Les Fractales.

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1 Les Fractales

2 Les Fractales La nature nous donne à voir des formes que nous disons simples: le disque de la lune, la ligne d’horizon, la surface lisse d’un lac, la trajectoire apparente des planètes, etc. . Le géomètre sait décrire ces objets simples, les analyser, les coder pour en transmettre la description, construire des modèles. Mais comment peut-on extraire les caractéristiques significatives des vagues, des montagnes, d’un arbre nu en hiver et de façon générale, de toutes les formes irrégulières aux lignes toujours brisées. Que dire des phénomènes fugitifs, instables et apparemment désordonnés que nous côtoyons: tourbillons, éclats, fluctuations. C’est ce que nous allons essayer de décrire aujourd’hui.

3 Les Fractales 6. Exercices 1. Qu’est-ce qu’une fractale?
2. Qui a ‘‘découvert’’ les fractales? 3. Les applications des fractales 4. Dimensions fractales 5. L’ensemble de Cantor 6. Exercices

4 1. Qu’est ce qu’une fractale?
Quelques images pour reconnaître une fractale Définition d’une fractale Construction de fractale

5 1. Qu’est ce qu’une fractale?
Nous allons faire défiler une liste d’images. Vous allez devoir trouver des points communs à toutes ces images.

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21 1. Qu’est ce qu’une fractale?
Voici quelques points communs: Complexité du dessin Détails Symétries Répétition d’une forme géométrique élémentaire Vision à plusieurs échelles (zoom)

22 1. Qu’est ce qu’une fractale?
Définition: On peut appeler fractale un objet ou une structure qui représente la même irrégularité à toutes les échelles et dans toutes ses parties: on appelle cette propriété auto-similarité. Définition: (Dictionnaire Hachette): n.f. Math. Ensemble géométrique ou objet naturel dont les parties ont la même structure (irrégulière et fragmentée) que le tout, mais à des échelles différentes. (du latin fractus = brisé, mis en pièces) Bien entendu, il ne s ’agit ici que d ’une tentative de définition. Elle n’est pas complètement satisfaisante dans le sens où il est possible de construire des objets pour lesquels cette définition ne suffit pas pour décider si l’objet est fractal ou non. Nous verrons plus loin une autre caractérisation faisant intervenir les notions de dimensions.

23 1. Qu’est ce qu’une fractale?

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26 1. Qu’est ce qu’une fractale?
Nous allons maintenant construire une fractale. Pour cela, on commence par choisir une forme géométrique initiale, qui nous servira de point de départ. Puis nous allons choisir un générateur, qui représentera la forme que nous souhaitons reproduire à toutes les échelles. La construction de la fractale se fera à l’aide d’un algorithme itératif.

27 1. Qu’est ce qu’une fractale?
Fractale de Von Koch Forme géométrique initiale Générateur

28 1. Qu’est ce qu’une fractale?
Fractale de Von Koch

29 1. Qu’est ce qu’une fractale?
Fractale de Von Koch

30 1. Qu’est ce qu’une fractale?
Fractale de Von Koch Les zones colorées montrent le dessin qui se reproduit à plusieurs échelles

31 1. Qu’est ce qu’une fractale?
Le tamis de Sierpinski Forme géométrique initiale et générateur Le dessin se reproduit à toutes les échelles

32 1. Qu’est ce qu’une fractale?

33 1. Qu’est ce qu’une fractale?

34 2. Qui a découvert les fractales?
Le concept de fractale a été dégagé par le mathématicien français Benoît Mandelbrot:   « Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les lignes de côte ne sont pas des cercles, et une écorce n’est pas lisse, de même que les éclairs ne sont pas des lignes droites. »

35 2. Qui a découvert les fractales?
Benoît Mandelbrot, scientifique chez IBM et professeur de mathématiques à l’université de Yale, a fait ses plus grandes découvertes en défiant l’ordre mathématique académique bien établi. Ainsi, il a mis en évidence que dans la nature il y avait des ``vides ’’ ou intervalles entre les dimensions -- les dimensions fractales -- La géométrie qui en découle -- appelée géométrie fractale -- a été créée presque uniquement par Mandelbrot. Certains affirment qu’elle est maintenant reconnue comme la vraie Géométrie de la Nature. Mandelbrot, est né dans l ’atmosphère des mathématiques académiques. Son oncle Szolem Mandelbrot, a fait partie de l’élite parisienne des mathématiciens Boubakistes. Benoît Mandelbrot est né à Varsovie en Anticipant les événements politiques de l’époque, ses parents partirent pour Paris en 1936.

36 2. Qui a découvert les fractales?
Dans cette période troublée le jeune Benoît Mandelbrot ne reçut pas une éducation très régulière et suivie. On ne lui a jamais enseigné l’alphabet et les tables de multiplication. Même aujourd’hui, il prétend ne toujours pas connaître l’alphabet (dans l’ordre) et avoir des problèmes pour utiliser un annuaire téléphonique! Malgré cela, il rejoint l’élite dans les universités parisiennes et suit les traces de son oncle. Bien que doué pour les maths, il l’est différemment de son oncle; en fait, il l’est différemment de la plupart des autres mathématiciens. Il a un esprit qui lui donne une vision exclusivement géométrique des problèmes, qu’il résout avec cette intuition géométrique plutôt qu’avec les techniques usuelles de la logique mathématique. Benoît est brillant, mais dissimule sa façon de voir les mathématiques jusqu’à l’obtention de sa thèse en mathématiques; à partir de ce moment là, il commence à suivre son propre chemin.

37 2. Qui a découvert les fractales?
Son ``voyage ’’ l’emmène jusqu’aux Etats-Unis, loin du milieu académique, ou il finit par aboutir au centre de recherche d’IBM de Yorktown Heights, New York. Il se passionne alors pour toutes sortes de mathématiques (non académiques), avec un choix de disciplines très éclectiques. Il devient par exemple expert dans certaines branches de la linguistique, la théorie des jeux, l’aéronautique, la physiologie, l’ingénierie économique, la géographie, l’astronomie, et bien entendu la physique. Il était aussi avide d’histoire des Sciences. Il faut noter qu’il fut l’un des premiers mathématiciens a avoir accès à des ordinateurs calculant très rapidement. Il dit de lui-même: Every so often I was seized by the sudden urge to drop a field right in the middle of writing a paper, and to grab a new research interest in a field about which I knew nothing. I followed my instincts, but could not account for them until much, much later.

38 2. Qui a découvert les fractales?
Contrairement au milieu académique ou l’on se spécialise plutôt dans un domaine très pointu, il préfère élargir le spectre de ses connaissances, ce qui le rend souvent impopulaire et indésirable dans les milieux de la recherche qu’il explore. Il laisse cependant derrière lui, partout ou il passe, quelques idées nouvelles et intéressantes. C’est par exemple lui qui découvre en économie que les fluctuations apparemment aléatoires des marchés financier dissimulent en fait un certain ordre dans le temps. Il met en évidence un schéma dans lequel les variations journalières imprévisibles du prix du coton se répètent dans le temps à des échelles différentes. Il trouve ainsi une symétrie entre les fluctuations à long terme et celles à court terme. Même Mandelbrot, à ce moment là n’a pas encore réalisé qu’il avait découvert une fractale dans des données économiques en démontrant le caractère récursif et d’auto-similarité dans l’échelle de temps.

39 L’un des exemples les plus fameux développé par Mandelbrot dans l’article « How long is the coast of Britain? Statistical self similarity and fractal dimensions» [Science 155, p , 1967] est celui de la côte de Grande Bretagne. Mandelbrot pose la question « Quelle est la longueur de la côte du Royaume Uni?». Il est difficile de répondre! En effet, si l’on choisit une carte à grande échelle, on obtiendra une première réponse, mais si on choisit une carte avec une petite échelle, on obtiendra un chiffre plus grand. Ou encore, imaginons un géant qui marche le long de cette côte; celui-ci donnera une mesure encore plus grande. De même que si la côte est parcourue par un homme ou une fourmi.

40 2. Qui a découvert les fractales?

41 2. Qui a découvert les fractales?
Mandelbrot a ainsi développé la notion de fractale, ainsi qu’une des notions qui va de paire avec celle de fractale qui est la notion de dimension, et que nous définirons dans un autre paragraphe. Ci-contre, une des plus célèbres figures fractales due à Mandelbrot. Zn+1 = Zn2 + c Z0=0 Les zones noires sont les affixes c telles que la suite complexe (Zn ) est bornée.

42 3. Les applications des fractales
Les applications des fractales sont nombreuses et plus ou moins avérées. En voici quelques-unes des plus (re)connues - Systèmes dynamiques - Physique (mécanique quantique, phénomènes d’agrégation) - Médecine/Biologie - Traitement, reconnaissance et compression d’images - Economie (Fluctuations du marché)

43 Systèmes dynamiques chaotiques
Grandes variations des trajectoires pour des variations infimes des conditions initiales Attracteurs étranges

44 Physique - Mécanique quantique
En mécanique quantique, la découverte de spectres d'énergies ayant une structure fractale a révolutionné la vision des propriétés de transport électroniques dans les solides (cristaux, quasi-cristaux, semi-conducteurs).

45 Physique - Agrégation Agrégation de matières: - Matière stellaire
- Ions métalliques dans un fluide contenant une électrode - Développements de bactéries dans des milieux avec contraintes

46 Médecine Propriétés des tissus et organes présentant une structure ou des propriétés fractales.

47 Biologie Codage du génome. Séquences de l’ADN
Pour C: T1(x,y) = (x/2,y/2) Pour A: T2(x,y) = (x/2,y/2) + (1/2,0) Pour T: T3(x,y) = (x/2,y/2) + (0,1/2) Pour G: T4(x,y) = (x/2,y/2) + (1/2,1/2)

48 Traitement d’images Certaines images (naturelles) possèdent des caractéristiques d ’auto-similarité sur plusieurs échelles: certains détails reproduisent des éléments plus gros de cette même image. JPEG Fractale

49 Economie Cours des Actions IBM 1959-1996
Variations de ce même cours (différences entre les valeurs successives)

50 4. Dimensions fractales

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