Algorithme des différences

Présentation au sujet: "Algorithme des différences"— Transcription de la présentation:

1 Algorithme des différences
Diviseur PGCD Algorithme des différences PGCD de 210 et 126 PGCD de 192 et 120 Algorithme d'Euclide

2 Est-ce que 2 est un diviseur de 18 ?
Oui Que signifie "2 est un diviseur de 18" ? Cela veut dire que si on divise 18 par 2, le quotient est entier et le reste est zéro.

3 Définition a et d désignent deux entiers tels que d  0. On dit que d est un diviseur de a si le reste de la division euclidienne de a par d est égal à 0.

4 la division euclidienne,
Dans le cas de la division euclidienne, le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers.

5 Ecris cette phrase d'une autre façon :
2 est un diviseur de 18. Ecris cette phrase d'une autre façon : 18 est un multiple de 2. 18 est divisible par 2.

6 Est-ce que 2 est un diviseur de 15 ?
Non Est-ce que 3 est un diviseur de 102 ? Oui Est-ce que 9 est un diviseur de 129 ? Non

7 Ecris les diviseurs de 12 :
1 ;   2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 Ecris les diviseurs de 18 : 1 ;   2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 Ecris les diviseurs communs à 12 et 18 1 ;   2 ; 3 ; 6  Quel est le plus grand ? 6  On écrit PGCD (12 ; 18) = 6

8 On écrit PGCD (12 ; 18) = 6 Que signifie PGCD (12 ; 18) ? Plus Grand Commun Diviseur

9 Plus Grand Commun Diviseur à
Parmi les diviseurs communs à deux nombres entiers a et b, l’un deux est plus grand que les autres : on l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur à a et b et on le note PGCD (a ; b).

10 Chercher PGCD (20 ; 35) Diviseurs de 20 : 1 ;   2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 Diviseurs de 35 : 1 ;   5 ; 7 ; 35  Diviseurs communs à 20 et 35 : 1 ;   5 PGCD (20 ; 35) = 5

11 Chercher le PGCD va être parfois
un peu long en écrivant tous les diviseurs, mais il existe des méthodes plus rapides. On appelle ces méthodes des algorithmes. Un algorithme est une méthode de calcul où on répète le même procédé jusqu'au résultat trouvé.

12 des soustractions successives ou algorithme des différences
Recherche du PGCD par la méthode des soustractions successives ou algorithme des différences

13 PGCD (a ; b) = PGCD(b ; a – b)
Propriété admise : Si a et b sont deux nombres entiers tels que a > b alors PGCD (a ; b) = PGCD(b ; a – b) Le plus petit La différence

14 PGCD (a ; b) = PGCD(b ; a – b)
Le plus petit La différence Chercher le PGCD de 36 et 24 a - b Plus grand a Plus petit b 36 24 12 On soustrait les deux nombres donnés : 36 – 24 = 12

15 On garde les deux plus petits 24 et 12 et on recommence ;
Recherche du PGCD de 36 et 24 a - b Plus grand a Plus petit b 36 24 12 24 12 12 On garde les deux plus petits 24 et 12 et on recommence ;

16 On s’arrête lorsque la différence est nulle.
Recherche du PGCD de 36 et 24 a - b Plus grand a Plus petit b 36 24 12 24 12 12 12 12 On s’arrête lorsque la différence est nulle.

17 Recherche du PGCD de 36 et 24 a - b 36 24 12 24 12 12 12 12 12
Plus grand a Plus petit b 36 24 12 24 12 12 12 12 12 Donc PGCD (36 ; 24) =

18 Propriété Le Plus Grand Commun Diviseur à deux nombres entiers est
Recherche du PGCD de 36 et 24 a - b Plus grand a Plus petit b 36 24 12 24 12 12 12 12 Propriété Le Plus Grand Commun Diviseur à deux nombres entiers est la dernière différence non nulle dans la succession des soustractions.

19 Recherche du PGCD de 210 et 126 a - b 210 126 84 126 84 42 84 42 42 42
Plus grand a Plus petit b 210 126 84 126 84 42 84 42 42 42 42 Donc PGCD (210 ; 126) = 42

20 Recherche du PGCD de 192 et 120 a - b 192 120 72 120 72 48 72 48 24 48
Plus grand a Plus petit b 192 120 72 120 72 48 72 48 24 48 24 24 24 24 Donc PGCD (192 ; 120) = 24

21 Recherche du PGCD par la méthode des divisions successives
ou algorithme d’Euclide Euclide d'Alexandrie vers 325 av JC - vers 265 av JC

22 Si a et b sont deux nombres entiers
Propriété admise : Si a et b sont deux nombres entiers tels que a > b alors PGCD (a ; b) = PGCD(b ; r) Le plus petit Reste de la division euclidienne de a par b b q a r

23 2. Par divisions successives
Recherche du PGCD de 18 et 4 Reste Plus grand a Plus petit b 18 4 2 On divise le plus grand nombre 18 par le plus petit 4 ;

24 2. Par divisions successives
Recherche du PGCD de 18 et 4 Reste Plus grand a Plus petit b 18 4 2 4 2 On garde le plus petit 4 et le reste 2 de la division et on recommence ; On s’arrête lorsque le reste est nul.

25 2. Par divisions successives
Recherche du PGCD de 18 et 4 Reste Plus grand a Plus petit b 18 4 2 4 2 Donc PGCD (18 ; 4) = 2

26 2. Par divisions successives
Recherche du PGCD de 18 et 4 Reste Plus grand a Plus petit b 18 4 2 4 2 Propriété Le Plus Grand Commun Diviseur à deux nombres entiers est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes.

27 Recherche du PGCD de 88 et 14 Reste 88 14 4 14 4 2 4 2
Plus grand a Plus petit b 88 14 4 14 4 2 4 2 Donc PGCD (88 ; 14) = 2

28 Fin

29 Alexandrie