Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux

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1 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux

2 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Opération de symétrie Une figure F quelconque présente une certaine symétrie s'il existe une ou plusieurs opérations qui, appliquées aux éléments de la figure, la transforme en une figure F' indiscernable de F. Translation Opération de symétrie effectuée par translation d’un vecteur Ce vecteur doit être une combinaison linéaire des vecteurs de base du réseau pour vérifier la condition d’invariance Dans un réseau cristallin, les translations ne sont des opérations de symétrie que si le réseau est infini

3 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Opération de symétrie Rotation f=2p/n Opération de symétrie effectuée par rotation d'un angle de f=2p/n autour d'un axe de symétrie défini par un vecteur La rotation est notée : n est toujours un nombre entier, c'est l'ordre de l'axe L’axe de symétrie d’ordre n est noté Cn. Après n rotations autour de Cn, on retrouve la situation initiale.

4 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Opération de symétrie Rotation La matrice associée à la rotation R(u,f) s’écrit dans un repère orthonormé : Le réseau cristallin doit être invariant par toute opération de symétrie N’importe quel vecteur de ce réseau est transformé en un autre vecteur du réseau  Avec u, v, w, u’, v’, w’ nombres entiers  La trace, Tr(R(f)) doit être un nombre entier

5 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Opération de symétrie Rotation Tr(R(f))=1+2cosf=m, avec m entier -1<cosf<1 -1<m<3  Les valeurs de f compatibles avec le réseau cristallin doivent satisfaire la relation 1+2cosf=m, avec m entier  5 possibilités différentes apparaissent : Symbole Ordre : n m=3 cosf=+1 f= 0, 2p… Identité Axe m=2 f= ± 2p/6 cosf=+1/2 6 Sénaire C6 m=1 f= ± 2p/4 cosf=0 4 Quaternaire C4 m=0 f= ± 2p/3 cosf=-1/2 3 Ternaire C3 m=-1 f= ± 2p/2 cosf=-1 2 Binaire C2 Notation  Les seuls axes de symétrie compatibles avec le réseau cristallin sont les axes d’ordre 2, 3, 4 et 6

6 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Opération de symétrie Inversion L’inversion I transforme un vecteur en son opposé. Seul le centre d’inversion est invariant. P L’objet final est l’image dans un miroir de l’objet initial On dit que ces deux objets sont énantiomorphes

7 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Opération de symétrie Produits d’opérations élémentaires Inversion rotatoire : produit d’une rotation et d’une inversion L’inversion rotatoire R correspond à une rotation de 2p/n suivie d'une inversion dans un centre situé sur l'axe de rotation. f=2p/n Ce produit est commutatif Les objets finaux et initiaux sont énantiomorphes On note cette opération de symétrie par les symboles 2, 3, 4, 6 selon l’ordre de la rotation

8 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Opération de symétrie Produits d’opérations élémentaires Le miroir : produit d’une rotation d’ordre 2 et d’une inversion Plan miroir Le produit d’une rotation d’ordre 2 par une inversion dont le centre est situé sur l’axe de rotation est une symétrie par rapport à un plan. On parle de plan miroir Ce produit est commutatif

9 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Opération de symétrie Produits d’opérations élémentaires Axe hélicoïdal : produit d’une rotation et d’une translation parallèle à l’axe de rotation f=2p/n Le produit d’une rotation d’ordre quelconque n par une translation dont le vecteur est co-linéaire à l’axe de rotation est un « axe hélicöidal » (ou un « vissage »)

10 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Opération de symétrie Catégories d'opérations de symétrie - Congruence - Chiralité Opérations de première espèce: Une opération de symétrie est dite de première espèce si la position relative des points de la figure ne change pas lorsque entre l’objet initial est l’objet transformé par l’opération de symétrie considérée Seules, la rotation et la translation sont des opérations de première espèce Toute autre opération est dite de seconde espèce

11 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Opération de symétrie Catégories d'opérations de symétrie - Congruence - Chiralité Figures énantiomorphes : Figure non superposables par une opération de première espèce Chiralité : Absence d’axe d’inversion

12 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Opérations de symétrie, éléments de symétrie et réprésentation On appelle « élément de symétrie » l’ensemble des éléments invariants (points, droites ou plans) lors d’une opération de symétrie Les différentes opérations de symétries d’un cristal sont représentées à l’aide de la projection stéréographique de ses éléments de symétrie Quelques exemples f=2p/3 Rotation d’ordre 3 Projection stéréographique 3 Rotation d’ordre 2 Projection stéréographique 2

13 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Opérations de symétrie, éléments de symétrie et réprésentation Quelques exemples Association d’opérations de symétrie Projection stéréographique 3m Le plan miroir contient l’axe de rotation Projection stéréographique m Plan miroir

14 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes ponctuels cristallographiques Groupe de symétrie : lorsqu'une figure possède un ou plusieurs éléments de symétrie, les opérations de symétrie forment un groupe au sens mathématique Un ensemble G d'éléments X, Y, Z, … est un groupe si et seulement si : Structure de groupe, rappels On peut le doter d'une loi de composition interne associative qui au couple ordonné (X,Y) fait correspondre un autre élément de G, appelé produit et noté X.Y  Si le produit est commutatif, le groupe est dit abélien  G contient un élément neutre I tel que X  G, I.X=X=X.I  A tout élément X de G on peut associer son inverse X-1 tel que X.X-1=I=X-1.X 

15 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes ponctuels cristallographiques Structure de groupe, rappels Quelques exemples Groupe {I, C2} I : identité ; C2 : rotation d’ordre 2 (d’angle p) Groupes cycliques Groupe {A, A.A=A2 , A3 …, An = I} On note que l’ensemble des rotations d’ordre n autour d’un axe donné constituent un groupe cyclique Groupe {A, A2 , A3 …, An , An =B2=I, B.A=An-1.B} Groupes diédraux Dn

16 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes ponctuels cristallographiques Tous les éléments de symétrie d'une figure finie se coupent au moins en un point On parle de groupe ponctuel  Les groupes ponctuels cristallographiques sont ceux qui sont compatibles avec la symétrie du réseau cristallin On distingue 2 types de groupes ponctuels : Les groupes propres : ne contiennent que des rotations (déterminants des matrices égaux à +1)  Les groupes impropres : contiennent que des rotations (déterminants des matrices égaux à +1) et des inversions rotatoires (déterminants des matrices égaux à –1) 

17 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes ponctuels cristallographiques Théorèmes: 1 - Si un axe d'ordre pair est perpendiculaire à un plan de symétrie, l'intersection est un centre 2 - Si une figure n'a qu'un axe de symétrie, tout plan de symétrie doit contenir l'axe ou lui être perpendiculaire 3 - Lorsqu'un axe d'ordre X est dans un plan de symétrie, il existe X plans de symétrie formant entre eux des angles de p/X ( et réciproquement) 4 - S'il n'existe qu'un seul axe d'ordre supérieur à 2, tout axe d'ordre 2 doit nécessairement lui être perpendiculaire 5 - Si un axe d'ordre 2 est perpendiculaire à un axe d'ordre X, il existe X axes d'ordre 2 formant entre eux des angles p/X, dans un plan perpendiculaire à l'axe d'ordre X 6 - Il n'existe que peu de manières d'assembler en un groupe ponctuel, plusieurs axes d'ordre supérieur à 2. Les seules associations possibles sont 23, 432, 532.

18 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes ponctuels cristallographiques Lors du dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques on a trouvé : 11 groupes propres 11 groupes impropres contenant l'inversion Gi=Gp+I.Gp Le produit de l’inversion par un axe C2n fait apparaître un miroir normal à l’axe de symétrie Groupes propres Notation Schönfies Notation Hermann-Mauguin Groupes impropres contenant l’inversion C2 2 C2h 2/m C4 4 C4h 4/m C6 6 C6h 6/m D2 222 D2h mmm D4 422 D4h 4/mmm D6 622 D6h 6/mmm T 23 Th m3 O 432 Oh m3m C1 1 Ci C3 3 C3i D3 32 D3d 3m

19 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes ponctuels cristallographiques 10 groupes impropres ne contenant pas l'inversion Groupes impropres ne contenant l’inversion Notation Schönfies Notation Hermann-Mauguin S1 2 = m S4 4 S3 6 C2v mm2 C3v 3m D4v 4mm D2d 42m C6v 6mm D3h 62m Td 43m 32 groupes ponctuels cristallographiques

20 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Classes, systèmes et réseaux cristallins Classes cristallines Chacun des 32 groupes ponctuels cristallographiques forme une classe cristalline Il importe de ne pas confondre la classe de symétrie d'un cristal, liée à la nature de son réseau, avec la symétrie éventuelle des objets qui constituent le motif. Les groupes ponctuels cristallographiques étant connus, les groupes ponctuels de réseau sont des groupes ponctuels munis de propriétés particulières (inversion, translation). Parmi les 32 groupes ponctuels cristallographiques, il en existe 7 qui sont associés à un système cristallin. Chacun des 7 systèmes est caractérisé par une métrique particulière qui correspond à la symétrie du réseau.

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Classes, systèmes et réseaux cristallins Classes cristallines Système Groupe Eléments Métrique Triclinique 1 1 centre a bc a bgp/2 Monoclinique 2/m 1 direction binaire a bc a =g= p/2, b> p/2 Orthorhombique mmm 3 directions binaires a bc a = b =g= p/2 Trigonal 3m 1 direction ternaire a =b=c a = b =g  p/2 Quadratique 4/mmm 1 direction quaternaire a =b  c a = b =g = p/2 Hexagonal 6/mmm 1 direction sénaire a =b  c a = b = p/2, g = 2p/3 Cubique m3m 4 directions ternaires a =b = c a = b = g = p/2

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Classes, systèmes et réseaux cristallins Classement des groupes ponctuels en systèmes cristallins Triclinique 1, 1 Monoclinique 2, m, 2/m Orthorhombique 222, mm2, mmm Trigonal 3, 3, 32, 3m, 3m Quadratique 4, 4, 4/m, 4mm, 422, 42m, 4/mmm Hexagonal 6, 6, 6/m, 6mm, 622, 62m, 6/mmm Cubique 23, m3, 432, 43m, m3m

23 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Classes, systèmes et réseaux cristallins Holoédries et mériédries Triclinique 1, 1 Les 7 classes ayant le même groupe que le réseau de leur système sont dites classes holoédres Monoclinique 2, m, 2/m Orthorhombique 222, mm2, mmm Trigonal 3, 3, 32, 3m, 3m Quadratique 4, 4, 4/m, 4mm, 422, 42m, 4/mmm Les autres classes qui ont donc une symétrie inférieure à celle du réseau sont dites classes mériédres Hexagonal 6, 6, 6/m, 6mm, 622, 62m, 6/mmm Cubique 23, m3, 432, 43m, m3m Si la mériédrie est un sous-groupe d’ordre 2 de l’holohédrie, c’est une hémiédrie.

24 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Classes, systèmes et réseaux cristallins Classes de Laue Parmi les différentes classes cristallines certaines ne diffèrent les unes des autres que par la présence ou l’absence de l’inversion. On peut regrouper ces classes cristallines ensemble. On obtient alors les classes de Laue. On dénombre 11 classes de ce type  1, 1 2, m, 2/m 222, mm2, mmm 3, 3 4, 4, 4/m 622, 62m, 62m , 6/mmm 23, m3 32, 3m, 3m 6, 6, 6/m 4mm, 422, 42m, 4/mmm 432, 43m, m3m

25 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Classes, systèmes et réseaux cristallins Réseaux de Bravais L'ensemble des opérations de symétrie de translation forme un groupe. L'ensemble des points (nœuds) forme le réseau, avec ses rangées, plans, mailles … Les réseaux tridimensionnels peuvent être construits en juxtaposant des parallélépipèdes pour lesquels il n'existe que 7 symétries différentes (les systèmes cristallins) On démontre que les symétries des 7 parallélépipèdes sont réalisées par 14 modes de réseau : les 14 réseaux de Bravais. 7 de ces modes sont bien décrits par les mailles primitives ( mode P) Pour les 7 autres, c'est une maille multiple qui présente toute la symétrie du réseau. Mode F: toutes les faces sont centrées (maille quadruple) Mode I: un nœud au centre de la maille (maille double) Ces mailles multiples sont de 3 sortes: Mode C (ou A, ou B): 2 faces opposées sont centrées (maille double)

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Classes, systèmes et réseaux cristallins Réseaux de Bravais On peut voir, notamment, qu'une maille ayant deux faces centrées est obligatoirement du mode F. De même, une maille qui serait à la fois I et C peut toujours être ramenée à une maille C conventionnelle. Système triclinique : un seul mode P. Système monoclinique : deux modes: P et C On convient de choisir b parallèlement à l'axe binaire du prisme Alors le mode B (nœuds au centre des faces obliques) n'offre pas plus de symétrie que le mode P Les modes I et F se réduisent au mode C par un choix judicieux des axes

27 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Classes, systèmes et réseaux cristallins Réseaux de Bravais Système orthorhombique : quatre modes: P, I, C et F Les mailles multiples ont plus de symétrie que la maille primitive. On utilise quelquefois une maille triple, hexagonale (choix des axes) Système rhomboédrique : un seul mode: P Système hexagonal : un seul mode: P

28 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Classes, systèmes et réseaux cristallins Réseaux de Bravais C n'a pas plus de symétrie que P et F pas plus que I. A ou B ne sont pas quadratiques Système quadratique : deux modes : P et I Système cubique : trois modes : P, F et I

29 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes d’espace L’opération la plus générale qui, dans un cristal, permet de passer d’un point quelconque à un autre point équivalent peut être décrite comme le produit d’une opération de symétrie ponctuelle R par une translation T On appelle groupe d’espace du cristal, l’ensemble GE = {(R, T)} des opérations de symétrie qui transforment un point quelconque du cristal en un point équivalent Unité asymétrique motif Figure périodique infinie Translations du réseau Opérateurs du groupe ponctuel maille motif réseau Unité asymétrique

30 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes d’espace réseau maille motif Unité asymétrique A un point de l'unité asymétrique correspond un certain nombre de points équivalents dans le motif, et une infinité dans la figure périodique. Les points équivalents du motif dérivent du premier point par l'application des opérations de symétrie du groupe ponctuel. Le nombre de points équivalents dans le motif est la multiplicité, caractéristique du groupe d'espace. La multiplicité est la plus grande lorsque le point occupe une position générale, en dehors des éléments de symétrie. S'il est en position spéciale, sur un élément de symétrie, la multiplicité est plus faible.

31 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes d’espace Axes hélicoïdaux et miroirs de glissement Axes hélicoïdaux des groupes d’espaces f=2p/n T=[R].t T doit être une translation du réseau Translation élémentaire caractéristique du cristal nt=kc Axe binaire : n=2  k = 0 ou 1 k=0  axe binaire normal 2 k=1  axe binaire hélicoïdal 21 Notation

32 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes d’espace Axes hélicoïdaux et miroirs de glissement Axes hélicoïdaux des groupes d’espaces Axes ternaires : n=3  k = 0, 1 ou 2 k=0  axe ternaire normal 3 k=1 ou 2  axes ternaires hélicoïdaux 31, 32 Notation Axes quaternaires : n=4  k = 0, 1, 2 ou 3 k=0  axe quaternaire normal 4 k=1, 2 ou 3  axes quaternaires hélicoïdaux 41, 42, 43 Axes sénaires : n=6  k = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 k=0  axe sénaire normal 6 k=1, 2, 3, 4 ou 5  axes sénaires hélicoïdaux 61, 62, 63 64, 65

33 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes d’espace Axes hélicoïdaux et miroirs de glissement Miroirs de glissement Miroir parallèle à un plan particulier et translation t parallèle à une rangée cristallographique dont la périodicité est d t = p/2 d Pour que la périodicité du réseau soit maintenue, on doit avoir 2 t = p d avec p entier, soit Avec p entier, on peut avoir t = 0, d/2, d, 3/2 d, … et seules les deux premières sont distinctes. Or t = 0 correspond au plan miroir, donc seule t = ½ d est possible. Les plans de glissement avec t = a/2, b/2, c/2 sont notés a, b ou c, respectivement Les plans de glissement oblique avec t=(a+b)/2, (a+c)/2, (b+c)/2 ou (a+b+c)/2 sont notés n Dans une maille multiple, t peut être un autre vecteur de réseau, on notera d. Exemple: t=(a+b+c)/4 appelé miroir diamant

34 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes d’espace Symboles internationaux de Hermann - Maugin On fait précéder le nom du groupe ponctuel d’une lettre majuscule qui indique le type de réseau: (P, A, B, C, I, F, R) Dans la notation du groupe ponctuel, on remplace éventuellement les symboles 2, 3, 4, 6 et m par les symboles correspondant aux opérations de symétrie translatoire dans le groupe d’espace considéré: Symbole dans la classe cristalline Symboles dans le groupe d’espace 2 2, 21 3 3, 31, 32 4 4, 41, 42, 43 6 6, 61, 62, 63, 64, 65 m m, a, b, c, n, d

35 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes d’espace On compte 230 groupes d’espace – Tables internationales de cristallographie Ils se répartissent ainsi dans les différents systèmes Système triclinique 2 Système tétragonal 68 Système monoclinique 13 Système hexagonal 27 Système orthorhombique 59 Système cubique 36 Système rhomboédrique 25

36 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes d’espace

37 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Groupes d’espace Classements des structures selon la cristallographie géométrique Ensemble des structures cristallines 230 groupes d’espace (symétries de position) 14 modes de Bravais 32 classes cristallines mériédries holoédries 7 mailles de Bravais 7 systèmes cristallins Réseaux Symétries d’orientation