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Formation des images par des surfaces simples Filières SM et SMI, année 2006-2007 H. EL RHALEB Université Mohammed V, Rabat, Agdal Faculté des Sciences,

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1 Formation des images par des surfaces simples Filières SM et SMI, année H. EL RHALEB Université Mohammed V, Rabat, Agdal Faculté des Sciences, Département de Physique, Laboratoire de Spectronomie Moléculaire, dOptique et dInstrumentation Laser

2 2/40 Ce chapitre étudie en détailles surfaces simples, c'est-à-dire les dioptres et les miroirs plans ou sphériques dans le but d'associer de telles surfaces pour former de véritables systèmes optiques (lentilles,...) Dans chaque cas, on se place dans l'approximation de Gauss et on établit les relations essentielles (relations de conjugaison, distances focales,...) liées à ces systèmes optiques "élémentaires".

3 3/40 I – Les surfaces réfractantes I.1 Le dioptre sphérique I.1.1 Définition n n´n´ axe optique S C + Un dioptre sphérique est une portion de sphère caractérisée par son centre de courbure C, son rayon de courbure et par les indices de réfraction n et n´ de part et d'autre de sa surface. + n n´n´ S C Le point, S sommet du dioptre correspond à l'intersection de sa surface avec l'axe optique. SC 0 0SC

4 4/40 I.1.2 Relation de conjugaison, grandissements I.1.2.a - Relation de conjugaison de Descartes On repère les positions de l'objet A et de son image A ´ à partir d'une origine; le choix le plus simple consiste à prendre l'origine au sommet S. I l existe d'autres choix possibles (origine au centre C par exemple).

5 5/40 Considérons un point objet A sur l'axe optique et A ´ son image. Si nous supposons que n ´ < n. Compte tenu du sens de propagation de la lumière, choisi comme sens positif, on constate que SA, SA ´ et SC sont négatifs. n n´n´ + A A´A´ N H SC α α´α´ ω i´i´ i I n <

6 6/40 Dans les triangles A I C et A ´ I C nous pouvons écrire (les angles étant comptés positivement s'ils sont orientés dans le sens trigonométrique) respectivement : Au point I, la loi de Snell-Descartes s'écrit : et ωα i ωα ´ i ´ i´i´sin´ni n i´i´nin ´ n n´n´ + A A´A´ N H SC α α´α´ ω i´i´ i I

7 7/40 En combinant ces trois relations, on obtient : Par ailleurs, l'approximation de Gauss nous permet de confondre les points H et S et d'écrire : et de la même façon : CS HIHI tan ωω AS HIHI α S´A HIHI α´α´ ´´nn´nn ααω

8 8/40 En reportant ces valeurs dans l'équation : ω(n-n ´ ) = nα – n ´ α ´, on obtient la relation de conjugaison (de Descartes) avec l'origine au sommet, valable quel que soit le point I : On peut choisir l'origine au centre C; dans ces conditions, cette dernière équation devient : SC ´nn ´SA ´n n CS ´nn CA ´n ´ n

9 9/40 Nous devons construire l'image B´ du point B. Pour cela nous orientons les objets et les images, puis nous effectuons une construction géométrique utilisant un rayon passant par S et un rayon passant par C. Le rayon passant par S subit une réfraction tandis que celui passant par C, confondu avec un rayon de la sphère, n'est pas dévié. i´i´ i A´A´ B´B´ A B + n n´n´ SC + I.1.2.b - Grandissements transversal

10 10/40 En appliquant n i = n´ i´ on en déduit : et Pour les mêmes raisons que ci-dessus : ´SA ´B´A ´ i ´ itan SA AB iitan AB ´B´A γ SA ´ ´n n γ i´i´ i A´A´ B´B´ A B + n n´n´ SC +

11 11/40 I.1.2.c - Le grandissement longitudinal est : On retrouve bien le fait qu'objet et image se déplacent dans le même sens. Par définition : soit : I.1.2.d - Grandissement angulaire 0 SA ´ ´n n n ´n 2 2 γγ i ´i G a ´SA G a

12 12/40 foyer image foyer objet ´n I.1.3 Éléments cardinaux du dioptre sphérique Nous savons que le foyer image F´ est le point conjugué d'un point objet situé à l'infini sur l'axe optique : I.1.3.a - Foyers et distances focales De même le foyer objet est le point conjugué d'un point image situé à l'infini sur l'axe optique. La relation de conjugaison donne immédiatement la position des foyers : avec n n SCSF n´n ´n SC´SF SCSF´SF F´F´A´A´ SA

13 13/40 Le dioptre est dit convergent si ses foyers sont réels (F dans l'espace objet, F´ dans l'espace image) : I l est dit divergent si ses foyers sont virtuels (F dans l'espace image, F´ dans l'espace objet) : et 0SF 0´SF 0´SF 0SF

14 14/40 Figure (a)Figure (b)Figure (c)Figure (d) n ´ - n < 0> 0 < 0 > 0< 0> 0 < 0 réel> 0 réel> 0 virtuel > 0 réel < 0 virtuel dioptreconvergent divergent et avec SF ´ ´ ´ R´, SCR SF SC SF ´ sont les distances focales objet et image.

15 15/40 S F´F´ ++ S S F´F´ + F´F´ + S F´F´ Figure (a)Figure (b) Figure (c)Figure (d) n n´n´ n n´n´ n n´n´ n n´n´

16 16/40 Dans le cas du dioptre sphérique, on a donc l'expression : En introduisant cette grandeur, la relation de conjugaison peut s'écrire : On rappelle que la vergence s'écrit : I.1.3.b Vergence [5] On retrouve bien le fait que, si V > 0, le dioptre est convergent et, si V < 0, le dioptre est divergent. SF n ´ ´n V SC n´n V

17 17/40 ou relation de conjugaison de Newton. Si on pose : la relation de conjugaison : devient : Exercice et V SF n ' ´n SA n ´ ´n ´ ´ σσ FA σ ´A´F´ σ

18 18/40 Les plans principaux sont confondus avec le plan tangent en S (sommet) au dioptre (dans un schéma, on peut donc remplacer le dioptre par son plan tangent en S). Les points nodaux sont confondus avec le centre du dioptre. I.1.3.c Plans principaux et points nodaux L'exploitation de la relation γ = 1 conduit sans difficulté à : L'exploitation de G a = 1 donne de la même façon : SC ´ ´SN 0SH´SH

19 19/40 n'n'n I.2 Le dioptre plan C'est un cas particulier du dioptre sphérique pour lequel le rayon de courbure est infini : donc V = 0. Les foyers sont rejetés à l'infini, le dioptre plan est un système afocal. n´ < n n'n'n AA´A´ n'n'n A´A´ A n´ > n A´A´ A n'n'n A´A´A SC

20 20/40 La relation de conjugaison donne : et sont toujours du même signe donc un objet réel donne une image virtuelle et inversement. et par suite le grossissement et le grandissement angulaire deviennent : et n´n´n AA´A´ n´n´n A´A´ A Remarque 1 : Le dioptre plan est rigoureusement stigmatique pour les points à l'infini et les points de sa surface. ´SA ´n/nG a 1 γ SA n ´ ´n

21 21/40 II – Les surfaces réfléchissantes II.1 Le miroir sphérique II.1.1 Définition Dans l'approximation de Gauss, un miroir sphérique est une calotte sphérique réfléchissante de centre C et de sommet S. La droite passant par ces points C et S est l'axe optique. Miroir convexe + CSC Miroir concave + S 0 SC 0 SC

22 22/40 Remarquons que l'espace image est replié sur l'espace objet. Les objets et images virtuels sont situés "de l'autre côté du miroir". II.1.2 Relation de conjugaison, grandissements Pour déterminer la relation de conjugaison, on procède de la même façon que pour le dioptre sphérique. II.1.2.a - Relation de conjugaison de Descartes

23 23/40 Triangle A I C et A´ I C : α – i = ω et ω + i´ = α´ et on en déduit : Or, Loi de Snell-Descartes : i = - i´ ; donc α + α´ = 2ω. A´A´AH α´α´ α ω i´i´ i + S C n I CS HIHI ω AS HIHI α S´A HIHI ´ α SC 2 ´SA 1 1

24 24/40 On remarque que la relation de conjugaison du miroir sphérique peut se déduire directement de celle du dioptre sphérique en écrivant n ´ = - n. En effet pour le dioptre, on utilise la loi n i = n ´ i ´, tandis que, pour le miroir, on utilise i = - i ´. SC 2 ´SA 1 1 SC ´nn ´SA ´n n

25 25/40 II.1.2.b Grandissement transversal et grandissement longitudinal D'après la figure, on peut écrire : et SA AB i ´SA ´ B ´ A ´i A S C B + i i´i´ A´A´ B´B´ La loi de réflexion donne i = - i ´ en déduit : [9] SA ´ AB ´ B´A -

26 26/40 Le grandissement longitudinal est : objets et images se déplacent en sens inverse. II.1.2.c Grandissement angulaire I l est évident que : [10] ´SA G a 0 22 n ´ n

27 27/40 II.1.3 Éléments cardinaux du miroir sphérique Par définition des foyers, si, A´ F´ = foyer image et si, A F = foyer objet. La relation [8] montre que les foyers sont confondus. [11] On obtient : SA ´SA 2 SC ´SF II.1.3.a Foyers et distances focales

28 28/40 Pour un miroir convexe, SF > 0 et SF ´ > 0, les foyers sont virtuels, le miroir est dit divergent. S C F:F´ miroir convexe Pour un miroir concave, SF < 0 et SF ´ < 0, les foyers (confondus) sont réels, le miroir est dit convergent. miroir concave C S F F´F´

29 29/40 II.1.3.b Vergence ce qui permet décrire la relation de conjugaison sous la forme : V > 0 pour un miroir concave et V < 0 pour un miroir convexe. Elle est égale à [12] La relation de conjugaison de Newton s'écrit ici : 2 ´ σσ SC 2 ´SF 1 1 V V ´SA 1 1

30 30/40 L'exploitation de la relation = 1 conduit sans difficulté à : Les plans principaux sont confondus avec le plan tangent en S (sommet) au miroir (dans un schéma, on remplace le miroir par son plan tangent en S). II.1.3.c Plans principaux et points nodaux L'exploitation de G a = 1 donne de la même façon : Les points nodaux sont confondus avec le centre C du miroir. 0´SH SC ´ ´SN

31 31/40 II.2 Le miroir plan C'est le cas particulier du miroir sphérique pour lequel le rayon de courbure est : donc V = 0 (afocal) ; la relation de conjugaison s'écrit : et sont toujours de signes opposés donc un objet réel donne une image virtuelle et inversement. AS A´A´ A´A´SA II Les relations [9] et [10] donnent : 1G a 1 γ SA ´ SC 0 ´SA

32 32/40 Comme nous travaillons dans les conditions de Gauss, un miroir sphérique sera quasiment confondu avec son plan tangent en S. Modélisation et constructions Le problème usuel est de construire limage dun objet AB perpendiculaire à laxe optique. Le système étant aplanétique, il suffit de trouver limage B ´ de B puis de projeter B´ sur laxe optique pour trouver A´. concave convexe plan

33 33/40 A B B´B´ A´A´ Construire limage B´ de B ne nécessite que deux rayons lumineux parmi les quatre fondamentaux. 3- Le rayon passant par C revient sur lui-même. 2- Le rayon passant par B et S revient symétriquement par rapport à laxe optique. 4- Le rayon passant par B et F revient parallèlement à laxe optique. 1- Le rayon issu de linfini, parallèle à laxe optique et passant par B revient en passant par F. C S F

34 34/40 Exercice dapplication : Miroir concave A B B´B´ A´A´ C F S C F S A´A´ B´B´ B A Objet réel avant C 1 Objet réel entre C et F 2 Ces 2 cas se déduisent lun de lautre par le principe du retour inverse. I mage réelle -1 < γ < 0 I mage réelle γ < -1

35 35/40 Objet réel entre F et S 3 A´A´ B´B´ C F S B A Image virtuelle γ > 1 Objet virtuel 4 Image réelle 0 < γ < 1 A B B´B´ A´A´ C F S Ces 2 cas se déduisent lun de lautre par le principe du retour inverse.

36 36/40 Objet I mage FSC CFS γ < < γ < 0 0 < γ < 1 γ > 1

37 37/40 Exercice dapplication : Miroir convexe Objet réel 1 Objet virtuel entre S et F 2 I mage virtuelle 0 < γ < 1 I mage réelle γ > 1 A B B´B´ A´A´ S C F A´A´ B´B´ B A S C F

38 38/40 Objet virtuel entre F et C 3 I mage virtuelle γ < -1 A´A´ B´B´ B A S C F Objet virtuel après. 4 I mage virtuelle -1 < γ < 0 A´A´ B´B´ B A S C F

39 39/40 Objet Image F´F´ CS S F´F´ C γ > 10 < γ < 1 -1 < γ < 0 γ < -1 FIN


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