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Statistique Descriptive Chapitre 1 : Les tableaux et représentations graphiques Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM EST de Guelmim Maroc Site internet :

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1 Statistique Descriptive Chapitre 1 : Les tableaux et représentations graphiques Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM EST de Guelmim Maroc Site internet :

2 Objectifs de ce module Savoir décrire et représenter une série statistique par un tableau et un ou plusieurs graphiques adaptés. On fera des choix des représentations différents selon la nature du caractère. Statistiques descriptives à une variable : représentations

3 Introduction La représentation tabulaire est préalable à toute analyse statistique. Elle fait suite au travail préliminaire de collecte des données. La représentation graphique dun seul caractère repose sur une règle de proportionnalité des hauteurs ou aires des graphiques aux effectifs (ou fréquences). Le choix dun type de graphique dépendra de la nature du caractère étudié.

4 Plan du chapitre 1 I. Caractères qualitatifs. II. Caractères quantitatifs discrets. III. Caractères quantitatifs continus. Voici les parties que nous allons aborder :

5 Plan de la partie 1. Représentation tabulaire. 2. Diagramme à bande. 3. Diagramme circulaire. Voici les chapitres que nous allons aborder :. Caractères qualitatifs

6 1. Représentation tabulaire Tableau à simple entrée, sans hiérarchie (sauf si le caractère est ordinal). La première colonne renseigne les modalités et les deux suivantes les effectifs et fréquences. Si le caractère est ordinal, on pourra rajouter une dernière colonne avec les fréquences cumulées.. Caractères qualitatifs

7 Exemple: On a noté la situation familiale des 150 employés d'une entreprise. 1. Représentation tabulaire. Caractères qualitatifs

8 On ne s'intéresse pas à la situation personnelle de M. Azim ou de M. Farid, mais à la répartition du caractère "situation familiale" dans la population des 150 employés. Pour cela il faut, pour chacune des modalités de la variable, déterminer l'effectif correspondant, c'est-à-dire le nombre de personnes ayant cette modalité : il faut dénombrer le nombre de célibataires, le nombre de mariés, etc..

9 Cela peut se résumer par :

10 On notera x 1, x 2,..., x k les différentes modalités, et n 1, n 2,..., n k les effectifs associés. Dans le tableau ci-dessus, x 1 = "marié", n 1 = k = La somme des effectifs vaut : La variable que nous venons de voir est…

11 On aurait pu tout aussi bien présenter les résultats sous la forme ci-dessus, par exemple.

12 Par contre, s'il s'agit d'une variable ordinale, les modalités sont toujours présentées dans l'ordre : x 1 x x k, comme dans l'exemple ci-dessous.

13 L'ensemble des couples { (x i, n i ), i = 1,..., k } est une série statistique (ordonnée), ou distribution observée de la variable. La somme de tous les n i est-elle toujours égale à n, nombre des observations ? On notera ceci : effectif total

14 On appellera fréquence relative la valeur que l'on peut aussi exprimer en pourcentage par f i x 100, c'est le pourcentage d'individus pour lesquels la variable a pris la valeur x i.

15 Complétez le tableau : A quoi est égal ici le total de la colonne fréquence ? Et celui de la colonne "pourcentage" ? Il y a, parmi les 150 employés, …….% qui sont mariés.

16 2. Diagramme à bandes Aussi appelé représentation par « tuyaux dorgue ». Les modalités sont placées sur un axe horizontal. Les effectifs (ou fréquences) sont placés sur un axe vertical. La hauteur de chaque tuyau est proportionnelle à leffectif correspondant. Permet de comparer dun « coup dœil » les différentes modalités.. Caractères qualitatifs

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18 3. Diagramme circulaire Laire, et donc langle au centre dun secteur, est proportionnelle à la fréquence (ou leffectif) de la modalité considérée (doù un angle de f i x 360° pour la modalité i). Permet de bien visualiser la part relative de chaque modalité.. Caractères qualitatifs

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20 . Caractères quantitatifs discrets Statistiques descriptives à une variable : représentations

21 Plan de la partie 1. Représentation tabulaire. 2. Diagramme bâton. 3. Courbe des fréquences cumulées. Voici les chapitres que nous allons aborder :. Caractères quantitatifs discrets

22 1. Représentation tabulaire Tableau à simple entrée, où les données sont classées par ordre croissant. La première colonne renseigne les différentes valeurs du caractère, et les trois suivantes les effectifs, fréquences et fréquences cumulées.. Caractères quantitatifs discrets

23 De même, pour une variable discrète, on notera x 1, x 2,..., x k les valeurs rangées par ordre croissant, et n 1, n 2,..., n k les effectifs correspondants.

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25 Ainsi, à partir de la série brute ci-dessus, construisez le tableau :

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27 Voyons un autre exemple : Pour étudier les appels téléphoniques arrivant à un central, on a noté, sur 96 jours comparables, le nombre d'appels reçus entre 9 h et 9 h 10. Les résultats sont consignés dans ce tableau :

28 Quelle est la proportion de jours où le nombre d'appels a été de 2 ?

29 Quelle est la proportion de jours où le nombre d'appels a été supérieur ou égale à 3?

30 Combien y-a-t-il eu de jours où le nombre d'appels a été inférieur ou égal à 2 ?

31 Plus généralement, si { (x i, n i ), i = 1,..., K } est la distribution observée d'une variable discrète, n 1 + n n i = N i est le nombre d'individus pour lesquels la variable a été inférieure ou égale à x i.. On peut calculer N i de proche en proche : N 1 = n 1, N 2 = N 1 + n 2, N 3 = N 2 + n 3, etc... Les N i sont les effectifs cumulés croissants.

32 De même n i + n i n k = N' i est le nombre d'individus pour lesquels la variable a été supérieure ou égale à x i. Il peut se calculer de proche en proche : N' k = n k, N' k-1 = n k + n k-1, Les N' i sont les effectifs cumulés décroissants.

33 On peut définir de même : F i = f 1 + f f i, fréquences relative cumulées croissantes obtenues de proche en proche par F i+1 = f i+1 + F i F' i = f i + f i f k, fréquences relative cumulées décroissantes obtenues de proche en proche par F' i = F' i+1 + f i F i et F' i peuvent s'exprimer aussi en pourcentage (en multipliant tout par 100).

34 Complétez le tableau :

35 2. Diagramme bâton Diagramme bâton des effectifs A chaque valeur du caractère portée en abscisse, on associe un « bâton » vertical dont la hauteur est proportionnelle à leffectif. Cette représentation permet de comparer les effectifs de chaque valeur du caractère.. Caractères quantitatifs discrets

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37 3. Courbe des fréquences cumulées Représente lévolution des fréquences cumulées. Le caractère étant discret, la courbe est en « escalier ». En effet, les valeurs étant séparées, entre chacune delle la fréquence cumulée est inchangée, doù ces paliers.. Caractères quantitatifs discrets

38 3. Courbe des fréquences cumulées. Caractères quantitatifs discrets

39 . Caractères quantitatifs continus Statistiques descriptives à une variable : représentations

40 Plan de la partie 1. Représentation tabulaire. 2. Histogramme des densités de fréquence. 3. Polygone de fréquences 4. Courbe des fréquences cumulées. Voici les chapitres que nous allons aborder :. Caractères quantitatifs continus

41 1. Représentation tabulaire Tableau à simple entrée, où les classes de données sont triées par ordre croissant. La première colonne renseigne les différentes classes de valeurs du caractère, et les trois suivantes les effectifs, fréquences relatifs et fréquences cumulées. Si les classes ne sont pas toutes de même amplitude, on rajoute une colonne contenant les densités de fréquence, i.e. la fréquence de la classe divisée par son amplitude.. Caractères quantitatifs continus

42 Lorsque la variable est continue, ou que la variable peut prendre un grand nombre de valeurs différentes, même si celle-ci est une variable discrète, il convient de regrouper ces valeurs en classes. À chaque classe on fait correspondre une fréquence ou une fréquence relative, et lon obtient alors une distribution de fréquence ou de fréquence relative pour valeurs groupées. Pour construire une distribution de fréquence, de fréquence relative ou de fréquence relative cumulée pour valeurs groupées on doit procéder de la manière suivante : 1. Déterminer le nombre de classes 2. Déterminer lamplitude des classes 3. Déterminer les différentes classes 1. Représentation tabulaire

43 1. Déterminer le nombre de classes : 1) (règle de Sturges) 2) Nombre dobservations dans la série statistique 1. Représentation tabulaire

44 2.Calculer lamplitude des classes : 1) Dune façon plus ou moins arbitraire 2) En utilisant létendue Des classes damplitudes égales (Plus grande valeur de la série statistique – Plus petite valeur de la série statistique) 1. Représentation tabulaire

45 3.Déterminer les différentes classes : 1. Représentation tabulaire

46 Voyons l'exemple d'une série brute de 60 valeurs du CA mensuelle dune entreprise (en 1000dh), et le tableau des effectifs obtenus. L'inconvénient est que, comme on aura toujours un grand nombre de valeurs différentes, on obtiendra un grand nombre de petits effectifs, ne résumant finalement pas grande chose ! 1.Représentation tabulaire Exemple 1

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49 Une variable continue ne prend pas des valeurs isolées, mais des valeurs appartenant à des intervalles. C'est pourquoi, au lieu de définir des effectifs par valeurs, on définira des effectifs par intervalles, appelés classes.

50 Afin de simplifier la présentation on peut, quitte à perdre un peu d'information, regrouper les effectifs proches, par exemple 175 d effectif d effectif d effectif 1 peut être remplacé par [ 175 ; 178 [ d effectif 4.

51 On découpera ainsi l'intervalle des valeurs en classes contiguës, de la forme : [ e 1 ; e 2 [ [ e 2 ; e 3 [ [ e 3 ; e 4 [.... [ e k ; e k+1 [ et on notera n 1, n 2,..., n k les effectifs associés. n i est le nombre d'individus appartenant à la classe [ e i ; e i+1 [.

52 Exemple 1

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54 Quel que soit le type de variable on a finalement, pour toute modalité, valeur x i, ou classe [ e i, e i+1 [, un effectif n i, tel que Il est parfois utile, surtout pour faire des comparaisons entre plusieurs séries, de raisonner plutôt avec des fréquences relatifs.

55 Les définitions d'effectifs et de fréquences cumulés restent les mêmes dans le cas d'une variable continue.

56 Exemple 2 : Le tableau statistique (valeurs groupées) Pour les trois dernières années, le débit mensuel moyen d'une rivière, exprimé en milliers de mètres cubes par seconde, a été le suivant : Posons X = la variable statistique représentant le débit mensuel moyen dune rivière. Variable continue

57 Exemple 2 : Le tableau statistique (valeurs groupées) (1) Nombre de classes : (2) Lamplitude des classes : (3) Détermination des classes : Débit D

58 Exemple 2 : Le tableau statistique (valeurs groupées) Distribution de fréquence, de fréquence relative et de fréquence relative cumulée :

59 2. Histogramme des densités de fréquence. Ensemble de rectangles contigus. Pour chaque classe on trace un rectangle : de base B proportionnelle à lamplitude de la classe de hauteur h proportionnelle à la densité de fréquence de la classe Laire du rectangle sera alors proportionnelle à la fréquence de la classe.. Caractères quantitatifs continus

60 2. Histogramme des densités de fréquence. Double interprétation : On comparera les densités de fréquence des classes en comparant les hauteurs des rectangles. On comparera les fréquences des classes en comparant les aires des rectangles.. Caractères quantitatifs continus

61 Age (ans) Nombre de personnes dans cette tranche d'âge 20 à à à à 65 20

62 Histogramme de fréquence pour valeurs groupées (exemple 2)

63 Histogramme de fréquence relative pour valeurs groupées (exemple 2)

64 3. Polygone de fréquences pour valeurs groupées (exemple 2)

65 3. Polygone de fréquence relative pour valeurs groupées

66 4. Courbe des fréquences cumulées Représente lévolution des fréquences cumulées. Le caractère étant continu, la courbe lest également. Pour la construire, on joint les points de coordonnées (b i,F i ) où b i désigne lextrémité supérieure de la i ème classe.. Caractères quantitatifs continus

67 Ogive de fréquence relative cumulée pour valeurs groupées

68 Synthèse En plus des tableaux et graphiques, on résume l'observation d'une variable quantitative par un petit nombre de paramètres.


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