Modélisation Géométrique

Présentation au sujet: "Modélisation Géométrique"— Transcription de la présentation:

1 Modélisation Géométrique
Comment modéliser les objets du monde réel avec la géométrie euclidienne représentation virtuelle d’objet dans ses 3 dimensions Reconstruction à partir d’un objet réel, données issues d’un système de saisie

2 Modélisation : contraintes
On veut pouvoir Manipuler les objets Modification interactive l’utilisateur peut « voir » la courbe (points de contrôle) fonctions numériquement stables Combiner 2 objets simples => objet complexe Que ce soit rapide et peu coûteux en mémoire Modélisation procédurale automatisation de la création Historiquement les premiers modèles sont bidimensionnels réalisation de plan peu adapté à des objets complexes 3D Industrie aéronautique, automobile,... Infographie

3 Modèle fil de fer (historiquement le premier)
Modélisation 3D Modèle fil de fer (historiquement le premier) On ne retient que les coordonnées (X,Y,Z) des sommets et les arêtes conduit à des ambiguïtés Elimination des parties cachées Peut donner des solides sans sens physique Modèle surfacique Maillage: ensemble de polygones connectés (triangles) Surfaces implicites Surfaces paramétriques Représentation par subdivisions successives Modèle volumique

4 S= ensemble des points P(x,y,z) tel que f(x,y,z)=m Metaballs
Surfaces implicites S= ensemble des points P(x,y,z) tel que f(x,y,z)=m équation analytique Metaballs iso-surface de champs de potentiels définition d’un métaball i Ri rayon d ’influence fi(r) fonction de champ r distance d’un point au centre pi modélisation de surfaces organiques objets déformables

5 Courbes et surfaces paramétriques
Courbes et surfaces de formes libres définies à partir de points de contrôle modification interactive indépendance des axes Courbes de Bézier Courbes B-splines Transformation B-spline -> Bézier NURBS Surfaces de Bézier Surfaces B-splines

6 Courbes paramétriques
Contraintes au niveau du concepteur à partir de points de contrôle fonctions simples et numériquement stables polynômes contrôle local ou global par morceaux? propriété de « variation décroissante » Interpolation polynomiale de points de mesure: globale ou par morceaux ? La plus simple: linéaire par morceaux Plus « lisse » : cubique par morceaux Problème de raccordements: Fonction continue Dérivée continue

7 Interpolation de Lagrange
Méthodes globales Interpolation de Lagrange n points , n conditions -> polynôme de degré n-1 Interpolation d’Hermite en chaque point: valeur de la fonction + de la dérivée Inconvénients en CAO Trop de calculs, résolution de systèmes linéaires Résultats parfois mauvais: trop d’ondulations Modification d’un point?

8 Fonction spline cubique d’interpolation
Modèle mathématique de la latte des dessinateurs (1950) solution de: On l’appelle spline cubique naturelle s de noeuds x1,....xn on l’obtient par résolution d’un système linéaire tridiagonal, n inconnues s’(xi)

9 Spline cubique d’interpolation (suite)
Inconvénients: Calculs longs Modifications pas complètement locales Ondulations Splines sous-tension on tire en chaque point => =>Points de « passage » deviennent des points de contrôle

10 Approximation Définition
À partir des n points P1,...Pn, la courbe d’approximation est définie par : où i,k(t) pour i =1 à n sont les fonctions de base et t le paramètre Pour obtenir une bonne approximation, les fonctions de base doivent: être à support le plus local possible le plus lisse possible en tout point Approximations classiques si les i,k(t) sont les polynômes de Bernstein => approximation de Bézier si les i,k(t) sont les B-splines d’ordre k => approximation B-spline

11 Courbes de Bézier Représentation par polygone de contrôle
n+1 points ordonnés P0,...Pn. La courbe de Bézier est définie par: Les fonctions de bases Bi,n(t) sont les polynômes de Bernstein Le degré dépend du nombre de points de contrôle contenue dans l’enveloppe convexe à variation décroissante p0 p1 p2 p3

12 Courbes de Bézier k=3 Forme matricielle

13 Propriétés de la courbe
Courbes de Bézier Propriétés de la courbe passe par le 1er et le dernier point tangente au premier segment et au dernier les tangentes aux extrémités sont connues Forme « prévue » Modification d’un point difficile quand n est « grand »

14 Courbe de Bézier -suite
Algorithme de De Casteljau: construction géométrique d’un point de la courbe Exemple pour 4 points de contrôle et t = 2/3

15 Courbes de Bézier composites
Juxtaposition de courbes de Bézier simples définies par les polygones de contrôle Raccordement C0 Raccordement C1 Bézier cubique définie à partir de 2 points et de la dérivée en chaque extrémité, direction et longueur Dans les logiciels courants: manipulation par « poignées »

16 Les B-splines vérifient une relation de récurrence:
Base de B-spline Définition Soient ti, t1<t2<....<tM-1<tM une subdivision de M nœuds. Une B-spline d’ordre k associée à cette subdivision vérifie: c’est un polynôme de degré k-1 sur chaque intervalle [ti ,ti+1] la fonction est Ck-2 sur [t1 ,tM] à support minimal Les B-splines vérifient une relation de récurrence: => , sur k intervalles

17 N3,4(t) Fonction B-splines N4,2(t) (ordre 2, degré 1)
t t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 Fonctions B-splines cubiques uniformes Ni,4 (t)

18 Approximation B-spline
on se donne N points ordonnés P1,...PN on choisit un ordre k (degré k-1) et une subdivision t1 ≤ t2 ≤ .... ≤ tN+k-1 ≤ tN+k L’approximation est définie par Influence de l’ordre

19 Courbes B-splines (suite)
Propriétés des B-splines => Propriétés de l’approximation Variation décroissante Contenu dans l’enveloppe convexe courbe spline quadratique cubique Influence d’un point de contrôle Influence du paramétrage

20 Valeur en un point: Algorithme de De Boor
algorithme de De Boor : relation de récurrence Exemple pour k=4 (cubique), soit t  [tj ,tj+1] subdivision uniforme Nj-3 Nj-2 Nj-1 Nj tj tj+1 p3 p0 p1 p2 p4 p5 p6 j=3 =>Q3 Q3 Q6 j=4 =>Q4 Q4 Q5 j=5 =>Q5 j=6 =>Q6

21 Tracé par subdivision du polygone de contrôle
insertion d’un nœud tj<t’<tj+1 la nouvelle courbe est définie par le nouveau polygone de contrôle P1, P2,.... P8 => P’1, P’2 ,.... P’13 en introduisant 5 nœuds entre tj et tj+1 pour j=4 à 8 Exemple: j=6 , t’=1/2(t6+t7) P1 P3 P’4 P4 P2 P’5 P7 P8 P’6 P5 P6

22 B-splines à nœuds multiples
Nœuds multiples: suite de nœuds non décroissantes t={... t-1,t0,t1,t2,...} on généralise la définition des B-splines avec la relation de récurrence (0/0=0) si i l’ordre de multiplicité du nœud ti => la continuité de la B-spline Ni,k d’ordre k en ti est k- i-1 B-spline quadratique Approximation « non uniforme » Courbe ouverte ou fermée

23 Exemple : k=4 (cubique) et nœuds d’ordre 4 aux extrémités
t1=t3=t3=t t t t t t tN+1=tN+2=tN+3=tN+4 Approximation par des quadratiques et des cubiques passe par le premier et le dernier point tangente aux segments extrémités k fois k fois

24 Transformation B-spline vers Bézier
insertion de nœuds jusqu’à multiplicité k-1 des nœuds (k ordre de la base) Points de Bézier d’une spline cubique

25 NURBS: Non Uniform Rational B-splines
Les courbes NURBS NURBS: Non Uniform Rational B-splines A l’origine faites pour une représentation exacte des coniques A chaque point de contrôle Pi on associe un poids i La courbe NURBS est définie par: plus de degrés de liberté les poids peuvent être positifs ou négatifs

26 Les courbes NURBS (suite)
Dans la pratique, souvent 3 points de contrôles P0 , P1 et P2 B-splines quadratiques N0,2 , N1,2 et N2,2 des nœuds multiples aux extrémités t0 = t1 = t2 < t3= t4 = t5 avec 0 = 2 =1 et 1 variable Courbe complémentaire obtenue avec -1

27 Carreaux de Bézier Produit tensoriel Propriétés : 2 paramètres u et v
Réseau de points de contrôle Pi,j Surface de Bézier: Propriétés : les frontières du carreau sont les courbes de Bézier la surface appartient à l’enveloppe convexe, définie par (n+1)(m+1) points de contrôle Pi,j variation décroissante

28 Recollement des surfaces de Bézier
soit 2 surfaces : Q définie par qij, R définie par rij continuité d’ordre zéro q3i=r0i, i=0 à 3 continuité d’ordre un: alignement des tangentes q3i-q2i= k(r1i -r0i), i=0 à 3

29 autre possibilité : tangentes coplanaires
Jonction des surfaces autre possibilité : tangentes coplanaires Subdivision locale méthode de Clark: subdivisions indépendantes de surfaces adjacentes

30 rendu de surfaces calcul des normales à partir des tangentes
subdivision récursive en u et/ou en v (méthode de De Casteljau) problème ramené aux courbes

31 Surfaces B-splines Produit tensoriel 2 paramètres u et v
Réseau de points de contrôle Pi,j Surface B-spline :

32 Surfaces splines (1) (2) (3) (4) (5)
(1) (2) (3) (4) (5) Construction Construction Union des vecteurs Reconstruction Résultat des courbes en u des courbes en v

33 Même propriétés que les courbes splines
la surface appartient à l’enveloppe convexe variation décroissante algorithmes de calcul rapides «Calcul» de la surface par subdivision du réseau de contrôle algorithme de Catmull et Clark (surface biquadratique)

34 Surfaces biparamétriques
Réseau dégénéré Modification de la surface

35

36 Patches triangulaires
Coordonnées barycentriques (u,v) => (r,s,t), r+s+t=1 Surface définie sur des patches triangulaires: Réseau de degré 2 Réseau de degré Réseau de degré 20

37 Surfaces de révolution
Surface créée à partir d’une courbe un axe de rotation position de la courbe par rapport à l’axe de rotation un angle de rotation

38 Surfaces extrudées Surface créée à partir d’une courbe plane en lui donnant de l’épaisseur Extrusion généralisée Une courbe plane fermée une trajectoire position et modification de la courbe plane le long de la trajectoire

39 Construction par déplacement
Sweeping Construction par déplacement Une courbe plane Un axe de rotation Un angle de rotation Un déplacement

40 Construction par Déformation
Wraping Construction par Déformation Torsion Enroulement

41 Composition booléenne de volumes
Opérateur booléen: Union => Intersection Différence => ou

42 Modélisation volumique
Représentation par arbre de construction:CSG Représentation par une grammaire Exp -> prim / transf prim / op exp exp Prim -> cube / sphere / cone / ... Transf -> translation / homothétie / rotation Op -> union / intersection / différence

43 Surfaces Fractales Montagnes fractales
Construction récursive du terrain Modèle statistique axiome générateur aléatoire

44 Montagnes fractales

45 L-systems ou ré-écriture de chaine
Modélisation de plantes Grammaire décrivant la croissance L’axiome les règles de production un angle le nombre d’itérations Exemple: axiome : F règle: F F[+F]F[-F]F  = /7

46 L-Systèmes axiome : S L F F F règles:  =  /10 Fougère de Barnsley
S [+++G][---G]TS G H [-G]L H G [+H]L T TL L [-FFF][+FFF]F  =  /10 Fougère de Barnsley

47 Arbre