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EXERCICES DARITHMETIQUES RESOLUS M-A-MATHS. ENONCE: Montrer que si a et b sont deux entiers relatifs non divisible par 3, est divisible par 3 CORRECTION:

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1 EXERCICES DARITHMETIQUES RESOLUS M-A-MATHS

2 ENONCE: Montrer que si a et b sont deux entiers relatifs non divisible par 3, est divisible par 3 CORRECTION: On utilise la congruence modulo 3. A nest pas divisible par 3signifie que a nest pas congru à 0 modulo 3 donc Et de même pour b : Or donc et par suite CONCLUSION: est divisible par 3 EXERCICE N°1

3 ENONCE : Déterminer deux entiers naturels connaissant leurs sommes 360 et leurs P.G.C.D 18 CORRECTION: Soient a et b deux entiers naturels tels que a+b=360 et pgcd(a,b)=18; Pgcd(a,b) = 18 signifie quil existe un couple dentiers naturels (a,b) tel que a=18a et b=18b avec pgcd(a,b) = 1 Donc on aura a+b=20 et a et b sont premiers entres eux et par suite les couples (a,b) sont (1,19);(3,17) ; (7,13) ; (9,11) ; (19,1) ; (17,3) ; (13,7) ; (11,9) CONCLUSIONS: Les entiers a et b chercher sont : (18,18x19) ;(18x3,18x17) ; (18x7,18x13) ; (18x9,18x11) ; (19x18,18) ; (17x18,3x18) ; (13x18,7x18) ; (11x18,9x18). EXERCICE N°2 N°2

4 ENONCE: Déterminer deux entiers connaissant leur plus grand commun diviseur d=6 et leur plus petit commun multiple m=240 CORRECTION: On a d=6 donc il existe un couple dentiers naturels (a,b) tel que a=6a et b=6b avec pgcd(a,b) = 1 et on a axb=md donc axb=40 et par suite les couples (a,b) sont (1,40);(5,8) ; (40,1) ; (8,5) CONCLUSION: EXERCICE N°3 Les entiers a et b chercher sont les couples (a,b) suivants: (6,240) ;(30,48) ; (240,6) ; (48,30)

5 ENONCE: 1-Résoudre dans léquation 3u-8v=6 2-En déduire lensembles des solutions dans Du système CORRECTION: 1-3u-8v=6 (1) et posons d =pgcd(3,8) On a d=1 donc lensemble des solutions de (1) nest pas vide et on a 3(-6) -8(-3)=6 (2) donc le couple (-6,-3) est une solution particulière de (1) Doù en faisant la différence membre à membre entre (1) et (2) on obtient 3(u+6)=8(v+3) EXERCICE N°4

6 Et on a 3/8(v+3) et d= 1 donc 3/v+3;doù il existe k tel que v+3=3k et par suite u+6 = 8k CONCLUSION: Les solutions de (1) sont les couples (u,v) 2- ; Doù 3u+1=8v+7 ce qui signifie 3u-8v=6 CONCLUSION: En remplacant u ou v par sa valeur dans lexpression de x on obtient x=24k-17, EXERCICE N°4 (suite de la correction)

7 EXERCICE N°5 ENONCE: Soit n un entier premier différent de 2.On considère les entiers naturels et et on désigne par d le pgcd (a,b) 1-a-Montrer que: b-Démontrer que d=n+1 ou d= 3(n+1) 2-a-Trouver une condition nécessaire et suffisante pour quon ait 70a-13b=8 b-Montrer alors que la seule valeurs possible de n est 7

8 CORRECTION: n est un entier naturel premier différent de 1.posons d= pgcd (a,b) 1-a-on a : b-on a: d= pgcd( Or le pgcd(n+1,3)=1 ou pgcd(n+1,3)=3 Donc d=n+1 ou d=3(n+1) EXERCICE N°5 (correction)

9 2-si d=n+1 alors n+1/a et n+1/b donc n+1/8 et par suite n+1 doù n=3 ou n=7 or 70x16-13x28 8 donc 3 ne convient pas ;dautre part Donc 7 convient si d=3(n+1) alors 3(n+1)/a 3(n+1)/b donc 3(n+1)/8 ceci est impossible car pdcd(3,8)=1 ainsi la seule valeur de n est 7 CORRECTION EX5(suite)

10 Soit m dont la décomposition en facteurs premiers est :m= 1- Quel est le nombre N des diviseurs de m? - Quel est la somme S des diviseurs de m? - Trouver N et S pour que m=2800 -Trouver S pour m= 2- Deux entiers naturels sont dits aimables si chacun deux est la somme des diviseurs autres que lui-même de lautre. Montrer que a=220 et b=284 sont aimables 3- Un entier naturel est dit parfait sil est la somme de ses diviseurs autre que lui-même. Montrer que lorsque est premier lentier A= est parfait. Donner quelques exemples de nombres parfaits EXERCICE N°6 ENONCE

11 1- S=(1+a+………+ (1+b+…….+ (1+c+……+ N= (1+p)(1+q)(1+r) m=2800 = ; N=5.3.2 = 30 et S = ( )(1+5+25)(1+7) = 7688 m = donc S = 1+2+……+ = 2 – a=220 = alors S=504 ; b = 284 =. 71 S= 504 ; S-a = 284=b S-b = 220 = a donc a et b sont aimables 3 – A = si est premier alors est la décomposition unique de A en facteurs premiers donc A est un entier parfait Exemples dentiers parfaits : n = 2, A = 2x3 =6 ; n = 3,A = 4x(9-1) = 32 n = 4 ; = 15 nest pas premiers. n = 5, = 31 premier donc A = 496.Trouver dautre entiers parfaits.Bonne chance CORRECTION EX N°6


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