La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Processus de Poisson UQAM, Actuariat 3. Plan de match n Définition d’un processus de dénombrement n Définition d’un processus de Poisson n Temps d’attente.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Processus de Poisson UQAM, Actuariat 3. Plan de match n Définition d’un processus de dénombrement n Définition d’un processus de Poisson n Temps d’attente."— Transcription de la présentation:

1 Processus de Poisson UQAM, Actuariat 3

2 Plan de match n Définition d’un processus de dénombrement n Définition d’un processus de Poisson n Temps d’attente entre 2 événements n Temps d’attente jusqu’au n è événement n Processus de Poisson non-homogène n Processus de Poisson composé n Exemples Note : Consulter le site web spring-mlc-28-n.pdf pour plus de détails

3 Processus de dénombrement n Soit un processus stochastique {N(t), t ≥0} n Un processus stochastique est une collection de variables aléatoires dans le temps. n N(t) est le nombre d’occurrences sur l’intervalle [0,t] d’un événement aléatoire défini (ex: catastrophe naturelle) n Un tel processus doit satisfaire les conditions suivantes: 1.N(t) ≥0 2.N(t) est entier 3.Si s

4 Processus de dénombrement (suite) n Un processus de dénombrement possèdent des incréments indépendants si le nombre d’événements se produisant dans des intervalles de temps disjoints sont indépendants: –Si s

5 Processus de Poisson n Un des plus important processus de dénombrement. n Le processus {N(t), t ≥0} est un processus de Poisson de taux λ, λ>0 si: 1.N(0)=0 2.Incréments indépendants 3.Le nombre d’événements dans un intervalle de temps de longueur t est distribué selon une loi de Poisson de moyenne λt –Donc, –Cette condition implique qu’un processus de Poisson a des incréments stationnaires

6 Processus de Poisson (suite) n On a aussi: E(N(t))=λtetVar(N(t))= λt n On peut donc voir le paramètre λ comme le taux espéré auquel un événement aléatoire survient dans une unité de temps car:

7 Distribution des temps d’attente entre 2 événements (interarrival time) n Soit T i le temps d’attente entre deux événements n Donc, T n est le temps écoulé entre l’événement n-1 et n n Pour obtenir la distribution de T n, regardons d’abord : Prob(T 1 >t)=Prob(N(t)=0) =Prob(aucun événement entre 0 et t) =exp(- λt), car N(t)-N(0)~Poisson(λt) n On voit donc que T 1 obéit à une loi exponentielle avec moyenne 1/λ.

8 Distribution des temps d’attente entre 2 événements (suite) n Maintenant, pour T 2 : Prob(T 2 >t | T 1 =s)=Prob(aucun événement entre s et s+t sachant qu’il y a eu un événement au temps s) =Prob(aucun événement entre s et s+t) …car les intervalles disjoints sont indépendants =Prob(N(s+t)-N(s)=0) =exp(-λt) …car les incréments sont stationnaires => N(s+t)-N(s)~Poisson(λt)

9 Distribution des temps d’attente entre 2 événements (suite) n En répétant le même raisonnement, on a que : –Les T i sont indépendants et identiquement distribués selon une loi exponentielle de moyenne 1/λ

10 Distribution des temps d’attente jusqu’au n è événement (waiting time) n Soit S n le temps d’attente jusqu’au n è événement n S n est une somme de variables exponentielles n Donc, S n obéit à une loi gamma de paramètres n et λ n Fonction de densité de S n n Fonction de répartition de S n Prob(le n è événement survient avant t) =Prob(au temps t, il y a au moins n événements)

11 Division d’un processus de Poisson en plusieurs processus indépendants n Supposons que les événements d’un processus de Poisson peuvent être classés en r types distincts (type 1, type 2, …, r) n Soit p j la probabilité que l’événement soit de type j n On a aussi que p 1 +p 2 +…+p r =1 n Soit N j (t) le nombre d’événements de type j ayant eu lieu jusqu’au temps t

12 Division d’un processus de Poisson en plusieurs processus indépendants (suite) n {N j (t), t ≥0} est un processus de Poisson (λp j ) et les r processus sont indépendants n Si on s’intéresse au cas où il y a uniquement 2 types (i.e. r=2), la probabilité que n événements de type 1 surviennent avant m événements de type 2 est donnée par : Probabilité que le 2è type survienne avant le 1er type

13 Processus de Poisson non homogène n Les processus que nous avons vu jusqu’à maintenant sont des processus dits homogènes –Le paramètre λ est constant dans le temps –Ces processus sont utilisés pour modéliser des situations où les événements surviennent à des intervalles réguliers dans le temps Ex: Tremblement de terre ou arrivée de clients dans une banque

14 Processus de Poisson non homogène (suite) n Les processus non-homogènes sont plutôt utilisés pour modéliser des événements qui ne surviennent pas à une vitesse constante dans le temps –Ex : Arrivée de clients dans un restaurant (heures de pointe) –Le paramètre de la loi de Poisson n’est plus constant dans le temps (= λ(t)) –Les incréments sont indépendants comme dans le cas homogène. –Par contre, les incréments ne sont plus stationnaires.

15 Processus de Poisson non homogène (suite) n Autrement dit, P(N(t+s)-N(s)) ≠ P(N(t)), où N(t+s)-N(s) est le nombre d’événements survenus entre le temps s et t+s n Soit la “mean value function” : n Pour les processus non homogènes, N(t+s)-N(s) obéit à une Poisson dont la moyenne est égale à n Donc,

16 Processus de Poisson composé n Un processus stochastique {X(t), t ≥0} est un processus de Poisson composé si on peut l’exprimer de la façon suivante : où {N(t), t ≥0} est un processus de Poisson standard et {Y i, i ≥1} est une famille de variables aléatoires i.i.d., indépendantes de {N(t), t ≥0} n Exemple simple (Processus de Poisson standard) : –Si Y i =1 pour tout i, alors

17 Processus de Poisson composé (suite) n Autre exemple : Y i : le nombre de partisans dans l’autobus i N(t) : le nombre d’autobus arrivant à l’aréna entre 0 et t X(t) : le nombre total de partisans arrivant à l’aréna jusqu’à t –On peut vouloir calculer l’espérance et la variance du nombre total de partisans :

18 Composition de 2 processus de Poisson n Soient {N 1 (t), t ≥0} et {N 2 (t), t ≥0} deux processus de Poisson indépendants avec un taux λ i, i=1,2. n Dans ce cas, on peut construire un processus de Poisson {N(t), t ≥0} dont le taux est égal à λ 1 +λ 2 et où N(t)=N 1 (t)+N 2 (t)

19 Le document de référence (par James W. Daniel) donne une liste des numéros portant sur les processus de Poisson dans les anciens examens : –Mai 2007 : #5, 6, 25, 26 –Nov 2006 : #8, 9, 10 –Nov 2005 : #7, 8, 40 –Mai 2005 : #5, 6, 24, 25 –Nov 2004 : #16, 26 –Nov 2003 : #11, 20, 26 –Nov 2002 : #5, 9, 15, 20 –Nov 2001 : #4, 10, 19, 27 –May 2001 : #3, 15, 37


Télécharger ppt "Processus de Poisson UQAM, Actuariat 3. Plan de match n Définition d’un processus de dénombrement n Définition d’un processus de Poisson n Temps d’attente."

Présentations similaires


Annonces Google