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Exemple 3 : L'échelle logarithmique transforme en droite les graphiques montrant des évolutions à taux constant On souhaite faire un graphique indiquant.

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1 Exemple 3 : L'échelle logarithmique transforme en droite les graphiques montrant des évolutions à taux constant On souhaite faire un graphique indiquant l'évolution du chiffre d'affaires d'une entreprise dont la croissance est très rapide : AnnéesY : CA (en euros) Comme on peut le voir en comparant les deux graphiques ci-dessous, la progression qui est exponentielle à gauche, devient linéaire à droite : Le taux de variation (ou variation relative) est définie par : On déduit que :

2 En prenant les logarithmes à droite et à gauche on obtient : Donc la différence entre deux points donne une mesure du taux de variation. AnnéesY : CA (en euros) entreVariation absolueVariation relative 100 et ( )/100 = et ( )/1000 = et ( )/10000 = 9 Les variations relatives sont constantes alors que les variations absolues ne le sont pas. Si on prend le logarithme des nombres ci-dessus, on aura : entre log (1 + ) Variation relative 100 et 1000log(1000) – log(100) = = et 10000log(10000) – log(1000) = = et log(100000) – log(10000) = = 19 La différence en logarithme est bien constante et à une variation donnée du logarithme correspond une variation relative constante.

3 Dans le repère orthogonal (figure de gauche) le point P est déterminé sans ambiguïté par la connaissance de ses coordonnées cartésiennes, labscisse x et lordonnée y. Si nous considérons la figure de droite, la demi droite [Ox) dont lorigine O est appelé pôle il est bien évident que le même point P peut aussi être repéré grâce à la connaissance de la mesure de du secteur angulaire limité par [Ox) et [OP) et de = OP (distance entre les points O et P). et sont les coordonnées polaires du point P. Exemple : Supposons que nous ayons à traduire graphiquement les renseignements statistiques suivants, portant sur les mesures, en milliers deuros, du chiffre daffaires mensuel dune entreprise, observé au cours de deux années consécutives. Mois Année Année y P. x y x O P. x O b: Les coordonnées polaires.

4 Traçons à partir dun pôle O, 12 demi-droites formant entre elles des secteurs angulaires dont la mesure en degrés est 360/12 = 30 et portant sur ces demi-droites des longueurs proportionnelles aux mesures des chiffres daffaires données, chacune de ces demi-droites étant affectée à un mois. Joignant ensuite, dans lordre, les points obtenus. Cette représentation polaire prend approximativement la forme dune spirale (graphique en colimaçon). presque toujours, dans le même sens : croissant ou décroissant. Elle permet aussi de mettre en évidence les influences saisonnières. Pareille représentation est surtout intéressante lorsque les observations statistiques sont faites à intervalles réguliers dans le temps (observations horaires, mensuelles, trimestrielles) et lorsque lévolution du phénomène observé se fait toujours, ou

5 c: Les coordonnées triangulaires. Ce type de diagramme peut être utilisé dans le cas dun phénomène pouvant être divisé en trois sous-ensembles : - Des prix de revient décomposés en : coût des matières premières, dépenses de main-dœuvre, frais de fabrication. - Des stocks ventilés en : stocks de matières premières, stocks de produits en cours de fabrication, stocks de produits finis etc. Exemple : Une société a fondé un certain nombre de petites entreprises. À une date donnée le bilan de ces entreprises se décomposent de la façon suivante (les nombres fournis sont des taux de pourcentages) : Pour représenter graphiquement ces résultats, remarquons dabord que pour chaque entreprise, le total des trois taux est égal à 100. Matières premièresProduits en fabricationProduits finisTotal Entreprise A B C D E F

6 La représentation graphique que nous allons construire est fondée sur la propriété suivante des triangles équilatéraux : La somme des mesures des distances dun point dun triangle équilatéral aux côtés de ce triangle est constante et égale à la mesure de la hauteur du triangle équilatéral. Ainsi : d(A, P) + d(A, Q) + d(A, R) = d(M, H) = constante. Traçons un triangle équilatéral. Affectons chacun de ses côtés à lune des trois composantes des produits à représenter. Graduons ses trois hauteurs de 0 à 100 (le 0 lintersection de la hauteur et du côté correspondant, le 100 au sommet opposé à ce côté). L P M R Q N Matières premières Produits fabrication Produits finis P L M R Q N A H

7 Les représentations triangulaires sont utilisables lorsque des phénomènes peuvent être ventilés en trois composantes dont le total des mesures est constant. On peut dailleurs assurer cette constance en exprimant les mesures des trois composantes à laide dun pourcentage de leur total. Construisons le point qui traduit le résultat de lentreprise A : - Par le point de coordonnée 45 sur la hauteur relative au côté matières premières traçons la parallèle à ce côté. - Par le point de coordonnée 20 sur la hauteur relative au côté produits en cours de fabrication traçons la parallèle à ce côté. Lintersection de ces deux parallèles construites est le point représentatif du résultat de lentreprise A. Ce point se trouverait également sur la parallèle au côté produits finis menée par le point de coordonnée 35 sur la hauteur relative à ce côté. Les points traduisant les résultats des entreprises B, C, D, E et F seraient obtenus de la même façon. P M R Q N A Matières premières Produits fabrication Produits finis

8 Les conditions de représentativité des valeurs typiques ont été posées par Yules. Ces valeurs doivent : 1- être définies de manière objective 2- dépendre autant que possible de toutes les valeurs de la série 3- avoir une signification concrète et aisée à comprendre 4- être simple à calculer 5- être peu sensible aux fluctuations déchantillonnage 6- se prêter aisément aux calculs algébriques ultérieurs. Dans certains cas, les valeurs typiques ne pourront répondre à toutes ces conditions à la fois. Il faudra avoir toujours à lesprit leurs insuffisances et leurs limites. Nous étudierons : les paramètres de position et les paramètres de dispersion. Chapitre 2 : Etude des séries statistiques simples 2-1 : Introduction. Lorsque lon se livre à lanalyse de données statistiques, la représentation graphique est souvent fort intéressante mais ne permet pas facilement ni lanalyse, ni les comparaisons. Cest pourquoi nous cherchons à tirer, dune série statistique un certain nombre déléments caractéristiques dont le but sera de donner, sous une forme condensée une image de la série étudiée qui soit la plus fidèle possible.

9 Une distribution nayant quun seul mode est appelée unimodale. 2-2 : Le mode ou la classe modale. Le mode ou valeur modale est la valeur qui représente leffectif le plus élevé (la valeur que la variable statistique prend le plus fréquemment) : Variable discrète. 1- statistique du personnel dune entreprise daprès le nombre denfants à charge : le mode est 2 enfants, car leffectif correspondant, 31, est le plus grand de tous les effectifs observés. 2- lensemble : 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 a pour mode lensemble : 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 na pas de mode. 4- lensemble : 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 a deux modes, 4 et 7, on lappelle ensemble bimodal. Nb denfants à charge Effectifs ni Effectifs cumulés croissants Total Série unimodale Série bimodale

10 : Variable continue. Si la variable est continue, et si les données sont groupées en classes, on parle plutôt de classe modale : la classe ayant leffectif le plus élevé (effectif ramené à lunité damplitude : n r et non pas n i ). Age en années Effectifs nr = ni [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ Total On considère la statistique portant sur lâge des ouvriers dune entreprise : la classe modale (ou intervalle modal) est [35,40[ qui comprend un nombre de salariés (45) plus grand que chacune des autres classes. On peut identifier le mode comme le centre de la classe, soit 37 ans et demi, ou bien effectuer une interpolation linaire pour obtenir la valeur exacte du mode par la formule suivante : a i : limite inférieure de la classe modale A i : amplitude de la classe modale = a i+1 - a i inf : écart deffectif entre la classe modale et la classe inférieure la plus proche sup : écart deffectif entre la classe modale et la classe supérieure la plus proche

11 On déduit que le Mode est donné par la formule suivante : On définit le mode comme labscisse du point A intersection des droites (BD) et (CE). Les triangles ABF et ADG (respectivement ACF et AEG) sont semblables, donc : Le Mode ou avec mode inf sup A B E D FG C

12 Sa détermination est aisée aussi bien par le graphique (le mode est égale à labscisse correspondant au bâton le plus long) quà laide du tableau statistique. Son intérêt est évident puisquil désigne la valeur de la variable qui revient le plus souvent à loccasion des observations faites : Avantages du mode. Le mode na de signification véritable que si leffectif correspondant est nettement supérieur aux effectifs présentés par les autres valeurs de la variable. Le mode ne doit être retenu que sil est unique (série unimodale). Une série statistique peut en effet être bimodale ou multimodale. Le mode perd alors toute signification : Inconvénients du mode. Nb denfants à charge Effectifs ni Total Série unimodale

13 2-3 : La médiane : Variable discrète. Notes Coefficients Total Rangeons dans lordre croissant les notes obtenues par ce candidat la note 7 (dont le coefficient est 2) étant écrite deux fois, et la note 12 (coefficient 3) étant écrite trois fois Dans la série ainsi écrite et qui compte neuf termes, 9 étant la somme des coefficients (ou somme des effectifs), on dira que la note médiane est 11, car les notes inférieures à 11 sont au nombre de quatre et les notes supérieures à 11, sont également au nombre de quatre. La médiane est la valeur de la variable telle que le total des effectifs correspondant à des valeurs inférieurs de la médiane, soit égale au total des effectifs correspondant à des valeurs supérieures de la médiane. Si le candidat en question avait subi une épreuve supplémentaire, avec coefficient 1, et obtenu à cette épreuve la note 6, lordre des notes : (les notes étant au nombre de dix) aurait conduit à un intervalle médian [10, 11], où à la rigueur à une médiane égale à 10.5, centre de la classe médiane. On remarquera quon obtiendrait la même médiane si au lieu dêtre écrites dans lordre croissant, les notes étaient rangées dans lordre décroissant. Un candidat à un examen a obtenu les notes suivantes, sur 20, à loccasion des épreuves quil a dû subir :

14 Supposons maintenant que le candidat ait subi une autre épreuve, avec coefficient 3, ce qui porte à 13 la somme des coefficients et quil ait obtenu à cette épreuve la note 17. La série des notes se présenterait alors comme suit : Le nombre des notes étant 13 nous sommes conduits à chercher la note de 7 e rang, qui laisse 6 notes avant elle et 6 notes après. Cette note est 12. cependant 12 nest pas la note médiane car si nous avons bien 6 notes inférieures à 12, nous navons pas 6 notes supérieurs à 12. En effet parmi les notes écrites à droite de 12, seules 4 notes, et non 6, sont supérieures à 12. Nous pouvons en conclure que, lorsque la variable statistique est discontinue il ny pas, en général, de valeur médiane. Nb denfants à charge Effectifs ni Total Ainsi dans lexemple des enfants à charge du personnel dune entreprise, le 45 e terme (44 termes avant lui, 44 termes après lui) est un 2, qui ne répond pas à la définition de la médiane.

15 2-3-2 : Variable continue. Si les observations sont groupées en classes, il est nécessaire de recourir aux effectifs (ou aux fréquences) cumulé(e)s. La médiane est la valeur de la variable qui correspond à la fréquence cumulée 50%, ou à leffectif cumulé N/2. On cherche la classe contenant le N e /2 individu de léchantillon. En supposant que tous les individus de cette classe sont uniformément répartis à lintérieur, la position exacte du N e /2 individu de la façon suivante par interpolation linéaire : a m : limite inférieure de la classe modale a m+1 : limite supérieure de la classe modale A m : amplitude de la classe modale = a m+1 – a m n m : effectif de la classe médiane N : effectif total (ou taille de léchantillon) n i : effectif cumulé relatif à toutes les classes inférieures – i < m – (respectivement supérieures – i > m –) à la classe médiane effectifs cumulés croissants effectifs cumulés décroissants

16 On déduit que la médiane est donné par les formules suivantes : La médiane est labscisse du point dordonnée égale à la moitié de leffectif total (fréquence cumulée de 50%). Les triangles ABC et ADE sont semblables donc : La Médiane médiane A C D E B A C D E B

17 Nous allons reprendre lexemple des 150 ouvriers dune entreprise classés daprès leur âge, et utiliser dabord la colonne des effectifs cumulés croissants. La lecture de ce tableau nous montre que 72 personnes ont un age inférieur à 35 ans et 117 parmi lesquelles figurent les 72 déjà évoquées, ont un âge inférieurs à 40ans. Age en années Effectifs ni Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ Total Or nous cherchons lâge de la 75 e personne, Pour les âges classés par ordre croissant. Le nombre 75 étant compris entre 72 et 117, lâge médian se situe donc entre 35 et 40 ans. A titre de vérification reprenons le même raisonnement en utilisant la colonne des effectifs cumulés décroissants. Lue de bas en haut, les valeurs de la variable étant donc rangées en ordre décroissant, cette colonne indique que : 33 personnes ont au moins 40 ans et 78 personnes ont au moins 35 ans. Lâge médian, âge de la 75 e, est donc compris entre 40 ans et 35 ans. En conclusion, dans cette entreprise, la moitié du personnel a moins de 35 ans 4 mois, lautre moitié a plus de 35 ans 4 mois, à la date où le tableau statistique a été dressé.

18 2-3-3 : Détermination graphique de la médiane. Il nous suffira de prendre le polygone cumulatif croissant et de rechercher lintersection de ce polygone avec la parallèle à laxe des abscisses, menée par le point de coordonnées (0 ; 75) ou (0 ; 50) si on utilise en ordonnées les effectifs cumulés croissants exprimés en pourcentage de leffectif total. Labscisse de cette intersection donne la valeur médiane cherchée / /3 Il est utile de remarquer quil ne sagit ici que de la traduction graphique du raisonnement arithmétique tenu plus haut. La détermination graphique peut se faire en utilisant le polygone cumulatif décroissant.

19 Puisque le point dabscisse égale à la médiane, et dordonnée égale à 75, se trouve sur le polygone cumulatif croissant et aussi sur le polygone cumulatif décroissant, il constitue lintersection de ces deux polygones tracés dans le même repère cartésien. Cette remarque nous fournit un troisième procédé de détermination graphique de la médiane. Il suffira en effet de tracer dans le même repère les deux polygones cumulatifs. Labscisse de leur intersection donnera la valeur médiane / / /3

20 2-3-4 : Avantages de la médiane. La médiane est dun calcul facile ; elle résulte presque dune simple lecture après classement des observations faites. Elle donne une idée satisfaisante de la tendance générale dune série statistique. Elle nest pas influencé par les valeurs aberrantes de la variable qui pourraient figurer dans la série. Si, par exemple, dans le calcul précédent, au lieu dune classe [55, 60 ] comprenant 3 unités, nous avions une classe [55, 60[ comprenant deux unités et une classe [85, 90[ comprenant une unité, la valeur obtenue de la variable, 35 années et 4 mois, ne serait en rien modifiée : Propriétés de la médiane :Reprenons la série suivante des neuf notes obtenues par un candidat à un examen et pour laquelle la médiane est 11 : et calculons |x i -11| pour chacune des valeurs de la variable : |7-11| = 4 |7-11| = 4 |8-11| = 3 ……….. |12-11| = 1 |14-11| = 3 On obtient la suite : dont le total des termes est 18. Prenons une autre valeur observée de la variable, 10 par exemple et calculons |x i -10|. On obtient la suite : dont le total est 19, total plus élevé que le précédent, obtenu par référence à la médiane. Ainsi | x i – a | > | x i – médiane | où a est une valeur quelconque de la variable.

21 [ [[ [[ [[ [[ [[ [[ [[ [ Age Effectifs n i En statistique la valeur absolue de la différence entre deux nombres sappelait lécart des deux nombres, nous énoncerons alors la propriété suivante de la médiane propriété que nous ne démontrerons pas mais quil est aisé de vérifier. «La somme des écarts des valeurs observées de la variable et de la médiane, est plus petite que la somme des écarts des valeurs observées de la variable et dune valeur quelconque de la variable». Vous pouvez vérifier cette propriété sur la série des âges qui nous a servi à la détermination de la médiane dans le cas dune variable continue, mais en utilisant comme valeurs de la variable les centres de classes, soit 22.5, 27.5, 32.5, etc.…et en tenant compte, bien entendu des effectifs correspondant à chaque classe. lhistogramme en deux parties. Calculons la mesure de laire de chacune de ces deux parties. Mesure aire de gauche : 5*9 + 5*27 + 5* *1/3 = 375. Mesure aire de droite : 15*(14/3) + 5*18 + 5*9 + 5*3 + 5*3 = 375. « La verticale menée à hauteur de la médiane partage lhistogramme en deux surfaces dont les aires sont égales entre elles » : Reprenons lhistogramme, relatif à la série des âges des ouvriers et menons, par le point de laxe des abscisse ayant pour abscisse 35 ans et 4 mois, valeur de la médiane, une parallèle à laxe des ordonnées. Cette parallèle partage médiane


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