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Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier 2011 UTILISATION DE LA LOI BINOMIALE POUR UNE PRISE DE DÉCISION À PARTIR D'UNE.

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1 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier 2011 UTILISATION DE LA LOI BINOMIALE POUR UNE PRISE DE DÉCISION À PARTIR D'UNE FRÉQUENCE

2 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Contexte de travail On considère une population statistique dans laquelle on étudie un caractère qualitatif prenant une modalité donnée dans une proportion p. On cherche des renseignements sur p.

3 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Contexte de travail On peut étudier toute la population et avoir une connaissance pr é cise de p. Recensement Mais cela peut s'av é rer : long (la valeur de p pourra avoir chang é entre temps) ou co û teux, voire impossible lorsque l' é tude est destructrice des individus.

4 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Contexte de travail On détermine la fréquence f de la modalité dans l'échantillon, elle induit des résultats sur p avec une certaine marge d'erreur cependant. Statistique inférentielle On peut raisonner à partir d'un échantillon tiré au hasard dans la population.

5 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Contexte de travail l'estimation (ponctuelle ou par intervalle de confiance...) Statistique inférentielle Deux problèmes relèvent de la statistique inférentielle : les tests (tests d'hypothèse, tests d'adéquation...).

6 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Contexte de travail Supposons que l'on travaille sur la proportion p de bonbons à la menthe délivrés par un distributeur. test d'hypothèse on cherche à savoir si p = 25 % (par exemple) estimation on cherche à connaître la valeur de p. Exemple :

7 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Les programmes de Premières Programmes de Première 2011

8 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier 2011 Les programmes de premières conduisent à travailler dans le cadre des tests d'hypothèse. 2 - Les programmes de Premières

9 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion On émet une hypothèse sur la proportion p d'un caractère qualitatif dans une population statistique. On cherche des raisons de rejeter cette hypothèse au vu d'un échantillon tiré au hasard.

10 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Contexte de travail On travaille sur la proportion p de bonbons à la menthe délivrés par un distributeur. On cherche à savoir si p = 25 % : c'est l'hypothèse que l'on cherche à vérifier. On constitue au hasard un échantillon de 20 bonbons issus du distributeur. Exemple :

11 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion Si l'hypoth è se é mise est vraie, on conna î t la distribution d' é chantillonnage de la fr é quence F n du caract è re é tudi é dans les é chantillons de taille n. On conna î t alors les valeurs de F n les plus fr é quemment observables. On observe la valeur f de F n pour un é chantillon.

12 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Contexte de travail On constitue au hasard et avec remise un échantillon de 20 bonbons. Exemple : Si la proportion de bonbons à la menthe délivrés par le distributeur est 25 %, le nombre de bonbons à la menthe de l'échantillon se distribue selon la loi binomiale de paramètres 20 et 0,25. Ce résultat nous permet de connaître la distribution de F 20.

13 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Contexte de travail Exemple : Distribution de F 20.

14 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion On observe la valeur f de F n pour un é chantillon. On consid è re que le hasard fait bien les choses et on adopte la d é marche suivante : si f ne fait pas partie des valeurs les plus fr é quemment observables, on rejette l'hypoth è se é mise. si f fait partie des valeurs les plus fréquemment observables, on ne rejette pas l'hypothèse émise.

15 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion Cet ensemble des valeurs les plus fr é quemment observables se d é terminent à l'aide d'un niveau de probabilit é, en g é n é ral 95 %. C'est un intervalle centr é en p qui contient la valeur de F n avec une probabilit é d'au moins 95 % et qui soit d'amplitude minimale : c'est l'intervalle de fluctuation de p au niveau de probabilit é de 95 %.

16 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier 2011 Travaillons au niveau de probabilité de 95 %. Exemple : 3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion On détermine l'intervalle centré en 0,25, d'amplitude minimale, qui contient la valeur de F 20 pour un échantillon tiré au hasard avec une probabilité d'au moins 95 %.

17 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier 2011 Exemple : L'intervalle [0,05 ; 0,45] contient F 20 avec la probabilité d'environ 0, Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion

18 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier 2011 Règle de décision : Si la valeur observée de F 20 dans l'échantillon n'appartient pas à [0,05 ; 0,45] alors on rejette l'hypothèse que p = 25 %. Si la valeur observée de F 20 dans l'échantillon appartient à [0,05 ; 0,45] alors on ne rejette pas l'hypothèse que p = 25 %. Exemple : 3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion

19 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier 2011 INTERVALLE DE FLUCTUATION

20 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Dans le programme de Seconde 2009

21 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Dans le programme de Seconde 2009

22 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Dans les programmes de Première Programmes de Première 2011

23 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation

24 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A 0/20 1/20 2/20 3/20 4/20 5/20 6/20 7/20 8/20 9/20 10/20 11/20 12/20 13/20 Fréquence de A 14/20 15/20 16/20 17/20 18/20 19/10 20/20

25 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/200,03 1/200,021 2/200,067 3/200,134 4/200,190 5/200,202 6/200,169 7/200,112 8/200,061 9/200,027 10/200,010 11/200,003 12/200,001 13/200,000 Fréquence de A Probabilité 14/200,000 15/200,000 16/200,000 17/200,000 18/200,000 19/100,000 20/200,000

26 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/200,03 1/200,021 2/200,067 3/200,134 4/200,190 5/200,202 6/200,169 7/200,112 8/200,061 9/200,027 10/200,010 11/200,003 12/200,001 13/200,000 p = 25 % Fréquence de A Probabilité 14/200,000 15/200,000 16/200,000 17/200,000 18/200,000 19/100,000 20/200,000

27 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/200,03 1/200,021 2/200,067 3/200,134 4/200,190 5/200,202 6/200,169 7/200,112 8/200,061 9/200,027 10/200,010 11/200,003 12/200,001 13/200,000 p = 25 %

28 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/200,03 1/200,021 2/200,067 3/200,134 4/200,190 5/200,202 0,561 6/200,169 7/200,112 8/200,061 9/200,027 10/200,010 11/200,003 12/200,001 13/200,000 p = 25 %

29 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/200,03 1/200,021 2/200,067 3/200,134 4/200,190 5/200,202 0,5610,807 6/200,169 7/200,112 8/200,061 9/200,027 10/200,010 11/200,003 12/200,001 13/200,000 p = 25 %

30 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/200,03 1/200,021 2/200,067 3/200,134 4/200,190 5/200,202 0,5610,8070,935 6/200,169 7/200,112 8/200,061 9/200,027 10/200,010 11/200,003 12/200,001 13/200,000 p = 25 %

31 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/200,03 1/200,021 2/200,067 3/200,134 4/200,190 5/200,202 0,5610,8070,9350,983 6/200,169 7/200,112 8/200,061 9/200,027 10/200,010 11/200,003 12/200,001 13/200,000 p = 25 %

32 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/200,03 1/200,021 2/200,067 3/200,134 4/200,190 5/200,202 0,5610,8070,9350,9830,999 6/200,169 7/200,112 8/200,061 9/200,027 10/200,010 11/200,003 12/200,001 13/200,000 p = 25 %

33 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 %

34 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 % 0,561

35 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 % 0,807

36 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 % 0,935

37 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 % 0,983

38 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 % 0,999

39 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation En résumé :

40 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation

41 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Pour l'exemple :

42 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Pour l'exemple :

43 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier 2011 PRISE DE DÉCISION

44 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision Programmes de Première 2011

45 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision Exemple 1 : En 2000, dans le village de Xicun, en Chine, il est né 20 enfants, parmi lesquels 16 garçons. (Source : Washington Post du 29 mai 2001.) Peut-on considérer que cette répartition est le fruit du seul hasard ?

46 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision Exemple 1 : On veut rejeter ou non l'hypothèse que la distribution des sexes des enfants nés en 2000 à Xicun est due au seul hasard. On considère que la variable aléatoire "sexe à la naissance" prend les deux valeurs fille et garçon avec la même probabilité 0,5.

47 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision Exemple 1 : La distribution des sexes dans un tel échantillon suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,5. L'intervalle de fluctuation de la fréquence de garçons dans l'échantillon au niveau de probabilité de 95 % est [0,3 ; 0,7]. Si la distribution des sexes des enfants nés en 2000 à Xicun est due au seul hasard, les 20 enfants sont assimilés à un échantillon d'enfants choisis au hasard dans la population.

48 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision Exemple 1 : La fréquence de garçons observée à Xicun est 0,8 qui n'appartient pas à [0,3 ; 0,7].

49 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision

50 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision Exemple 1 : La fréquence de garçons observée à Xicun est 0,8 qui n'appartient pas à [0,3 ; 0,7]. On considère que la différence entre 0,8 et la valeur attendue 0,5 est significative et on rejette l'hypothèse que la répartition des sexes des enfants est due au seul hasard. On a pu, par la suite, établir un lien avec l’acquisition en 1999, dans ce village d’une machine à ultra-sons bon marché, permettant aux médecins de déterminer le sexe du fœtus.

51 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision Exemple 2 : Dans la réserve indienne d’Aamjiwnaag, située au Canada à proximité d’industries chimiques, il est né entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 46 garçons. (Sources : Science et Vie février 2006 – Environmental Health Perspectives octobre 2005). Peut-on considérer que cette répartition est le fruit du seul hasard ?

52 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision Exemple 2 : On veut rejeter ou non l'hypothèse que la distribution des sexes des enfants nés entre 1999 et 2003 à Aamjiwnaag est due au seul hasard. On considère que la variable aléatoire "sexe à la naissance" prend les deux valeurs fille et garçon avec la même probabilité 0,5.

53 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision Exemple 2 : La distribution des sexes dans un tel échantillon suit la loi binomiale de paramètres 132 et 0,5. L'intervalle de fluctuation de la fréquence de garçons dans l'échantillon au niveau de probabilité de 95 % est approché par [0,416 ; 0,584]. Si la distribution des sexes des enfants nés entre 1999 et 2003 à Aamjiwnaag est due au seul hasard, les 132 enfants sont assimilés à un échantillon d'enfants choisis au hasard dans la population.

54 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision Exemple 2 : On considère que la différence entre 0,348 et la valeur attendue 0,5 est significative et on rejette que la répartition des sexes des enfants est due au seul hasard. Ce résultat conduit à suspecter l'impact des usines chimiques voisines utilisant des polluants chimiques sur le sex-ratio. La fréquence de garçons observée à Aamjiwnaag est environ 0,348 qui n'appartient pas à [0,416 ; 0,584].

55 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision

56 Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier Application à la prise de décision Exemple 2 :


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