettre m le nombre moyen cherché nous pouvons écrire Ce nombre m est la moyenne arithmétique des x i de la série statistique (x i, n i ).

4 : Définition. la moyenne arithmétique m, des valeurs x i de la variable X de la série statistique (x i, n i ) est donnée par la formule : ou à laide des fréquences Puisquon sait que la fréquence ClassesCentre des classesEffectifs ni [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ Total : Variable continue. Reprenons lexemple des 150 ouvriers dune entreprise classés daprès leur âge. Quand la variable est continue et si les données sont groupées comme dans le tableau ci-contre, on ne peut que rechercher arbitrairement une moyenne à lintérieur de chaque classe ; à défaut dautre renseignement, les x i retenus pour le calcul de la moyenne sont les centres des intervalles de classes.

5 : calcul de la moyenne par la méthode de changement de variable. Si lon note d i = x i -x 0 les écarts avec un nombre x 0 donné, alors la moyenne arithmétique m, des valeurs x i de la variable X de la série statistique (x i, n i ) est donnée par la formule : Si toutes les classes ont la même amplitude A et x 0 est un centre de classe, alors les écarts sont des multiples de A cest-à-dire d i = A u i où u i = 0, 1, 2, ….Dans ce cas la moyenne est donnée par : Puisquon sait que la fréquence ClassesCentre des classes Effectifs ni [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ Total

6 La moyenne arithmétique présente linconvénient dentraîner des calculs parfois longs, et dêtre influencée par des valeurs aberrantes de la variable (valeurs exagérément faibles, ou exagérément élevées). Cependant le fait dutiliser toutes ces valeurs entraîne que la moyenne arithmétique est la meilleure des caractéristiques de position, et quelle est commodément utilisable pour des développements mathématiques : Inconvénients, avantages, de la moyenne arithmétique. Nous venons de calculer des moyennes arithmétiques, sur deux exemples de séries statistiques, en utilisant la formule dans laquelle chaque valeur x i observée, de la variable X, était pondérée par leffectif n i qui lui correspondait ; c'est-à-dire que chaque valeur x i intervenait dans le calcul de la moyenne arithmétique un nombre de fois n i égal au nombre de fois où cette valeur avait été observée. La moyenne arithmétique ainsi calculée est dite une moyenne arithmétique pondérée. Il est utile de signaler une autre propriété de la moyenne arithmétique, qui sera établie ultérieurement : : Remarque importante sur la moyenne arithmétique.

7 On pourrait envisager un calcul de moyenne arithmétique fait en ne comptant quune fois dans le calcul chaque valeur observée de la variable. Ainsi notre premier exemple – calcul dun nombre moyen denfants à charge – conduirait au résultat suivant : Moyenne arithmétique = (Quotient de la somme des différentes valeurs prises par la variable étudiée, par le nombre de ces différentes valeurs, chacune nétant compté quune fois) notre second exemple – calcul dun âge moyen – donnerait : Moyenne arithmétique = Une moyenne arithmétique ainsi calculée est dite moyenne arithmétique simple. Il est bien certain quune moyenne arithmétique simple qui accorde la même importance aux valeurs dominantes de cette variable ne peut pas présenter autant de signification qune moyenne arithmétique pondérée, qui accorde à chaque valeur de la variable limportance qui est la sienne, importance mesurée par leffectif correspondant. Cest pourquoi par la suite nous entendrons par moyenne arithmétique la moyenne arithmétique pondérée.

8 2- 5 : La moyenne géométrique. Dune façon générale, si lon dispose du tableau statistique habituel Valeurs x i de la variable XEffectifs n i x1x2…xi…Xk x1x2…xi…Xk n 1 n 2 … n i … n k n i = N La moyenne géométrique des valeurs x 1, x 2, x 3 ….x i, …x k est donnée par la formule : Le calcul dune moyenne géométrique est toujours long et pénible. On a avantage à écrire sous forme logarithmique la formule qui conduit à la détermination de G : Ce qui permet dénoncer que le logarithme de la moyenne géométrique est égale à la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs de la variable

9 x 2 = x 1 +10%*x 1 =x *x 1 =1.1 x 1, de même x 3 =1.1 x 2 etc. Ce chiffre daffaire a été successivement, au cours de cinq mois, égal à : x 1 = 10000, x 2 = 11000, x 3 = 12100, x 4 = 13310, x 5 = Quelque soit i : n i = 1 donc n i = 5. Exemple : Supposons une entreprise dont le chiffre daffaires mensuel, sur une période de 5 mois consécutifs, soit tel que le chiffre daffaires dun mois égale le chiffre daffaires du mois précédent augmenté de 10% de son montant. 1- Montrer que la suite des chiffres daffaire mensuel constitue une progression géométrique de raison 1,1. 2- Si le chiffre daffaires du premier mois est de déterminer les chiffres daffaires des autres mois. 3- Calculer la moyenne géométrique de cette série. Le calcul de la moyenne géométrique présente toujours un intérêt et a toujours un sens lorsque le quotient de deux valeurs quelconques de la variable a un sens. Ainsi dans cet exemple : Signifie que le chiffre daffaires a augmenté de 21 % du 3 e au 5 e mois.

10 2- 6 : La moyenne harmonique. Montrons dabord un exemple de problème dans lequel on peut être conduit à calculer une moyenne harmonique. Supposons quune entreprise dispose de deux voitures automobiles dont les consommations respectives de carburant, pour une distance de 100 kilomètres, sont de 20 litres et 10 litres. Lentreprise se propose de calculer la consommation moyenne de carburant, pour 100 kilomètres, des deux véhicules en question. Elle peut calculer la moyenne arithmétique des consommations. Elle est égale à 30 /2 = 15 litres pour 100 kilomètres. Mais on peut aussi tenir le raisonnement suivant : - le premier véhicule permet de couvrir, avec un litre de carburant, 100/20 = 5 km. - le second véhicule permet de couvrir, avec un litre de carburant,100/10 = 10 km. En moyenne les deux automobiles permettent donc de parcourir, avec un litre de carburant : (5+10)/2 = 7.5 km. Et en moyenne la consommation de carburant aux 100 kilomètres, sera égale à 100/7.5 = 13.3 litres, résultat différent des 15 litres précédemment obtenus. Nous venons de calculer la moyenne harmonique des deux nombres 20 et 10, moyenne qui satisfait à la relation :

11 Dune façon générale, et avec les notions habituelles, la moyenne harmonique, que nous désignerons par la lettre H, sera donnée par la formule : et peut sénoncer : linverse de la moyenne harmonique est égal à la moyenne arithmétique des inverses des valeurs de la variable Le calcul dune moyenne harmonique est intéressant et significatif chaque fois que lon peut donner un sens aux nombres inverses des valeurs prises par la variable statistique. avec ce qui peut aussi sécrire : Dans lexemple des deux voitures, la moyenne arithmétique de 15 litres signifie que : -si le premier véhicule utilise 10 L de carburant, il peut parcourir 100*(10/20) = 50 km. -si le second véhicule utilise 5 L de carburant, il peut parcourir 100*(5/10) = 50 km. Lutilisation de = 15 L de carburant permet de parcourir = 100 km. Par ailleurs, la moyenne harmonique de L signifie que : -si le 1 er véhicule utilise 6,66 L de carburant, il peut parcourir 100*(6.66/20)=33.33 km. -si le 2 nd véhicule utilise 6,66 L de carburant, il peut parcourir 100*(6.66/10)=66.66 km. Une consommation totale de 6,66 + 6,66 = litres de carburant permet de parcourir une distance de 33, ,66 ~ 100 km.

12 2- 7 : Conclusion sur les moyennes. Toutes les moyennes que nous venons de rencontrer remplissent leur rôle qui est de donner la notion chiffrée de la valeur centrale (de la position, de lordre de grandeur) dune distribution statistique. Cependant leurs définitions, les calculs quelles entraînent, nous conduisent à donner la préférence à la moyenne arithmétique. Nb denfants à chargeEffectifs ni Total ConsommationNombre de voitures ni Total Indiquons que les trois moyennes étudiées satisfont, pour une même distribution statistique, aux conditions dinégalité. Rappelons enfin que ces moyennes sexpriment dans la même unité que la variable étudiée, comme cest le cas dailleurs, pour le Mode et pour la Médiane.

13 2- 8 : Relation empirique entre la moyenne, la médiane et le mode. Pour des courbes de densité unimodales modérément asymétriques, on a la relation empirique suivante : Les figures ci-dessous montrent les positions relatives de la moyenne, de la médiane et du mode pour des courbes de densité qui saplatissent légèrement soit à droite, soit à gauche. Dans le cas de courbes symétriques la moyenne, le mode et la médiane coïncident. Mode Médiane Moyenne Mode Médiane Moyenne Mode = Médiane = Moyenne 2- 9 : La moyenne quadratique (M.Q). La moyenne quadratique de lensemble des valeurs x 1 (n 1 ), x 2 (n 2 )… x N (n N ) de la variable X est définie par : Cette moyenne est très fréquente en physique.


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