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M.E.D.A.L. Module dEnseignement à Distance pour lArchitecture Logicielle Alain VAILLY Diapositive n° 1 IUP MIAGE - Université de NANTES IUP-MIAGE 1ère.

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1 M.E.D.A.L. Module dEnseignement à Distance pour lArchitecture Logicielle Alain VAILLY Diapositive n° 1 IUP MIAGE - Université de NANTES IUP-MIAGE 1ère année Les réseaux de PETRI (2)

2 Alain VAILLY Diapositive n° 2 IUP MIAGE - Université de NANTES Lusage de ce document, sous quelque forme que ce soit (électronique, papier…), à titre personnel ou devant des étudiants, est autorisé et libre de droits, à la condition expresse quil soit conservé dans létat (et notamment quil comporte la page de garde et cet avertissement). Tout autre usage, notamment commercial, toute diffusion via un serveur informatique, une liste de diffusion… est soumis à laccord PRÉALABLE de son auteur. Ce document constitue un TOUT. Toute coupe, toute modification non autorisée par son auteur sera assimilée à une atteinte aux droits de lauteur et poursuivie comme telle devant les tribunaux. AVERTISSEMENT

3 MEDAL Alain VAILLY Diapositive n° 3 Cours magistral Contexte Auto-évaluation Exercices Corrigés des exercices Références Evaluation IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. Etudes de cas

4 comportements Alain VAILLY Diapositive n° 4 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. Cours magistral - le modèle E-A-P - les modèles de traitement de Merise informations fonctions - le modèle relationnel 1) Introduction 2) Notions de base 3) Utilisation des Réseaux de PETRI 4) Extensions intéressantes 5) Conclusion PLAN - les réseaux de PETRI

5 Alain VAILLY Diapositive n° 5 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. Cours magistral 4) Extensions intéressantes 2) Notions de base 4.1) Arcs inhibiteurs 4.2) Réseaux colorés 3.1) Modélisation 3.1.1) Logique sous-jacente 3.1.2) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter 3.2) Vérification de propriétés 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.2) Vérification de propriétés 3.2.3) A propos de léquation détat 2.1) Arcs, places et transitions 2.2) Jetons, poids et marquages 2.3) Notions complémentaires 2.4) Dynamique des RdP 1) Introduction 5) Conclusion PLAN 3) Utilisation des Réseaux de PETRI

6 Alain VAILLY Diapositive n° 6 1) Rappels IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. Modèle comportemental, Formalisme basé sur quelques notions simples comme place, transition, arc, jeton, évolution du système reposant sur un moniteur dexécution, qui sélectionne les transitions, consomme des jetons et en produit dautres, Visualisation de cette évolution sous la forme dun graphe des marquages accessibles.

7 logique modélisation erreurs Les réseaux de PETRI sont un langage dexpression de la synchronisation de processus entre eux. Si lon veut se servir correctement de cet outil, il faut en comprendre la logique. La modélisation en sera meilleure, à la condition toutefois déviter quelques erreurs. Alain VAILLY Diapositive n° 7 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3) Utilisation des Réseaux de PETRI formalisation vérification de propriétés Lun des avantages de ce langage réside dans la possibilité de formalisation quil offre. Une fois « réduit » à des objets mathématiques, un RdP peut faire lobjet de calculs pour, par exemple, effectuer une vérification de propriétés.

8 La logique sous-jacente aux transitions est le ET. Les places en entrée dune transition sont liées les unes aux autres par un ET : Alain VAILLY Diapositive n° 8 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3.1) Modélisation 3.1.1) Logique sous-jacente Pour déclencher T2, il faut un jeton dans la place P1ET un jeton dans la place P3ET un jeton dans la place P4. P1 P3 P4 T2

9 De la même façon, les places en sortie dune transition sont liées les unes aux autres par un ET. Alain VAILLY Diapositive n° 9 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3.1) Modélisation 3.1.1) Logique sous-jacente Le déclenchement de T1 produit un jeton dans la place P1ET un jeton dans la place P3. P1 T1 P3

10 Il nest pas possible de mettre en place un NON (ceci sera permis par les arcs inhibiteurs -voir paragraphe consacré aux extensions), ni en entrée, ni en sortie. Alain VAILLY Diapositive n° 10 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3.1) Modélisation 3.1.1) Logique sous-jacente Le OU ne peut pas se modéliser, ni en entrée ni en sortie (bien quun artifice puisse le laisser penser). Ceci sera également permis par une extension, la coloration des jetons et des transitions -voir paragraphe consacré aux extensions.

11 OU Un jeton dans Px sera consommé par Ta OU par Tb, selon le choix du moniteur. Alain VAILLY Diapositive n° 11 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3.1) Modélisation 3.1.1) Logique sous-jacente Ce choix nest pas bien visible sur le RdP. Ta Px Tb Beurk !!

12 Alain VAILLY Diapositive n° 12 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3.1) Modélisation 3.1.1) Logique sous-jacente Tout nest cependant pas réglé, car il y a maintenant 1 ou 2 jetons dans Pz… et on ne peut pas faire la distinction entre les jetons qui viennent de Px (via Ta) et ceux qui viennent de Py (via Ta-bis). Beurk n° 2 !! Px Ta Py Pz Ta-bis

13 Il y a plusieurs modélisations possibles dun système : Alain VAILLY Diapositive n° 13 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Modélisation ) Que faire avec les RdP ? un gros réseau - description détaillée des processus mis en jeu, - description globale du système. plein de petits réseaux à synchroniser entre eux - transitions-puits, - transitions-sources.

14 Les éléments disponibles pour la modélisation sont en nombre restreint : Alain VAILLY Diapositive n° 14 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Modélisation ) Quels sont les éléments ? La technique qui consiste à associer traitements et transitions (les flèches bleues) nous paraît la plus « naturelle ». - transitions, - places, - arcs, - jetons. - préconditions, postconditions, - traitements, - connecteurs, - événements (discrets, continus), - ressources.

15 Alain VAILLY Diapositive n° 15 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Modélisation ) Comment faire ? avec les transitions T1 Préconditions de T1 Préconditions de T2 Postconditions de T2 T2 Tx Postconditions de Tx Préconditions de Tx On découpe les traitements en séquences ininterruptibles que lon ordonne logiquement, puis on exprime les pré et postconditions. T1 est terminée = Postconditions de T1 = traitements PRINCIPE

16 Alain VAILLY Diapositive n° 16 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Modélisation ) Comment faire ? avec les transitions Début T1 Préconditions de T1 T1 est commencée Fin de T1 Postconditions de T1 Fin T1 Il existe une variante qui consiste à associer deux transitions à chaque traitement : Son défaut principal est de multiplier par deux le nombre de transitions nécessaires et de rajouter de nombreuses places.

17 Alain VAILLY Diapositive n° 17 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Modélisation ) Comment faire ? avec les transitions Début T1 Préconditions de T1 T1 est commencée Fin de T1 Postconditions de T1 Fin T1 Arrêt T1 T1 interrompu Demande arrêt de T1 La seconde « technique » est préférable si lon veut modéliser le fait que T1 est interruptible :

18 Alain VAILLY Diapositive n° 18 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Modélisation ) Comment faire ? avec les places T4 Bulletins contrôlés Erreurs inexistantes Bulletins acceptés T6 T5 Bulletins rejetés Erreurs existantes Les places vont usuellement servir à représenter des lieux de stockage des conditions de déclenchement, des signaux, des disponibilités de ressources. = conditions, signaux, disponibilités de ressources

19 Alain VAILLY Diapositive n° 19 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Modélisation ) Comment faire ? avec les jetons Les jetons correspondront aux ressources, aux signaux,... Ressources T1 Vente par téléphone possible Demandes de billets Places disponibles Evénement stable Signaux

20 Alain VAILLY Diapositive n° 20 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Modélisation ) Comment faire ? avec les jetons Jusquà t1 -, la place P1 est vide, ce qui empêche le franchissement de T1. En t1, un jeton y est placé par la transition-source T0. Il y restera indéfiniment. Il y a donc deux états, un avant t1 (pas de jeton en P1), un après (un jeton en P1). Événement stable t1 T0 T1 P1

21 T0 T1 P1 Alain VAILLY Diapositive n° 21 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Modélisation ) Comment faire ? avec les jetons t1 Jusquà t1 -, la place P1 est vide, ce qui empêche le franchissement de T1. En t1, un jeton y est placé par la transition-source T0. Il y restera indéfiniment. Il y a donc deux états, un avant t1 (pas de jeton en P1), un après (un jeton en P1). Événement stable

22 T0 T1 P1 Alain VAILLY Diapositive n° 22 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Modélisation ) Comment faire ? avec les jetons Jusquà t1 -, la place P1 est vide, ce qui empêche le franchissement de T1. En t1, un jeton y est placé par la transition-source T0. Lorsque la transition T1 sera déclenchée (en t2), il sera consommé. Il y a donc un jeton entre t1 et t2 et aucun « ailleurs ». Événement ponctuel t1

23 T0 T1 P1 Alain VAILLY Diapositive n° 23 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Modélisation ) Comment faire ? avec les jetons Jusquà t1 -, la place P1 est vide, ce qui empêche le franchissement de T1. En t1, un jeton y est placé par la transition-source T0. Lorsque la transition T1 sera déclenchée (en t2), il sera consommé. Il y a donc un jeton entre t1 et t2 et aucun « ailleurs ». Événement ponctuel t1

24 Alain VAILLY Diapositive n° 24 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Modélisation ) Comment faire ? avec les jetons Jusquà t1 -, la place P1 est vide, ce qui empêche le franchissement de T1. En t1, un jeton y est placé par la transition-source T0. Lorsque la transition T1 sera déclenchée (en t2), il sera consommé. Il y a donc un jeton entre t1 et t2 et aucun « ailleurs ». Événement ponctuel t1t2 T0 T1 P1

25 Alain VAILLY Diapositive n° 25 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter e3 - mélange de logiques, e4 - places non ré-amorcées, e5 - production sélective de jetons. e1 - confusion jeton-information, e2 - décomposition excessive, Il y a plusieurs erreurs à éviter, hélas assez fréquentes (surtout si lon ne fait pas appel à un outil de vérification). Les plus courantes sont les suivantes :

26 Alain VAILLY Diapositive n° 26 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. Une des erreurs les plus fréquentes ! e1 - confusion jeton-information N° place 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter T1 Vente par téléphone possible Demandes de billets Places disponibles Nom du client Prix place Un jeton est une « variable » logique ; elle est vraie ou fausse. Le jeton est ou nest pas !

27 Alain VAILLY Diapositive n° 27 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. e2 - décomposition excessive 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter Faut cqui faut, rien de plus, rien de moins ! P1 T1 P2 P3 Opération 1 Opération 2 Opération 3 Opération 4 Opération 5 P5 P1 T1 P2 P3 T2 P4 Opération 1 Opération 2 Opération 3 Opération 4 T3 Opération 5

28 Alain VAILLY Diapositive n° 28 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. e2 - décomposition excessive 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter T3 P5 P1 T1 P2 P3 T2 P4 Opération 1 Opération 2 Opération 3 Opération 4 Opération 5 P6 P7 ATTENTION, toutefois, à ne pas regrouper des traitements qui ne le sont pas ! T2 ne peut être regroupée avec T1 (du fait de P6) ; T3 ne peut être regroupée avec T2 (du fait de P7).

29 Alain VAILLY Diapositive n° 29 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. e2 - décomposition excessive 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter T3 P5 P1 T1 P2 P3 T2 P4 Opération 1 Opération 2 Opération 3 Opération 4 Opération 5 P6 P7 P5 P1 T1 P2 P3 T2 P4 Opération 1 Opération 2 Opération 3 Opération 4 T3 Opération 5

30 Alain VAILLY Diapositive n° 30 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter Lorsque lon définit un RdP, à un moment, on se pose la question de savoir si lon modélise le système globalement ou bien comme un ensemble de composants interagissants. La réponse à cette question engage le concepteur pour « la vie ». e3 - mélange de logiques Modélisation du système Modélisation dun composant du système Il faut savoir !! C est lun ou lautre, mais pas les deux !!

31 Alain VAILLY Diapositive n° 31 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter T1 et T2 sont des transitions alternatives. e4 - places non ré-amorcées P1 T1 P2 P3 T2 P4 Pour chaque jeton de P2, on peut déclencher T1 ou T2. P3 est une condition nécessaire à lexécution de T1 et à celle de T2. Cest un drôle de fusil à un seul coup, vot truc, mon gars ! [1, 3, 1, 1] T1 T2

32 Alain VAILLY Diapositive n° 32 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter T1 et T2 sont des transitions alternatives. e4 - places non ré-amorcées P1 T1 P2 P3 T2 P4 Pour chaque jeton de P2, on peut déclencher T1 ou T2. P3 est une condition nécessaire à lexécution de T1 et à celle de T2. Cest un drôle de fusil à un seul coup, vot truc, mon gars ! [1, 3, 1, 1] [0, 2, 0, 1] T1 T2 Blocage !!

33 Alain VAILLY Diapositive n° 33 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter Il faut donc ré-amorcer la place P3 … des deux côtés !! e4 - places non ré-amorcées P1 T1 P2 P3 T2 P4 Ça ne marche toujours pas... Ce « montage » ne permet toutefois pas de garantir lexécution des deux transitions T1 et T2 dans de bonnes conditions. Cf vérification de propriétés

34 Alain VAILLY Diapositive n° 34 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter La production sélective de jetons survient lorsquune logique de type OU est mise en place. Sa détection est assez simple. Il suffit de paraphraser chaque transition (on exprime sa signification en français). e5 - production sélective de jetons P1 P2 P4 P3 T1 2 La transition T1 est déclenchée si les conditions P1 et P2 sont vérifiées. A la suite du déclenchement, les conditions P3 ET P4 sont vérifiées (P3 lest deux fois).

35 Alain VAILLY Diapositive n° 35 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 3.2) Vérification de propriétés Lun des intérêts (le seul ?) de ce formalisme, Nécessite le recours à la formalisation (matrice dincidence, séquence de franchissement, vecteur de comptage, équation détat), Propriétés structurelles (structure du réseau) et/ou comportementales (évolution du réseau), Calculs à prendre « par le bon bout », faute de quoi les résultats peuvent être erronés.

36 Alain VAILLY Diapositive n° 36 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Matrice dincidence Un réseau peut être « réduit » à deux matrices, U + et U -. Ces matrices sont des matrices dans lesquelles : U + production U - consommation - les lignes correspondent aux places du réseau, - les colonnes correspondent aux transitions du réseau, - les éléments correspondent à leffet du déclenchement des transitions sur les places. O si pas deffet W (T j, P i ) si P i S (T j ) W (P i, T j ) si P i E (T j ) pour U + pour U -

37 Alain VAILLY Diapositive n° 37 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Matrice dincidence P1 T1 2 2 P2 P3 P4 P5 T2 P1 P2 P3 P4 P T1T2 P1 P2 P3 P4 P T1T2 U+U+U+U+ U-U-U-U- Ces matrices traduisent la structure et pas le marquage du réseau !

38 Alain VAILLY Diapositive n° 38 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Matrice dincidence P1 P2 P3 P4 P T1T2 P1 P2 P3 P4 P T1T2 U+U+U+U+ U-U-U-U- matrice dincidence La matrice dincidence, U, est obtenue grâce à la formule suivante : U = U + - U - P1 P2 P3 P4 P T1T2 U

39 Alain VAILLY Diapositive n° 39 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Matrice dincidence Cette matrice dincidence a un « point faible » : elle ne peut pas mettre en évidence une boucle. P1 P2 P3 P4 P T1T2 U P1 T1 2 2 P2 P3 P4 P5 T2 P1 T1 2 2 P2 P3 P4 P5 T2 * * RdP avec boucle RdP sans boucle

40 Alain VAILLY Diapositive n° 40 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Matrice dincidence La seule façon de faire cette détection est de travailler avec les matrices U+ et U-. P1 T1 2 2 P2 P3 P4 P5 T2 * P1 P2 P3 P4 P T1T2 P1 P2 P3 P4 P T1T2 U+U+U+U+ U-U-U-U- RdP sans boucle

41 Alain VAILLY Diapositive n° 41 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Matrice dincidence La seule façon de faire cette détection est de travailler avec les matrices U+ et U-. P1 P2 P3 P4 P T1T2 P1 P2 P3 P4 P T1T2 U+U+U+U+ U-U-U-U- P1 T1 2 2 P2 P3 P4 P5 T2 * RdP avec boucle Ces deux matrices U+ et U- différent dun RdP à lautre.

42 Alain VAILLY Diapositive n° 42 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Séquence de franchissement séquence de franchissement Une séquence de franchissement est un chemin dans le graphe des marquages accessibles. [2, 5, 1, 4, 0] [2, 3, 2, 4, 0] T1 T2 T1 T2 [2, 1, 3, 4, 0][1, 3, 1, 3, 2] [1, 5, 0, 3, 2] T1

43 Alain VAILLY Diapositive n° 43 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Vecteur de comptage vecteur de comptage Soit S une séquence de franchissement. On appelle vecteur de comptage de cette séquence, noté V S, le vecteur formé, pour chaque transition X, du nombre de fois où la transition X apparaît dans la séquence. S = T = {T1, T2, T3, T4, T5, T6} V S = [1, 3, 1, 1, 0, 0] T1 T2 T3 T4 T5 T6

44 Alain VAILLY Diapositive n° 44 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Vecteur de comptage compter ordre ATTENTION ! Ce vecteur ne fait que compter le nombre dapparition des transitions. Il ne donne pas, comme la séquence, lordre dans lequel celles-ci ont lieu. T = {T1, T2, T3}V = [1, 2, 1] toutes Le vecteur V ci-dessus est le vecteur de comptage de toutes les séquences de franchissement suivantes :...

45 Alain VAILLY Diapositive n° 45 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Equation détat équation détat Léquation détat permet de calculer lévolution du RdP. Elle est définie comme suit : M : marquage atteint après franchissement de la séquence S M t = M0 t + U.V S t où X t représente la transposée de X. M0 : marquage initial avant franchissement U : matrice dincidence V S : vecteur de comptage de la séquence

46 Alain VAILLY Diapositive n° 46 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Equation détat P1 T1 2 2 P2 P3 P4 P5 T2 Quel est le marquage obtenu après franchissement de la séquence ? P1 P2 P3 P4 P T1T2 U S = V S = [2, 0] M0 t

47 Alain VAILLY Diapositive n° 47 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Equation détat P1 P2 P3 P4 P T1T2 U M0 t 2 0 VSVSVSVS +x= x2 - 1x0 -2x2 + 0x0 1x2 - 1x0 0x2 - 1x0 0x2 + 2x0 M t = M0 t + U.V S t

48 Alain VAILLY Diapositive n° 48 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Equation détat M0 t += x2 - 1x0 -2x2 + 0x0 1x2 - 1x0 0x2 - 1x0 0x2 + 2x

49 Alain VAILLY Diapositive n° 49 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) Définitions complémentaires ) Equation détat M0 t += MtMtMtMt Le marquage obtenu après franchissement de la séquence est [2, 1, 3, 4, 0]. [2, 5, 1, 4, 0] [2, 3, 2, 4, 0] T1 T2 T1 T2 [2, 1, 3, 4, 0][1, 3, 1, 3, 2] [1, 5, 0, 3, 2] T1

50 Alain VAILLY Diapositive n° 50 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. Soit R (M) lensemble des marquages quil est possible datteindre à partir dun marquage M. Intérêt : La fonction dun logiciel qui permet de quitter proprement lapplication (avec une sauvegarde, par exemple) doit être vivante ) Vérification de propriétés ) Vivacité et blocage vivante Une transition T est vivante si : M R (M0), M R (M), tel que T est franchissable pour M

51 Alain VAILLY Diapositive n° 51 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. vivant Un réseau dans lequel TOUTES les transitions sont vivantes est un réseau vivant. sans blocage Un réseau sera sans blocage si aucun marquage appartenant à R (M0) nest blocage ) Vérification de propriétés ) Vivacité et blocage blocage Inversement, si, à partir dun marquage M, il est impossible de franchir une quelconque transition, nous dirons que ce marquage représente un blocage. RdP vivant = RdP sans blocage

52 Alain VAILLY Diapositive n° 52 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. k-bornée Une place dun RdP sera k-bornée si le nombre de jetons contenus dans cette place ne dépasse jamais k, quelque soit le marquage atteignable à partir de M ) Vérification de propriétés ) Bornitude k-borné sain Un réseau est k-borné si toutes ses places sont k-bornées. Si k vaut 1, on parlera de réseau sain. structurellement borné Si le réseau est k-borné quelque soit le marquage initial, il sera dit structurellement borné.

53 Alain VAILLY Diapositive n° 53 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. atteignable Un marquage M sera atteignable à partir dun marquage initial M0 si léquation d état 3.2.2) Vérification de propriétés ) Atteignabilité M t = M0 t + U.Y t possède au moins une solution. Le vecteur Y est alors le vecteur de comptage de la séquence de franchissement séparant M0 et M.

54 Alain VAILLY Diapositive n° 54 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat Léquation détat permet de calculer le marquage atteint après franchissement dune séquence de transitions. Elle ne permet pas de dire que la séquence est franchissable !! La séquence est franchissable, les séquences,, ne le sont pas ! Elles ont pourtant même vecteur de comptage. Léquation détat donnera donc le même résultat pour les quatre. P2P5P1P4P3 T1T2T3T4

55 Alain VAILLY Diapositive n° 55 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat en pas à pas Le rôle de cette équation détat est de matérialiser, en termes de jetons, lévolution du RdP. Elle représente loutil qui va permettre de calculer le résultat du franchissement de transitions. En tant que tel, elle est nécessaire. Il faut toutefois lutiliser correctement, en pas à pas. M0M1M2M3 Eq. Etat Pb

56 Alain VAILLY Diapositive n° 56 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat Léquation détat peut signaler un non-franchissement. Une transition est franchissable sil y a suffisamment de jetons dans chacune de ses places en entrée. La matrice dincidence fournit le nombre de jetons produits par le déclenchement de chaque transition. Léquation détat appliquée à une séquence réduite à une transition fournit le nombre de jetons qui restent après « exécution » de cette transition. Si ce nombre est négatif, alors la transition nest pas franchissable.

57 Alain VAILLY Diapositive n° 57 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat S1 := S T := first (S1) S1 := tail (S1) M0 := M init M1 := équation état appliquée à Tantque M1 0 et S1 faire T := first (S1) S1 := tail (S1) M0 := M1 M1 := équation état appliquée à Fintantque Si M1 < 0 alors arrêt processus -- la séquence S nest pas franchissable sinon -- la séquence S est franchissable Finsi S : séquence M init : marquage initial aucun élément négatif

58 Alain VAILLY Diapositive n° 58 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat Léquation détat peut également servir à autre chose. Il est possible de calculer le marquage initial nécessaire pour franchir une séquence donnée. Le travail se fait, dans ce cas- là, « à lenvers ». M t = M0 t + U.V S t données du pb - utilisation « normale » à partir de M0 t, on calcule M t. - utilisation « inverse » classe à partir de M t, on calcule une classe de M0 t. IMPORTANT

59 Alain VAILLY Diapositive n° 59 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat Prenons un exemple, pour illustrer ce travail « à lenvers ». P1 T1 2 2 P2 P3 P4 P5 T2 Le marquage Mf = [2, 5, 1, 4, 0] est le point darrivée. On veut calculer le marquage initial nécessaire pour franchir la séquence et obtenir le marquage ci-contre. On va se servir de léquation détat, en pas à pas, et en remontant. Pfutt !! Ca ne marchera jamais...

60 Alain VAILLY Diapositive n° 60 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat Données de départ : Mf, S, V s, U M0M1M2Mf Eq. Etat Pb On va commencer par calculer M2, avec S =, V s = [0, 1], Mf = [2, 5, 1, 4, 0] et M2 = [x, y, z, t, u].

61 Alain VAILLY Diapositive n° 61 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat Mf t = x y z t u M2 t + 0x0 - 1x1 -2x0 + 0x1 1x0 - 1x1 0x0 - 1x1 0x0 + 2x1 = x y z t u M2 t Ce système déquations donne le résultat suivant : x = 3 y = 5 z = 2 t = 5 u = -2 Jvous lavais bien dit ! La séquence ne peut pas fournir le marquage Mf = [2, 5, 1, 4, 0].

62 Alain VAILLY Diapositive n° 62 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat Mf t = x y z t u M2 t + 0x0 - 1x1 -2x0 + 0x1 1x0 - 1x1 0x0 - 1x1 0x0 + 2x1 = x y z t u M2 t Prenons un second exemple, en changeant le marquage final. Soit le nouveau marquage à atteindre : Mf = [2, 5, 1, 4, 5]. Là, daccord ! Ce système déquations donne le résultat suivant : x = 3 y = 5 z = 2 t = 5 u = 3 S = V S = [0, 1]

63 Alain VAILLY Diapositive n° 63 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat M2 t = x y z t u M1 t + 0x0 - 1x1 -2x0 + 0x1 1x0 - 1x1 0x0 - 1x1 0x0 + 2x1 = x y z t u M1 t Pas arrière n° 2 Ce système déquations donne le résultat suivant : x = 4 y = 5 z = 3 t = 6 u = 1 S = V S = [0, 1]

64 Alain VAILLY Diapositive n° 64 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat M1 t = x y z t u M0 t + 0x1 - 1x0 -2x1 + 0x0 1x1 - 1x0 0x1 - 1x0 0x1 + 2x0 = x y z t u M0 t Pas arrière n° 3 Ce système déquations donne le résultat suivant : x = 4 y = 7 z = 2 t = 6 u = 1 S = V S = [1, 0]

65 Alain VAILLY Diapositive n° 65 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat Ce système déquations donne le résultat suivant : x = 4 y = 7 z = 2 t = 6 u = 1 Avec un marquage [4, 7, 2, 6, 1], on peut franchir la séquence et obtenir le marquage [2, 5, 1, 4, 5]. [4, 7, 2, 6, 1] [4, 5, 3, 6, 1] T1 T2 T1 T2 [3, 5, 2, 5, 3] [2, 5, 1, 4, 5] T2

66 Alain VAILLY Diapositive n° 66 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat On peut aussi simplement souhaiter savoir ce quil faut comme marquage initial pour franchir cette séquence, sans se préoccuper du résultat final. Hé bé, si on change les règles, alors... Il faut alors se servir de léquation détat en la transformant légèrement, pour prendre en compte des inégalités. M0 t M t - U.V S t Le marquage final (ie. obtenu après franchissement) est au minimum nul, cest-à-dire que les places sont au moins vides -il ny a pas de jetons négatifs. On va « travailler » avec ce minimum.

67 Alain VAILLY Diapositive n° 67 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat Mf t x y z t u M2 t + 0x0 - 1x1 -2x0 + 0x1 1x0 - 1x1 0x0 - 1x1 0x0 + 2x1 = x y z t u M2 t Pas arrière n° 1 Ce système dinéquations donne le résultat suivant : x 1 y 0 z 1 t 1 u 0 S = V S = [0, 1]

68 Alain VAILLY Diapositive n° 68 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat M2 t x y z t u M1 t + 0x0 - 1x1 -2x0 + 0x1 1x0 - 1x1 0x0 - 1x1 0x0 + 2x1 = x y z t u M1 t Pas arrière n° 2 Ce système dinéquations donne le résultat suivant : x 2 y 0 z 2 t 2 u 0 S = V S = [0, 1]

69 Alain VAILLY Diapositive n° 69 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat M1 t x y z t u M0 t + 0x1 - 1x0 -2x1 + 0x0 1x1 - 1x0 0x1 - 1x0 0x1 + 2x0 = x y z t u M0 t Pas arrière n° 3 Ce système dinéquations donne le résultat suivant : x 2 y 2 z 1 t 2 u 0 S = V S = [1, 0]

70 Alain VAILLY Diapositive n° 70 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L ) A propos de léquation détat Ce système dinéquations donne le résultat suivant : x 2 y 2 z 1 t 2 u 0 Avec un marquage [x, y, z, t, u] vérifiant le système dinéquations ci-contre, on peut franchir la séquence. [2, 2, 1, 2, 0] [2, 0, 2, 2, 0] T1 T2 T1 T2 [1, 0, 1, 1, 2] [0, 0, 0, 0, 4] T2 valeurs supérieures aux valeurs attendues !

71 Alain VAILLY Diapositive n° 71 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 4) Extensions intéressantes Il y a eu (il y a encore) de nombreuses extensions à la Théorie des Réseaux de PETRI. Dans le cadre de la conception des systèmes dinformation, deux se révèlent particulièrement intéressantes : arcs inhibiteurs - les arcs inhibiteurs (ils permettent dintroduire une logique du NON dans les modèles) ; réseaux colorés - les réseaux colorés (ils permettent, dune certaine façon, d exprimer des OU). Ces extensions vont toutefois alourdir lappareillage théorique nécessaire aux calculs.

72 Alain VAILLY Diapositive n° 72 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. arc inhibiteur Un arc inhibiteur relie une place à une transition, exclusivement. Il est associé à un poids de 0, en ce sens que la transition sera déclenchée si la place ne contient aucun jeton. Cet arc inhibiteur ne sert quen entrée des transitions. 4) Extensions intéressantes 4.1) Arcs inhibiteurs Pour déclencher T2, il faut un jeton dans la place P1ET un jeton dans la place P3ET aucun jeton dans la place P4. P1 P3 P4 T2

73 Alain VAILLY Diapositive n° 73 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. Cette extension permet dexprimer le NON : T1 sera déclenchable tant que P2 ne contiendra pas de jeton. Le premier jeton qui y arrive bloquera T1 et rendra déclenchable T2. 4) Extensions intéressantes 4.1) Arcs inhibiteurs P1 P3 P2 T1 P4 T2 P5

74 Alain VAILLY Diapositive n° 74 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 4) Extensions intéressantes 4.2) Réseaux colorés coloration La coloration dun réseau agit sur les jetons (ils sont colorés, typés) et sur les transitions (elles sont également colorées). Transition T1 : P1 P3 P4 T1 Si un jeton rouge dans P1 et un jeton bleu dans P3 alors produire un jeton vert dans P4 finsi Si un jeton vert dans P1 et dans P3 alors produire un jeton bleu dans P4 finsi Si un jeton rouge dans P1 et un jeton vert dans P3 alors produire un jeton rouge dans P4 finsi

75 Alain VAILLY Diapositive n° 75 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 4) Extensions intéressantes 4.2) Réseaux colorés Cette technique permet de créer des transitions plus complexes et, par la « bande », autorise des productions sélectives de jetons (et en particulier des OU). Le typage des jetons et des transitions oblige à modifier profondément lappareillage formel du réseau. {P, T, A, C P, C T, W +, W -, M0} places transitions arcs ens. couleurs places ens. couleurs transitions marquage initial poids en entrée poids en sortie P1 P3 P M

76 Alain VAILLY Diapositive n° 76 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. 4) Extensions intéressantes 4.2) Réseaux colorés Place P1 Place P1 : clients 3 couleurs rouge : bon client vert : nouveau client bleu : client « normal » Si un jeton noir dans P2 et un jeton bleu dans P1 alors produire un jeton dans P3 finsi Si un jeton vert dans P1 et un jeton rouge dans P2 alors produire un jeton vert dans P4 finsi... P1 P2 P3 T1 P4 Place P2 Place P2 : commandes 2 couleurs rouge : commande correcte noir : commande erronée Place P3 Place P3 : commandes erronées pas de couleurs Place P4 Place P4 : commandes correctes 3 couleurs rouge : commande OK bon client vert : commande OK client nouveau bleu : commande OK client « normal »

77 Alain VAILLY Diapositive n° 77 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. - formalisme utilisé dans des domaines très différents, - formalisme à étendre (par arcs inhibiteurs et coloration) dans le cadre des systèmes dinformation, - formalisme toutefois un peu « limité » pour représenter un logiciel, ce qui va pousser des chercheurs à proposer des améliorations (modèles de traitements de Merise), - formalisme demploi relativement aisé, ayant fort peu déléments de base, - formalisme ayant cependant un atout indéniable (son « arsenal » théorique), même pour un architecte logiciel. 5) Conclusion

78 Alain VAILLY Diapositive n° 78 Bibliographie (sommaire) IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. Pour compléter la formation... la référence :-) P. ANDRE, A. VAILLY, « Conception des systèmes dinformation ; Panorama des méthodes et des techniques », Editions Ellipses, janvier 2001, ISBN X G. W. BRAMS, « Réseaux de PETRI : théorie et pratique », Editions MASSON, 1983

79 Alain VAILLY Diapositive n° 79 IUP MIAGE - Université de NANTES M.E.D.A.L. Fin


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