D♥(Rouge)V♦(Rouge)7♦(Rouge)8♥(Rouge)R♦(Rouge) 7♣(Noir)1♠(Noir)R♠(Noir)1♣(Noir)8♠(Noir) 9 ♥ (Rouge)V♠(Noir)D♠(Noir)10♣(Noir)D ♦ (Rouge) 7 ♥ (Rouge)10♠(Noir)V♣(Noir)

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2 D♥(Rouge)V♦(Rouge)7♦(Rouge)8♥(Rouge)R♦(Rouge) 7♣(Noir)1♠(Noir)R♠(Noir)1♣(Noir)8♠(Noir) 9 ♥ (Rouge)V♠(Noir)D♠(Noir)10♣(Noir)D ♦ (Rouge) 7 ♥ (Rouge)10♠(Noir)V♣(Noir) 10 ♥ (Rouge) 9♠(Noir) 9 ♦ (Rouge)R♣(Noir)D♣(Noir)8 ♦ (Rouge)V ♥ (Rouge) 1 ♥ (Rouge)8♣(Noir) 10 ♦ (Rouge) 9♣(Noir)R ♥ (Rouge) 1 ♦ (Rouge)7♠(Noir)

3 D♥(Rouge)V♦(Rouge)7♦(Rouge)8♥(Rouge)R♦(Rouge) 7♣(Noir)1♠(Noir)R♠(Noir)1♣(Noir)8♠(Noir) 9 ♥ (Rouge)V♠(Noir)D♠(Noir)10♣(Noir)D ♦ (Rouge) 7 ♥ (Rouge)10♠(Noir)V♣(Noir) 10 ♥ (Rouge) 9♠(Noir) 9 ♦ (Rouge)R♣(Noir)D♣(Noir)8 ♦ (Rouge)V ♥ (Rouge) 1 ♥ (Rouge)8♣(Noir) 10 ♦ (Rouge) 9♣(Noir)R ♥ (Rouge) 1 ♦ (Rouge)7♠(Noir)

4  Constitué de p symboles (p= alphabet)  Une suite de ces symboles se refermant sur elle-même  Un enchaînement de n symboles (n= longueur du facteur)  On appellera facteur de longueur n une suite de n symboles consécutifs apparaissant dans le mot.

5 A A A B B B ABBA, BBAB, BABA, ABAA, BAAB, AABB (facteurs de longueur 4)

6  20 e siècle: Etude d’une famille de mots => Mots de « De Bruijn »  Propriétés: › Circulaire › n ≥ 2 › Alphabet de p symboles › Notation: B(p,n)

7 Mais il y a une particularité:  Chaque suite de p symboles et de longueur n ne se retrouve qu’une seule fois dans le mot circulaire  Le mot le plus court possible: p n

8  Mot de « De Bruijn » de type B(2;3) › Alphabet = {A;B} › Facteur n=3 › AAA; AAB; ABB; BBB; BBA; BAB; ABA; BAA 8 facteurs de longueur 3 (8 = 2³ = p n ) A A AA B B B B

9  Deux ensembles: › V = {v 1, v 2, v 3,…), les sommets › E = {e 1, e 2, e 3,…), les arcs  Exemple v3v3 v1v1 v2v2 e2e2 e1e1

10 MultigrapheGraphe biparti

11 v3v3 v1v1 v2v2 e2e2 e1e1

12  But? Trouver le mot de « de Bruijn » B(p,n)  Comment? A partir du mot B(p,n-1), en faisant un graphe  Ce mot sera de longueur p n  Ici, on cherche B(2,5)

13 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

14 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1R1R

15 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 11 RR

16 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 111 RRR

17 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1110 RRRN

18 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 11101 RRRNR

19 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 111010 RRRNRN

20 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1110100 RRRNRNN

21 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 11101000 RRRNRNNN

22 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 111010000 RRRNRNNNN

23 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1110100001 RRRNRNNNNR

24 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 11101000010 RRRNRNNNNRN

25 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 111010000101 RRRNRNNNNRNR

26 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1110100001011 RRRNRNNNNRNRR

27 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 11101000010110 RRRNRNNNNRNRRN

28 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 111010000101100 RRRNRNNNNRNRRNN

29 000 111 110 101 010 100 011 001 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1110100001011001 RRRNRNNNNRNRRNNR

30 0010 0001 0000 1000 0100 1010 1101 1110 1111 0111 0011 1001 1100 0101 1011 0110 0 1

31 D♥(Rouge)V♦(Rouge)7♦(Rouge)8♥(Rouge)R♦(Rouge) 7♣(Noir)1♠(Noir)R♠(Noir)1♣(Noir)8♠(Noir) 9 ♥ (Rouge)V♠(Noir)D♠(Noir)10♣(Noir)D ♦ (Rouge) 7 ♥ (Rouge)10♠(Noir)V♣(Noir) 10 ♥ (Rouge) 9♠(Noir) 9 ♦ (Rouge)R♣(Noir)D♣(Noir)8 ♦ (Rouge)V ♥ (Rouge) 1 ♥ (Rouge)8♣(Noir) 10 ♦ (Rouge) 9♣(Noir)R ♥ (Rouge) 1 ♦ (Rouge)7♠(Noir)