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Quand le français est plus important que les calculs en mathématiques Nombres premiers.

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1 Quand le français est plus important que les calculs en mathématiques Nombres premiers

2 Énoncé du problème Montrer qu’il existe une infinité d’entiers naturels premiers, c’est-à-dire que l’ensemble des entiers naturels premiers n’est pas borné. Ce n’est pas si élémentaire que ça en à l’air!

3 Définition des nombres premiers Un nombre premier est un nombre qui ne peut donner un nombre entier comme résultat, quand on le divise, que s’il est divisé par 1 ou par lui-même. 1 n’est pas un nombre premier (il n’est divisible que par un seul nombre). Oui, c’est correct! Un petit rappel…

4 Résolution On suppose que la famille des nombres premiers positifs est finie : soit P = {p 1 =2, p 2 =3,p 3 =5…..p n-1, p n } la famille de ces nombres. Cette famille est classée dans l’ordre. Mais qu’est- ce qu’il raconte?

5 Résolution (suite) On pose maintenant q = p 1.p 2.p 3 …..p n-1.p n +1 C’est-à-dire que q est égal au produit de tous les nombres premiers contenus dans P augmenté de 1 Où veut-il en venir?

6 Raisonnement soit q est premier, mais c’est impossible car il est plus grand que p n, et il n’est donc pas dans la famille P qu’on a supposé finie; soit q n’est pas premier, mais alors il admet forcément un diviseur premier, or aucun des éléments de P ne divise q, sinon il diviserait 1! Mais c’est qu’il a raison l’animal!

7 Développement (non obligatoire) Soit p k nombre entier premier inférieur à p n. Si q n’est pas premier et qu’il est multiple de p k le résultat de la division q/p k est un nombre entier. Or q/p k = (p 1.p 2.p 3 …..p n-1.p n )/p k +1/p k Le premier terme (p 1.p 2.p 3 …..p n-1.p n +)/p k donnera bien un nombre entier puisque p k fait partie de P. Par contre la seule valeur de p k pour laquelle 1/p k donnera un nombre entier est 1. Or 1 n’est pas un nombre premier!

8 Conclusion On a donc une contradiction, ce qui prouve que la famille des nombres premiers est infinie. Tadaaaa…!

9 Commentaire Ce type de raisonnement est appelé raisonnement par l’absurde. Il est fréquemment employé en mathématiques. Pour prouver quelque chose on part de l’affirmation contraire. Autant dire que la maîtrise de la langue est primordiale! Moralité : lycéens, lycéennes, quand vous êtes en cours de Mathématiques, n’oubliez pas votre français!

10 Qui a dit que les mathématiques ne servait à rien? Des milliers de dollars pour des millions de chiffres L’Electronic Frontier Foundation (EFF, association de défense et de promotion de l’utilisation de l’internet) a annoncé en mars 1999, que le don d’un mécène anonyme, $, serait attribué au premier individu ou groupe qui découvrirait un nombre premier de plus d’un million de chiffres. Devinez qui est le mécène anonyme.

11 Qui a dit que les mathématiques ne servait à rien? Ce prix a été remporté quelques mois plus tard par les découvreurs de : –1 Depuis on en a certainement découverts d’autres! Il est astronomique ce nombre premier!

12 Et ce n’est pas tout! Il existe d’autres prix : $ pour la découverte du premier nombre premier de plus de 10 millions de chiffres, $ pour la découverte du premier nombre premier de plus de 100 millions de chiffres, $ pour la découverte du premier nombre premier de plus de 1 milliard de chiffres. Des amateurs???.


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