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Inéquations du premier degré à une inconnue. Inéquation Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou des variables et un symbole dinégalité.

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1 Inéquations du premier degré à une inconnue

2 Inéquation Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou des variables et un symbole dinégalité. Définition Exemples : a < 16x > 253x d - 13 d Lensemble des valeurs qui vérifient une inéquation est appelé lensemble-solution.

3 Rappel : < signifie : > signifie : signifie : plus petit que … plus grand que … plus petit ou égal à … plus grand ou égal à … Remarques importantes sur les 4 symboles : En utilisant lensemble des entiers naturels ( N ), regardons des détails importants sur ces symboles. < La pointe signifie plus petit que;louverture signifie plus grand que; ainsi, x < 5 se lit x est plus petit que 5; x > 5 se lit x est plus grand que 5.

4 < signifie : > signifie : signifie : plus petit que … plus grand que … plus petit ou égal à … plus grand ou égal à … ce qui exclut le nombre. Exemple :x < 4 signifie 0, 1, 2, 3, ce qui inclut le nombre. Exemple :x 4 signifie 0, 1, 2, 3, 4 ce qui exclut le nombre. Exemple :x > 6 signifie 7, 8, 9, 10, 11, … ce qui inclut le nombre. Exemple :x 6 signifie 6, 7, 8, 9, 10, 11, … x < signifie :les nombres compris entre … Exemple :signifie 2, 3, 4, 5, 6, 7 2 x < 8 Le x représente tous les nombres qui nous intéressent.

5 R : les nombres réels Lensemble des nombres réels englobe tous les autres ensembles N, Z, Q, Q. Il est lensemble de nombres le plus utilisé en mathématique. On sait que lensemble des nombres réels remplit la droite numérique; on peut donc illustrer un ensemble particulier à laide de celle-ci … … Ce trait plein symbolise tous les nombres réels plus grand que 1. Exemple :On voudrait représenter tous les nombres réels plus grand que 1. Algébriquement :x > 1En intervalles : ] 1, + Remarque : Les intervalles ne semploient quavec la famille des réels (R).

6 Les intervalles Les intervalles sont représentés par des crochets :, Cest une autre façon dexprimer un ensemble-solution lorsquon travaille avec les réels. 1, 6 Soit tous les nombres réels plus grands ou égaux à 1 et plus petits ou égaux à 6; ou tous les nombres entre 1 inclus et 6 inclus. On place une virgule pour séparer les nombres. Exemple : Cela signifie : 1 x 6 Les crochets peuvent être ouverts ou fermés,, selon la situation à représenter. Exemples : -2, 5 -2 x 5 -2, 5 -2 < x 5 -2, 5 -2 x < 5 -2, 5 -2 < x < 5

7 Exercice Tous les réels plus petits que 3 : , 3 - Tous les réels supérieurs à 100 inclus : , + Tous les réels compris entre 5 inclus et 30 exclu : , 30 En utilisant la droite numérique, les intervalles et les inéquations, décris les phrases suivantes. Droite numériqueEn intervallesInéquation x < 3 x x < 30

8 Tous les nombres réels : 0 - +, ouR Tous les nombres réels positifs : 0 0, + Tous les nombres négatifs, sauf 0 : 0 -, 0 Tous les nombres réels compris entre 5 exclu et 15 exclu : 05 5, 15 Droite numériqueEn intervallesInéquation x 0 x < 0 5 < x < 15 x R

9 Écris algébriquement et à laide dintervalles, lensemble-solution des inéquations suivantes. Algébriquement En intervalles x est inférieur à 23 :x < 23 -, 23 [ + [ 12, x est supérieur ou égal à 12 : x 12 + [ -6, x nest pas plus petit que -6 : x -6 x est inférieur ou égal à 3 :x 3 -, 3 ] x est plus grand que 6 : x > 6 + ] 6, x vaut au maximum 10 :x 10 -, 10 ]

10 Algébriquement En intervalles + ] -5, x est supérieur à -5 : x > -5 x vaut au plus 2 :x 2 -, 2 ] x vaut au minimum 2 :x 2 + [ 2, x vaut au maximum 10 et au minimum -3 : -3 x 10[ -3, 10 ] ] 2, 7 ] x est plus grand que 2 mais plus petit ou égal à 7 : 2 < x 7 + [ 10, x vaut au moins 10 : x 10

11 Inéquation Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou des variables et un symbole dinégalité. Voici une égalité. 4 X 2 = 8 Voici une inégalité. 4 X 3 > 8 12 > 8 Voici une équation. 3 x = 12 Voici une inéquation. 3 x > 12

12 Résoudre une équation du premier degré à une variable ne donne quune seule valeur possible pour la variable. Résoudre une inéquation du premier degré à une variable donne plusieurs valeurs possibles pour la variable. Remarque 3 x = 12 3 x > x = 4 33 x > 4 En intervalles, + ] 4,

13 Résoudre une inéquation du premier degré à une variable donne plusieurs valeurs possibles pour la variable. 3 x > 12 x > 4 Vérifions avec quelques valeurs possibles : Pour x égal 5 :3 X 5 > 12 Inégalité vraie.15 > 12 Pour x égal 7 :3 X 7 > > 12 Pour x égal 9 :3 X 9 > > 12 Pour x égal 10 :3 X 10 > > 12 En intervalles : + ] 4, 3 x > 12x > 4 Inégalité vraie.

14 Règles de transformation des inéquations Les règles de résolution des inéquations sont les mêmes que pour les équations, excepté lorsquon retrouve des facteurs négatifs. 3 x = 12 3 x > x = 4 33 x > 4 Équations Inéquations Cest la solution qui est différente. Pour que ce terme soit égal à 12, x ne peut pas valoir autre chose que 4. Exemples :3 x > 12 Pour que ce terme soit plus grand que 12, x peut prendre plusieurs valeurs. Pour x égal 5 :3 X 5 > 12 Inégalité vraie.15 > 12 Pour x égal 7 :3 X 7 > > 12 Inégalité vraie. Pour x égal 9 :3 X 9 > > 12Inégalité vraie.

15 3 x - 5 = 10 3 x = x = x = 5 5, + x 3 x x x x 5 ou Remarque : 5, + x Cette expression signifie : toutes les valeurs de x appartiennent à lintervalle 5, + 4 x - 17 = 4 4 x + 0 = x - 17 = x x 4 x - 17 = x - 17 = x x = x = 5,25 4 x - 17 < 4 4 x + 0 < x - 17 < x x - 17 < x - 17 < x x < x < 5,25 - x Résous les équations et les inéquations suivantes.

16 Règles de transformation des inéquations Additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres dune inéquation conserve le sens de cette inéquation. 2a + 5 > 6 2a > 1 – 5 5a – a

17 Règles de transformation des inéquations Multiplier ou diviser les deux membres dune inéquation par un même nombre positif conserve le sens de cette inéquation. a – – 5a > 14 3a – ÷ 3 () 4 – 2,5a > 7 × 2 () 3a –

18 Multiplier ou diviser les deux membres dune inéquation par un même nombre négatif inverse le sens de cette inéquation. Pour bien comprendre cette règle, prenons un exemple algébrique. -2x > 6 Ce terme doit être plus grand que 6. -2x > 6 x > -3 Vérifions :- 2x > X -2 > 6 Faux 4 > X 0 > 6 Faux 0 > X 3 > 6 Faux -6 > 6 -2 Règles de transformation des inéquations

19 Multiplier ou diviser les deux membres dune inéquation par un même nombre négatif inverse le sens de cette inéquation. -2x > 6 Ce terme doit être plus grand que 6. -2x > 6 x < -3 Vérifions :- 2x > X -4 > 6 Vrai 8 > X -5 > 6 Vrai 10 > X -9 > 6 Vrai 18 > 6 -2 Il faut donc inverser le signe. Lorsquon multiplie ou quon divise les deux membres dune inéquation par un même nombre négatif, on doit inverser le sens de cette inéquation.

20 Multiplier ou diviser les deux membres dune inéquation par un même nombre négatif inverse le sens de cette inéquation. -3a > 21 a < -7 4 – 8a a - 52 ÷ -3 () × -2 () Remarque :Pour connaître les valeurs numériques que peut prendre la variable, il faut toujours que celle-ci soit positive dans linéquation. -3a > a 4donc - a 4 a -4 ou- a 4 -1 X X -1 a -4 Exemple :

21 Résous les inéquations suivantes et donne la réponse algébriquement et en intervalles. 2x x + 50 – – 50 2x x , + x -5x > x – 100 > 100 – x > 0 -5 x < 0 -, 0 x

22 5x x x x x [ -3, + -9 x - 24 > x + 0 > x > x < x - 24 > , - 4 ] -

23 Résolution dune inéquation Déterminer les valeurs qui vérifient une inéquation, cest résoudre cette inéquation. Dans un problème, on utilise parfois des inéquations pour trouver la solution. Le périmètre dun terrain rectangulaire est dau moins 178 m. Sa longueur mesure 5 m de plus que le triple de sa largeur. On sintéresse aux dimensions possibles du terrain. Exemple : 1. Les inconnues sont : La largeur du terrain La longueur du terrain 2. Largeur du terrain (en m) : x Longueur du terrain (en m) : 3 x + 5

24 3.Lexpression 2 (3 x x ) correspond au périmètre du terrain. 4.Résoudre linéquation : 5. On déduit que la largeur du terrain doit être dau moins 21 m. Par exemple, le terrain pourrait mesurer 21 m sur 68 m. On obtient : 2( x + 3 x + 5) 178 2(4 x + 5) x x 168 x 21 Périmètre: 2 (L + l ) 8 x + 10 – –

25 5. On déduit que la largeur du terrain doit être dau moins 21 m. Par exemple, le terrain pourrait mesurer 21 m sur 68 m. 22 m3 X = 71 m 25 m3 X = 80 m 30 m3 X = 95 m 186 m 210 m 250 m Possibilités : périmètre :largeurlongueur : x 3 x (L + l) 21 m3 X = 68 m 178 m2 ( ) = 2 ( ) = 2 ( ) = 2 ( ) = ………… Le périmètre dun terrain rectangulaire est dau moins 178 m. Il y a donc beaucoup de valeurs possibles pour la variable.

26 c Pour quelles valeurs de c le volume de ce cube est-il inférieur à 343 cm 3 ? Volume cube = c 3 c < Volume < 343 cm 3 c 3 < 343 cm 3 Donc, c < 7 cm Mais, pour que le cube puisse exister, la valeur de c doit être : - positive, car une mesure négative en géométrie est impossible; - plus grande que 0, car pour c = 0 cm, il ny aurait pas de cube. Remarque : Avec les inéquations, il faut souvent poser des conditions. Réponse :0 cm < c < 7 cm Il faut donc restreindre les valeurs de c. soit 07


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