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Le nombre total des élèves est : 160 Prendre comme amplitude de base A = 1.

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2 Le nombre total des élèves est : 160

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5 Prendre comme amplitude de base A = 1

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9 1-5-2-h : Graphique en radar. Montre lévolution ou la fréquence des séries de données entre elles et par rapport à un point central. Chaque catégorie possède son propre axe des valeurs (Y) qui rayonne à partir du point central. Des courbes relient toutes les marques de données appartenant à la même série. Ce type de graphique est couramment utilisé dans les pays dExtrême-Orient.

10 1-5-3 : Polygone statistique. Polygones cumulatifs : variable continue Considérons la distribution statistique portant sur lâge des ouvriers dune entreprise, et dont lequel les classes dâge ont toutes la même amplitude. Age en années Effectifs niEffectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ Total

11 Les rectangles construits ont tous même base ; leurs hauteurs sont proportionnelles aux effectifs quelles veulent représenter ; nous pouvons en conclure que leffectif correspondant à une classe est traduit par la surface du rectangle construit en prenant cette classe comme base. Age en années Effectifs niEffectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants. [45, 50[ [50, 60[ Total Supposons que le tableau qui a servi à construire lhistogramme ait été tel que les effectifs des deux dernières classes aient été regroupés et que, par exemple, la fin du tableau se soit présentée de la façon suivante.

12 Il serait inexact, les classes données nayant pas toutes même amplitude (la dernière classe a une amplitude double de celle des autres), de représenter lhistogramme comme il a été dit plus haut. On obtiendrait en effet lhistogramme suivant. Age en années Effectifs ni [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ Cet histogramme est faux, car il représente une série statistique qui correspondrait aux effectifs suivants (pour les dernières classes) : Effectifs qui ne sont pas ceux quil fallait représenter. Il est facile de voir que lamplitude de la classe [50, 60[ étant double de lamplitude de chacune des autres classes, il fallait représenter, sur le segment 50-60, un rectangle de hauteur moitié de leffectif donné, cest-à-dire un rectangle de hauteur 6/2 = 3. On aurait ainsi obtenu lhistogramme exact, obtenu précédemment.

13 Dune façon générale, si une classe est damplitude k fois plus grande (ou plus petite) que lamplitude prise pour unité, il sera bon, avant la présentation de lhistogramme correspondant, de diviser (ou de multiplier) par k leffectif correspondant à la classe en question, leffectif corrigé obtenu donnant la hauteur du rectangle à présenter. Cette remarque met laccent sur le fait que, en matière de représentation à laide dun histogramme, cest laire des rectangles, et non leur hauteur, qui est proportionnelle à leffectif. En joignant par des segments de droite les points milieux des côtés supérieurs des rectangles constituant lhistogramme (ces points ont pour abscisses les valeurs centrales des classes) on obtient le polygone statistique qui donne lallure générale de la distribution du caractère étudié. Polygone statistique. On complète ce polygone en le faisant commencer au point de coordonnées ( x=17.5 ; y =0 ) et finir au point ( x=62.5 ; y =0 ). Laire du polygone est égale à laire de lhistogramme (vrai uniquement si toutes les classes sont de même amplitude).

14 Polygones cumulatifs. Age en années Effectifs ni Effectifs cumulés croissants [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ Total A partir du même exemple construisons dans un repère cartésien orthogonal les points dont les abscisses sont égales aux bornes supérieures des classes, (sauf pour le premier point) et dont les ordonnées sont les effectifs cumulés croissants correspondants. En joignant ces points par des segments de droites nous obtenons le polygone cumulatif croissant ou polygone des effectifs cumulés croissants de la série donné. Sur la représentation graphique, on peut lire aisément que, par exemple, 72 ouvriers (ou 48% de leffectif total de la population étudié) ont moins de 35 ans.

15 Construisons également dans un repère cartésien orthogonal les points dont les abscisses sont égales aux bornes inférieures des classes, (sauf pour le dernier point) et dont les ordonnées sont les effectifs cumulés décroissants correspondants. En joignant ces points par des segments de droites nous obtenons le polygone cumulatif décroissant de la série donnée. Sur cette représentation on lit aisément, par exemple, que 114 ouvriers (ou 76 % de leffectif total de la population) ont un âge supérieur à 30 ans. On construirait de la même façon les polygones cumulatifs des fréquences. Il serait facile de voir que les deux polygones cumulatifs, représentés sur un même système daxes, sont symétriques par rapport à laxe parallèle à laxe des abscisses et dordonnée 150/2 = 75 (en effectif cumulés) ou 100/2 = 50 (en fréquence cumulés).

16 Dans le cas dune variable statistique discrète, on ne peut pas tracer de polygone cumulatif puisque la variable passe de lune de ses valeurs à la suivante de façon discontinue, et on non progressivement comme dans le cas dune variable continue. Utilisant lexemple suivant : statistique du personnel dune entreprise daprès le nombre denfants à charge. Remarque : Nb denfants à charge Effectifs ni Effectifs cumulés croissants Total fonction E : x ---- E(x), E(x) étant la somme des effectifs des x i tels que x i < x. Sur la représentation on lit, par exemple, que E(2) = 22, ce qui signifie que 22 ouvriers ont moins de 2 enfants à charge. La représentation graphique obtenue est celle dune fonction en escalier, appelée fonction de répartition des effectifs, cest la

17 : Représentation des séries chronologiques. Nous nous proposons maintenant de représenter graphiquement non plus la structure dune population, mais lévolution dans le temps dune variable statistique. Celle-ci pourra être le chiffre daffaire, le montant des frais fixes etc. Il faudra pour cela choisir un type de coordonnées et une échelle adéquate a: Les coordonnées cartésiennes et logarithmiques. Cest le type le plus courant de coordonnées que lon utilise dans la plus part des cas. Le temps est représenté sur laxe des abscisses, la variable étudié sur laxe des ordonnées. Deux types déchelle sont utilisées couramment : léchelle arithmétique et léchelle logarithmique. Dans le cas de léchelle arithmétique, les graduations sont établies suivant la succession logique des nombres entiers.

18 Limportance du rapport entre léchelle des temps et léchelle du chiffre daffaires dans notre exemple, détermine linterprétation plus ou moins objectif qui peut être faite du phénomène correspondant. Les mêmes chiffres peuvent être représentés comme suit : Les conclusions peuvent parfois être fortement affectées par le choix de léchelle…

19 Dans le cas de léchelle de type arithmétique, on représente par une longueur égale (unité sur les axes) une variation absolue identique. La différence entre 150 et 300 sera représentée par la même longueur que celle entre 4200 et 4350, puisque sa valeur est toujours de 150. Dans bien des cas, il est plus intéressant de sattacher à la variation relative : par exemple, on cherchera à connaître le taux de sa variation du chiffre daffaires plutôt que de se fixer à sa variation en valeur absolue. On représentera la variable à laide de coordonnées logarithmique. Le graphique semi-logarithmique est un excellent moyen de mettre en évidence une idée ou un résultat grâce aux propriétés des logarithmes décimaux. Rappels sur le logarithme décimal : Le logarithme décimal d'un nombre est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir ce nombre. Appliquons cette définition à quelques nombres. Quel est, par exemple, le logarithme décimal de 1 ? C'est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir 1 : 10 0 = 1 On écrira donc : log 1 = 0 Quel est le logarithme décimal de 100 ? C'est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir 100 : 10 2 = 100, parce qu'il faut élever 10 à la puissance 2 pour obtenir 100. Donc 2 est le logarithme décimal de 100. On écrira par conséquent : log 100 = 2

20 Inversement, si l'on demande "De quel chiffre 3 est-il le logarithme décimal ?", on fera le raisonnement inverse. Sachant que 10 3 = 1000, la réponse est donc : log 1000 = 3 ; Autrement dit, 3 est le logarithme décimal de Exemple 1 : L'échelle logarithmique permet de mieux voir les différences de progression On décide de comparer le nombre de contrats conclus par deux vendeurs en 2004 et 2005 : Progression Vendeur log(300)=2, log(600)=2,78 multiplié par 2 Vendeur log(100)=2 400 log(400)=2,6 multiplié par 4 Le tableau montre que le nombre de contrats conclus par le vendeur 1 a été multiplié par deux et que le nombre de contrats conclus par le vendeur 2 a été multiplié par 4. Sur un graphique ordinaire (à gauche ci-dessous), les deux progressions sont parallèles. En revanche, sur un graphique avec une ordonnée logarithmique, on voit clairement que la progression du vendeur 2 est plus rapide que celle du vendeur 1.

21 Exemple 2 : L'échelle semi-logarithmique convient mieux à la mise en évidence des variations relatives en particulier les graphiques montrant des évolutions à taux constant. Lorsquon veut représenter des valeurs très éloignées dans le temps, léchelle arithmétique nest pas appropriée car on sintéresse souvent au taux de variation et non pas à la valeur absolue. Prenant lévolution de lindice des actions américaines Dow-Jones depuis lindice a passé de en 1850 à en le fameux crash boursier de 1929 et des débuts des années 30 napparaît sur ce graphique que par une petite baisse de lindice. Or la baisse a été très forte (environ 80 %). Il faut prendre des valeurs relatives et non pas des valeurs absolues. Dans le cas où on prend en ordonnée le logarithme décimal de lindice on obtient le graphique suivant :

22 Dans ce graphique le crash de 1929 est bien visible et la baisse de ces dernières années peut être comparée à celle des années trente. Léchelle arithmétique et léchelle logarithmique sont les suivantes : Echelle arithmétiqueEchelle logarithmique Dans une échelle arithmétique, des longueurs égales représentent des variations égales tandis que dans une échelle logarithmique des longueurs égales représentent des rapports égaux.


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