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Éléments dépistémologie des mathématiques et de leur enseignement.

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1 Éléments dépistémologie des mathématiques et de leur enseignement

2 Épistémologie des mathématiques Quest-ce quon fait vraiment quand on fait des mathématiques? Quest-ce quun « objet mathématique » ? Quest-ce quun « énoncé vrai » ? Quelles formes de raisonnement sont légitimes ? Quel rapport entre la pratique des mathématiques et la pratique des autres sciences?

3 Quest-ce que les mathématiques ? un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts (nombres, figures, structures, transformations) un domaine de recherche visant à développer ces connaissances la discipline qui les enseigne

4 Mathématiques et le réel ? Réel Esprit humain Mathématiques problèmes pratiques problèmes mathématiques applications

5 Mathématiques et le réel ? enracinement dans le monde concret, réel de nature purement intellectuelle, basées sur –des axiomes déclarés vrais ou sur des postulats provisoirement admis –des méthodes particulières – démonstrations - pour déterminer quun énoncé mathématique (théorème, proposition, lemme, corollaire) est valide applications dans dautres sciences et dans différents domaines techniques

6 Quest-ce que faire des mathématiques ? poser et résoudre des problèmes, extra ou intra- mathématiques créer des objets, développer des théories, organiser les savoirs… Recherche en mathématiques phases heuristiques - intuition, bricolage, expérimentation, induction… formulation de conjectures, vérification… recherche de preuve, de démonstration

7 Expérimentation En sciences expérimentales : –Expérimentation processus qui conduit à partir de l'émission de l'hypothèse à la réalisation d'une expérience et à l'analyse de ses résultats (Develay, 1989) observation provoquée –Expérience produit de l'expérimentation, face visible du processus de l'expérimentation

8 Expérimentation En mathématiques ? –Partie expérimentale Exploration de phénomènes mathématiques, par exemple en traitant des cas particuliers dune question trop difficile pour être abordée directement –Elle permet de Chercher des contre-exemples Comprendre en quoi des arguments utilisés dans un cas particulier se généralisent ou non Faire des conjectures sur des situations voisines Démontrer des théorèmes (ex. théorème des 4 couleurs)

9 Expérimentation En sciences expérimentales –Observation –Modèle –Expérimentation En mathématiques –Expérimentation –Conjecture –Preuve / démonstration

10 Mathématiques et physique ? Liens étroits : –en physique, modélisation systématique, en utilisant des méthodes mathématiques, pour comprendre les résultats de ses expériences : cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés elle encourage les mathématiciens à s'intéresser davantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique elle demande parfois au contraire des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques (ex. calcul différentiel) Physique mathématique –développement des méthodes mathématiques à l'usage de la physique

11 Épistémologie scolaire Les problèmes dans les programmes depuis la contre réforme

12 Mathématiques modernes BO 29 juillet 1968, appliqué en 69 en classe de 6ème Aucune indication sur les problèmes. Les commentaires précisent les notions mathématiques à enseigner.

13 « La théorie nest pas un but en soi, mais un outil pour répondre à des questions que pose la vie : technologie, physique, économie. De ce point de vue lanalyse de situations et la résolution de problèmes jouent un rôle majeur. En particulier lenseignement de la géométrie est indissociable de la recherche de constructions géométriques. » Contre réforme : Programme de mars 77 appliqué en septembre 1978 en 6ème

14 Programme de 81 appliqué en septembre 1982 en 2 nde « A la base de tout bon apprentissage, il y a le contact avec une pratique sensorielle et concrète, la stimulation de lactivité personnelle de lélève, lélaboration de moyens dinvestigation aussitôt applicables au monde qui lentoure. » « La classe de mathématiques est, dans son rôle essentiel, un lieu de découverte, dexploration de situations plus ou moins aisément maîtrisables, de réflexion sur des problèmes résolus. »

15 Activité mathématique « Lactivité mathématique ne sidentifie pas au déroulement dune suite bien ordonnée de théorèmes. Il importe que toute introduction dune notion ou dun théorème soit précédée de létude dune situation assez riche pour en attester lintérêt et quelle soit suivie immédiatement dapplications substantielles. » (BO sept 82)

16 Problèmes interviennent surtout en entraînement, réinvestissement doivent être nombreux importance du travail à la maison

17 Bilan du programme de 2 nde (depuis 3 ans) –Trop dexposés théoriques, synthétiques –Abus dexercices mal définis, cest -à-dire soit abordables mais coupés de tout contexte et trop techniques, soit trop difficiles 1984 Modification du programme de 2nde appliqué en septembre 1985 Diversification des activités

18 Programmes de 1985 appliqués en 1986 en 6 ème « Il convient de faire fonctionner, à propos de nouvelles situations et autrement quen reprise ayant un caractère de révision, les notions et outils mathématiques antérieurement étudiés. Il convient également de préciser à chaque étape de lapprentissage quelles connaissances sont désormais en place. Il convient enfin de mettre en oeuvre des exercices de synthèse pour coordonner des acquisitions diverses. »

19 Lactivité de chaque élève Il est essentiel que les connaissances prennent du sens pour lélève à partir des questions quil se pose… Lactivité de chaque élève doit être privilégiée, sans délaisser lobjectif dacquisitions communes. Dès lors, seront choisies des situations créant un problème dont la solution fera intervenir des « outils », cest-à-dire des techniques ou des notions déjà acquises, afin daboutir à la découverte ou à lassimilation de notions nouvelles. Lorsque celles-ci auront été bien maîtrisées, elles fourniront à leur tour de nouveaux « outils », qui permettront un cheminement vers une connaissance meilleure ou différente.

20 Caractérisation des activités « Les activités choisies doivent : –permettre un démarrage possible pour tous les élèves, donc ne donner que des consignes très simples et nexiger que les connaissances solidement acquises par tous ; –créer rapidement une situation assez riche pour provoquer des conjectures ; –rendre possible la mise en jeu des outils prévus ; –fournir aux élèves, aussi souvent que possible, des occasions de contrôle de leurs résultats, tout en favorisant un nouvel enrichissement ; on y parvient, par exemple, en prévoyant divers cheminements qui permettent de fructueuses comparaisons. »

21 Synthèse « Elles nécessitent une synthèse, brève, qui porte non seulement sur les quelques notions, résultats et outils de base que les élèves doivent connaître, mais aussi sur les méthodes de résolution de problèmes qui les mettent en jeu. »

22 Programmes de 1995 Reprise de lintroduction Développer la formation du citoyen Liens avec école primaire Liens avec les autres disciplines TICE La pratique dune démarche scientifique

23 Activité mathématique « à travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et lapprentissage progressif de la démonstration, les élèves peuvent prendre conscience petit à petit de ce quest une véritable activité mathématique : –identifier un problème, –conjecturer un résultat, –expérimenter sur des exemples, –bâtir une argumentation, –mettre en forme une solution, –contrôler les résultats obtenus et évaluer leur pertinence en fonction du problème étudié. »

24 Programmes Une place centrale pour la résolution de problèmes Thèmes de convergence Démarche dinvestigation

25 Programmes 2007 et 2008 Démarche dinvestigationDémarche dinvestigation Socle commun de compétences

26 Discours institutionnel stable 1978 –Aspect outil des mathématiques, –Rôle majeur pour la résolution de problèmes 1985 –Outil pour découvrir –Privilégier lactivité de lélève –Outil/objet/outil 1995 –Activité mathématique 2005 –Démarche dinvestigation

27 Conclusions Discours stable depuis 30 ans, repris à chaque nouveau programme (différent de la situation de lEP) Discours influencé par les théories de lapprentissage, par les théories didactiques De lactivité des élèves aux « activités dintroduction » (dans les manuels) Difficultés de mise en oeuvre dans les classes : –trouver des activités pertinentes –lien entre activités / institutionnalisation

28 Démarche dinvestigation Introduction commune à lensemble des disciplines scientifiques, collège, 2005 Sinscrit dans lapproche constructiviste Analogies entre son application aux sciences expérimentales et aux mathématiques –Résolution de problèmes –Formulation dhypothèses explicatives et de conjectures Spécificités liées à leurs objets détude et à leurs méthodes de preuve –Validation par lexpérimentation vs. par la démonstration

29 Démarche dinvestigation Appui sur –Questionnement des élèves sur le monde réel (sciences expérimentales) Observation, expérimentation, action directe par les élèves privilégiés –Résolution de problèmes (mathématiques)

30 Démarche dinvestigation Canevas en 7 moments essentiels – rôle de lexpérience et choix du problème pensés différemment selon la spécificité de chaque discipline 1)Choix dune situation-problème par le professeur à partir de lanalyse des savoirs visés, des objectifs à atteindre, des acquis initiaux, des conceptions des élèves 2)Appropriation du problème par lélève reformulation, émergence déléments de solution suscitant le questionnement 3)Formulation de conjectures, dhypothèses explicatives, de protocoles possibles élaboration dexpériences pour tester ces hypothèses et conjectures, communication de conjectures, hypothèses et protocoles expérimentaux

31 Démarche dinvestigation 4)Investigation ou résolution du problème conduite par les élèves débats en groupe, description/réalisation de lexpérience, exploitation de méthodes et résultats, recherche déléments de justification et de preuve 5)Échange argumenté autour des propositions élaborées confrontation des propositions, débat sur leur validité 6)Acquisition et structuration des connaissances mise en évidence, avec lenseignant, de nouveaux éléments de savoir 7)Opérationnalisation des connaissances exercices pour automatiser certaines procédures, nouveaux problèmes de réinvestissement, évaluation


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