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Prof: Said Abouhanifa Caractérisation des situations favorisant le développement du contrôle exercé par les étudiants sur l'activité mathématique CRMEF.

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1 Prof: Said Abouhanifa Caractérisation des situations favorisant le développement du contrôle exercé par les étudiants sur l'activité mathématique CRMEF –CO SETTAT OMSEFEM- Première école d’été de didactique des mathématiques du 10 au 13 Juin 2014 à Rabat

2 Plan

3 MASEN et SELDEN (1989), SELDEN et AL (1999), LEWIS (1991), WHEALTAY (1992) étude auprès des étudiants ayant réussi un cours de calcul différentiel. En effet, ils ont éprouvé de grandes difficultés à s’approprier les mêmes contenues lors du résultat de tâches complexes. Pourquoi rencontrent-ils des difficultés dans la résolution de problème complexe en contexte des situations équivalentes nouvelles ? ERSENBERG et DREYFUS (1991) ont émis l’hypothèse que les étudiants n’arriveraient pas à résoudre ce type de problèmes par ce qu’ils n’arrivent pas suffisamment recours à différentes représentation des concepts, peux particulièrement à des représentations visuelles. SELDEN et AL (1999). le manque de contrôle exercé par les étudiants lors de la résolution de tâches complexes peut exprimer certaines difficultés. D’autres auteurs ont soulevé aussi ce manque de contrôle dans le contexte de résolution de problèmes des étudiants à l’université, les résultats ont permis de constater que certaines mobilisation des stratégies; - Identifier comment se caractérisent ces situations problèmes élaborées en vue de développer un contrôle sur l'activité mathématique chez les étudiants? - Comment se caractérisent les stratégies d'intervention de l’enseignant en classe pour développer et mettre en place un tel contrôle chez les étudiants? la capacité d'articuler les différentes composantes du contrôle contribue de manière significative au développement de la rationalité mathématique.

4 Eclairages sur le concept du contrôle selon les dimensions: Sociologique; Psychologique; Educative; Mathématique. Didactique ;

5 Le contrôle Anticipation Vérification/ Validation Sensibilité à la contradiction Engagement réfléchi Discernement / Choix éclairé Recours à des métaconnaissa nces Syntaxique Sémantique

6 caractérisation du concept de contrôle en lien avec les composantes

7 Il s’agit d’observer comment les étudiants décident de résoudre cette situation et surtout d’identifier les stratégies ainsi que la façon dont ils y auront recours. « Un consommateur dépense son revenu de 48dhs pour l’achat de deux biens : x et y. Les prix de x et de y sont respectivement 2dhs et 3dhs. La fonction d’utilité du consommateur est donnée par la formule : U(x, y) = - x² - 2y² + 2xy Combien d’unités du bien x et du bien y doit-il consommer pour maximiser son utilité ? »

8 les catégories de groupe d’étudiants et les moyennes de leurs notes, obtenues dans l’examen : Parties de l’examen du Janvier 2014 Le nombre d’étudiants qui ont traité ou ayant commencé la résolution du problème Barème sur 20 La moyenne de notes obtenues pour les 20 étudiants Observations Exercice 12062,60 76 étudiants ont obtenu des notes sur 20 entre 0 et 2. Total du groupe 8 de la section est de 168 étudiants inscrits. Exercice 21642,31 Exercice 31843,31 Problème 41462,32 Somme209,05

9 La situation « la firme productive » effectuée dans les travaux dirigés avec ces étudiants, est la suivante : « Une firme produit des appareils dans deux usines différentes. Les coûts totaux de production pour les deux usines sont respectivement : CT 1 = 200+6q 1 +0,03q 1 ² et CT 2 = q 2 +0,02q 2 ² où q 1 et q 2 représentent le nombre d’appareils produits dans chaque usine. La firme s’est engagée à livrer 100 appareils à une entreprise. Les frais de transport par appareil sont de 4dhs pour les livraisons à partir de la première usine et de 2dhs pour les livraisons à partir de la seconde usine. Les frais de transport sont supportés par la firme productive. Afin de minimiser le coût total de production y compris le coût de transport, la firme veut savoir le nombre d’appareils que doit produire chaque usine ».

10 Dans la mise en œuvre ; et à partir de la fonction d’utilité U(x, y) et de la contrainte c(x, y) = 0. L’étudiant sera en mesure de : » Former une fonction auxiliaire appelée un lagrangien : L(x, y,λ ) = U(x, y) + λ c(x, y) Où ¸ λ (multiplicateur de Lagrange) est une inconnue. » Identifier les points critiques (résoudre le système de trois équations à trois inconnus formé par les dérivées partielles premières de L par rapport à x, y et λ). » Faire le lien entre la notion du développement limité à l’ordre 2 d’une fonction de 2 variables et la définition du concept extremum. » Faire le lien entre les dérivées partielles secondes et le discriminant ∆.

11 On peut s’attendre à ce que l’étudiant réécrit la fonction auxiliaire L(x, y, λ ) = U(x, y) + λ c(x, y) ; un engagement réfléchi peut s’exprimer par un retour aux fondements et à la recherche du sens pour savoir d’où provient les conventions (lorsqu’il s’agit de maximiser, en utilise la fonction suivante : L(x, y, λ ) = U(x, y) + λ c(x, y) et lorsqu’il s’agit de minimiser, en utilise : L(x, y, λ ) = U(x, y) - λ c(x, y)). Ceci demande un certain contrôle sémantique puisque l’étudiant doit choisir entre le signe positif ou négatif. Ensuite, il aura besoin d’un contrôle syntaxique pour identifier les points critiques en manipulant les dérivées partielles premières afin de résoudre le système de trois équations à trois inconnus, dont la valeur de λ ne présente pas d’intérêt et n’est pas donc à chercher.

12

13 1 : signifie que l’on a observé des indicateurs que l’étudiant a exercé une action mathématiques liée à cette composante. 1- : signifie que l’action menée par l’étudiant comportait certaines erreurs. 0 : signifie absence d’indicateurs liés à cette composante que l’étudiant doit exercer pour accéder au contrôle espéré. - : signifie que l’étudiant n’a émet aucune réponse.

14 au cours de l’analyse des productions des étudiants, elle était plus remarquable d’évaluer le contrôle sémantique et des métaconnaissances. En effet, la demande était tellement grande au niveau du sens et des métaconnaissnces que le contrôle syntaxique qui ne sert qu’outil. De plus, aucune démarche évoquée par les étudiants ne montre la présente d’indicateurs de sensibilité à la contradiction ou de la capacité à la surpasser. L’étudiant ET14 n’a pas pu réagir face à l’erreur suivante (extrait de sa solution) : …bien x = 19,2 et bien y = - 4,8 pour consommer et pour maximiser

15 » Le genre de situations proposées aux étudiants permet la mobilisation de nombreuses connaissances mathématiques et sollicitent d’avantage de faire appel aux différents indicateurs de l’activité de contrôle que doit exercer l’étudiant lors de la résolution de la situation. Le cadre de référence de l’activité de contrôle développé par les chercheurs ; ( Saboya, 2010) et (Dufour & Jeannotte, 2013) ; nous a servis d’ancrage pour repérer et faire comprendre les difficultés qui entravent le processus de résolution de la situation complexe, voire, mettre en place les composantes du contrôle exercé par l’étudiant et recenser les éléments essentiels dans l’élaboration des situations d’apprentissages qui favorisent le développement des composantes de contrôle chez les étudiants. » le manque de développements de différentes composantes du contrôle était l’origine de la non maitrise de la démarche de résolution de problème complexe.

16 ARTIGUE, M. (1993). Connaissances et métaconnaissances -une perspective didactique. Dans M. Baron A. Robert A. (Dir.), Métaconnaissances en lA, en EIAO et en didactique des mathématiques (p.29-54). Cahier de DIDIREM, IREM, Paris. BEDNARZ, N. ET SABOYA, M. (2007). Questions didactiques soulevées par l'enseignement de l'algèbre auprès d'une élève en difficulté au secondaire: une étude de cas. Actes de l 'ACFAS 200S. Montréal (Québec). BLOCH I. ( 2005d), 'La sémiotique de C.S.Peirce et la didactique des mathématiques : Vers une analyse des processus de production et d'interprétation des signes mathématiques dans les situations d'apprentissage', Séminaire SFIDA 24, Université de Turin. BLOCH, I. (2005). Quelques apports de la théorie des situations à la didactique des mathématiques dans l'enseignement secondaire et supérieur (Doctoral dissertation, Université Paris-Diderot-Paris VII). BROUSSEAU G. (1996). L’enseignant dans la théorie des situations didactiques, in Actes de la 8ème Ecole d’Eté de didactique des mathématiques, in Perrin-Glorian, Noirfalise (ed), I.R.E.M. de Clermont-Ferrand, BROUSSEAU G. (1998). Théorie des situations didactiques, La pensée Sauvage. BROUSSEAU, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherche en didactique des mathématiques, 7 (2), BURGERMEISTER, P.F. & CORAY, M., (2008 ). Processus de contrôles en résolution de problèmes dans le cadre de la proportionnalité des grandeurs : une analyse descriptive, Recherches en Didactique des Mathématiques 28/1,

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