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LAPPRENTISSAGE DES FRACTIONS ET DES NOMBRES DECIMAUX du CYCLE 3 à la 6 ème. Stages interdegré - 2011 -

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Présentation au sujet: "LAPPRENTISSAGE DES FRACTIONS ET DES NOMBRES DECIMAUX du CYCLE 3 à la 6 ème. Stages interdegré - 2011 -"— Transcription de la présentation:

1 LAPPRENTISSAGE DES FRACTIONS ET DES NOMBRES DECIMAUX du CYCLE 3 à la 6 ème. Stages interdegré

2 L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES P RINCIPES GÉNÉRAUX D ENSEIGNEMENT L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES P RINCIPES GÉNÉRAUX D ENSEIGNEMENTL ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINESP RINCIPES GÉNÉRAUX D ENSEIGNEMENTL ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINESP RINCIPES GÉNÉRAUX D ENSEIGNEMENT H ISTORIQUE (D ISME ET S TÉVIN ) D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT 6 ÈME H ISTORIQUE (D ISME ET S TÉVIN ) D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT 6 ÈMEH ISTORIQUE (D ISME ET S TÉVIN )D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT 6 ÈMEH ISTORIQUE (D ISME ET S TÉVIN )D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT 6 ÈME D ES ACTIVITÉS ET DES OUTILS D ES ACTIVITÉS ET DES OUTILS D ES ACTIVITÉS ET DES OUTILS D ES ACTIVITÉS ET DES OUTILS L ES NOMBRES : ÉCRITURE ET NATURE L ES NOMBRES : ÉCRITURE ET NATUREL ES NOMBRES : ÉCRITURE ET NATUREL ES NOMBRES : ÉCRITURE ET NATURE E XEMPLE DE PROGRAMMATION CYCLE 3-6 ÈME E XEMPLE DE PROGRAMMATION CYCLE 3-6 ÈMEE XEMPLE DE PROGRAMMATION CYCLE 3-6 ÈMEE XEMPLE DE PROGRAMMATION CYCLE 3-6 ÈME E XEMPLE DE PROGRESSION 6 ÈME E XEMPLE DE PROGRESSION 6 ÈMEE XEMPLE DE PROGRESSION 6 ÈMEE XEMPLE DE PROGRESSION 6 ÈME B IBLIOGRAPHIE B IBLIOGRAPHIEB IBLIOGRAPHIEB IBLIOGRAPHIE

3 D IFFICULTÉS RELATIVES À LA COMPRÉHENSION DES NOMBRES DÉCIMAUX : Les évaluations 6ème et CM2 mettent en évidence que certains élèves semblent considérer que la virgule sépare deux nombres entiers : ils traitent la partie décimale comme un entier. Menu Suite L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES

4 R ÉFLEXIONS SUR UN « TEST »: J. Bolon a proposé la tâche suivante à des élèves depuis la fin du CM1 jusquà la 5 e : « Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? » Réussite obtenue: CM1 22% CM2 30% 6° 27% 5° 29% Menu Suite L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES

5 R ÉFLEXIONS SUR UN « TEST »: Double conclusion: 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 (Cf. le pourcentage de réussite observé). 2°) En revanche, ceux qui nont pas compris les décimaux à ce moment, seront vraisemblablement confrontés à des obstacles dans les quelques années qui suivent. => Importance du travail initial à lécole. Menu Suite L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES

6 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT 6 ÈME D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT 6 ÈME Menu La difficulté de lapprentissage des nombres décimaux tient notamment au fait que celui-ci nécessite la compréhension de propriétés ou de techniques dont les unes sont en continuité et les autres en rupture avec celles des entiers naturels. Suite Les nombre décimaux entre continuité et rupture …

7 O BSTACLES Les règles de fonctionnement des entiers ne peuvent être entièrement étendues aux décimaux. Elles ne sont pas supprimées pour autant. Instabilité des connaissances L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES Menu Suite

8 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT 6 ÈME D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT 6 ÈME Menu Nombres entiers nombres décimaux rupture Par exemple : = 230 2,3 10 = 2,30 20,30 20,3 2,3 10 = 23 La virgule a-t-elle bougé ?... Suite

9 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3 Menu Les écritures à virgule prennent un sens en étant mises en relation avec les fractions décimales (introduction historique des décimaux). La valeur dun chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit à sa gauche et dix fois plus grande que celle de celui qui est écrit à sa droite. Travail sur léchange : La cible. La cible La cible Suite

10 O RIGINE DES DIFFICULTÉS : 1.La façon décrire, de lire et de dire les nombres décimaux (« 3 virgule 8 »). 2.Dans la vie quotidienne, lutilisation des nombres décimaux renforce lidée de juxtaposition de deux entiers (735 ou 7h35min). 3.Les techniques de calcul, pour ces nombres, sont les mêmes que pour les entiers. 4.Les «recettes» mnémotechniques employées parfois pour la comparaison des nombres décimaux, ou pour certaines opérations (multiplication par 10, 100..) (tableau_virgule) (tableau_virgule) Quelques outilsUne réglette. (tableau_virgule) (tableau_virgule) mult div tableur.ods mult div tableur.ods Un tableur: mult div tableur.ods mult div tableur.ods L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES Menu Suite

11 Ces difficultés masquent la nature de « fraction » des nombres décimaux et peuvent conduire de très nombreux élèves à les assimiler à des entiers. L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES L ES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES Menu

12 P RINCIPES GÉNÉRAUX D ENSEIGNEMENT P RINCIPES GÉNÉRAUX D ENSEIGNEMENT Menu 1 / Les nombres décimaux ne sont pas seulement des nombres à virgule ; ils sont aussi et surtout représentés par des fractions décimales. 2 / Les nombres décimaux sont des nombres rationnels inventés pour approcher daussi près que lon veut la mesure dune grandeur continue. 3 / Enseigner dabord les décimaux sous forme de fractions décimales puis, dans un deuxième temps, lécriture à virgule de ces fractions décimales. Suite

13 P RINCIPES GÉNÉRAUX D ENSEIGNEMENT P RINCIPES GÉNÉRAUX D ENSEIGNEMENT Menu 4/ Pour enseigner les décimaux, utiliser dabord des unités de mesure non conventionnelles pour favoriser lappropriation de lidée de fractionnement et éviter la confusion avec les entiers. 5/ Enseigner lécriture à virgule comme un simple changement de notation. 6 / Faire oraliser systématiquement les nombres à virgule, en explicitant les dixièmes, centièmes etc.

14 H ISTORIQUE (D ISME ET S TÉVIN ) H ISTORIQUE (D ISME ET S TÉVIN ) Menu Première page de La Disme de Simon Stevin (édition de 1585) Suite

15 H ISTORIQUE (D ISME ET S TÉVIN ) H ISTORIQUE (D ISME ET S TÉVIN ) Menu

16 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3 Menu Au cycle 3, approche de la fraction dans le but daider à la compréhension des décimaux Les fractions sont des nouveaux nombres utiles pour résoudre des problèmes où les nombres entiers sont insuffisants. Quelques fractions (1/2, 1/3, 1/4, 1/8..) peuvent être illustrées ou évoquées en référence à des pliages successifs ou bien lon peut avoir recours à un réseau de droites parallèles équidistantes qui permet de partager une longueur en plusieurs longueurs égales, sans recours à la division. (machine à partager) Suite

17 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3 Menu La notion de valeur approchée fait lobjet dun premier travail qui doit prendre sens pour lélève, en relation avec un contexte issu de la vie courante. Développer des représentations mentales à propos de certains nombres et des relations qui les lient 0,1 et 1/10 ainsi que 0,5 et 1/2….

18 EXEMPLE DACTIVITE: les bandelettes. Consigne: 1er temps 1) Rangez vos instruments. 2) Vous allez recevoir une feuille sur laquelle sera indiqué votre numéro de groupe (un numéro et la lettre A ou B). 3) Sur cette feuille, sont tracés plusieurs segments 4) Vous aurez une feuille navette pour envoyer un message : le professeur fera le facteur. 5) Chaque groupe doit envoyer un message au groupe qui a le même numéro que lui. Le but du message est de faire reproduire le segment de votre choix, sans faire de dessin sur le message. Menu Suite 1- La fraction partage

19 Menu Suite 2 ème temps: Essayer de faire un dessin qui correspond au message qui vous a été envoyé pour lautre groupe. 3 ème temps: Rencontre et contrôle : le segment réalisé est-il le même que celui de départ ?

20 Menu Suite o Montrer linsuffisance des nombres entiers pour effectuer des mesures. o les fractions traduisent les actions menées. o Plusieurs écritures peuvent désigner la même mesure: 1/2u +1/2u =1u ; 1u +1u +1/2u = 2u+1/2u Objectifs

21 Exercice 1 A l'aide de votre bandelette et sans mesure supplémentaire, construire des segments de longueurs: ½u ; ¼u ; 1+½u ; 2u Exercice 2 Menu Suite

22 Un partage plus délicat Menu Suite Comment partager une bande en 7 parties égales ? ierguideane.g2w Objectif présenter une machine à partager : le guide-âne

23 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3 Menu Suite Guide_démo.g2w Activité papier à partager Guide_démo.g2w Activité papier à partager Guide_démo.g2wActivité papier à partager Guide_démo.g2wActivité papier à partager

24 Vers le repérage sur la demi-droite graduée Menu Suite SÉANCE 1 : PARTAGE À MAIN - LEV É E

25 Menu Suite O BJECTIFS Distinguer le rôle du dénominateur, puis celui du numérateur. Expliciter les procédures: exemple pour placer 5/4 on utilise ses différentes écritures Notion dunité et dabscisse, double usage de ces nouveaux nombres : - représenter une longueur de bande - repérer un point de la demi-droite des nombres. Erreurs du type 1/3 = 1,3.

26 Menu Suite SÉANCE 2: À L AIDE DE GRADUATIONS PRÉDÉFINIES SÉANCE 3 : ÉGALITÉS DE FRACTIONS ET REPÉRAGE Egalité de fractions et repérage Egalité de fractions et repérage

27 Menu Suite Exercice (Fractions et repérages) Place le plus précisément possible les nombres suivants: 1/2; 1/3; 1/5; 9/7; 3/5; 5/3 ; 9/3 Tu peux prolonger la demi-droite si cest nécessaire. Objectifs: - Utiliser le guide-âne pour effectuer des graduations - Faire le lien entre des fractions de même dénominateur. Exercice 2 (fractions et aires) Fractions et aires de carrés Fractions et aires de carrés Fractions et aires de carrés

28 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT C YCLE 3 Menu CM2 7/3 c'est « 7 fois un tiers » Le dénominateur nomme le type de partage de lunité (en parts égales) alors que le numérateur précise le nombre de parts qui seront reportées Collège 7/3 devient « le tiers de 7 ». 7 : 3 = 7/3 ( pas dopération en suspend ) Suite

29 séance 1: Compléter les égalités suivantes: a) 4 × … = 20 b)... × 7 = 7 c) 16 × … = 432 d) 15 × … = 48 e) 5 × … = 2 f) … × 2 = 1 g) 0 × … = 3 h) 3 × … = 4 Menu Suite 2- En sixième, la fraction quotient

30 séance 2: la puce Menu Suite Une puce se déplace sur une demi-droite graduée ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA. Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la première fois sur un nombre entier et quel est ce nombre ?

31 Sauts de puce Objectifs : 4/3 est le nombre qui vérifie : 4/3 est le nombre qui vérifie : 3 × 4/3 = 4 3 × 4/3 = 4 Cest le quotient de 4 par 3. Cest le quotient de 4 par 3. Menu Suite

32 séance 3: le retour de la puce Une puce est partie du point D dabscisse 0 et est arrivée au point F dabscisse 4, en faisant 3 bonds de même longueur. Où est arrivée la puce au bout dun bond ? Quelle est la longueur De ce bond ? Objectif: Utilisation de la machine à partager pour montrer que montrer que 4/3 (vision cycle 3) est le même nombre que le tiers de 4 (vision 6 ème ) Autre activité (Partage de cakes) Cakes Cakes Objectif: Montrer que 1/4 de 3 est égal à 3/4: Cakes Cakes Menu Suite

33 Menu Suite Exercice (Proportionnalité et repérage) Place 12; 72; 54 sur cette demi-droite. Tu peux la prolonger si cela te paraît nécessaire: Objectifs: - Exploiter la proportionnalité. - Mettre en œuvre la notion de quotient dans une situation de repérage. - Travailler la notion de fraction de…

34 En sixième on entreprend de « prendre une fraction dun nombre » Exemple dactivité: Prendre un nombre de Prendre un nombre de Menu Suite

35 Produit de nombres décimaux Utilisation des aires: exemple dactivité 1 ère séance ( 6 rectangles de même périmètre) Consigne: Sur une feuille de papier millimétré, dessiner 6 rectangles de périmètre 10 cm. Menu Suite

36 6 rectangles de même périmètre. 2 ème séance: Consigne : Voici des rectangles obtenus à la séance 1. Quel est le rectangle de plus grande aire ? Menu Suite

37 1 ère séance Consigne 1: Sur une feuille de papier millimétré, dessiner 6 rectangles de périmètre 10 cm. Menu Suite

38 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT 6 ÈME D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT 6 ÈME Menu Un premier objectif du collège est donc daider les élèves à différencier la nature dun nombre de son écriture, notamment en mettant en relation différentes désignations dun même nombre. Suite Différentes désignations dun nombre décimal

39 D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT 6 ÈME D OCUMENT D ACCOMPAGNEMENT 6 ÈME Menu le nombre dix-sept peut sécrire 17 ou 34/2 ou 17,00 (écriture souvent utilisée pour les prix), etc. Dans tous les cas, cest un nombre entier (et aussi un nombre décimal…) ; le nombre deux plus cinq dixièmes peut sécrire 2,5 ou 2,50 (cas des prix, toujours) 5/2, etc. Dans tous les cas, cest un nombre décimal.

40 L ES NOMBRES L ES NOMBRES Menu Exercice 1 Combien de nombres différents sont écrits ? 800/ – 0, ,00 80/10 0,6 16 : 2 6 0,1 Exercice 2 Exercice 2 (sixième) Fractions et nombres décimaux: Fractions daire et nombres décimaux Fractions daire et nombres décimaux Fractions daire et nombres décimaux Suite E CRITURE D UN NOMBRE :

41 L ES NOMBRES L ES NOMBRES Menu Suite E CRITURES D UN NOMBRE : 2,46 Deux virgule quarante-six 2+ (4x0,1)+(6x0,01) 246/100 Deux unités et quarante-six centièmes 2+ 46/100 Vingt-quatre dixièmes et six centièmes 2 +6/100+4/ x0,01

42 L ES NOMBRES L ES NOMBRES Menu Exercice 3 Exercice 3 (sixième) Voici une liste de nombres : 6/2 6/4 6/7 7/10 14/5 8/3 3/2. Parmi les nombres de la liste, lesquels ne sont ni entiers, ni décimaux ? Parmi les nombres de la liste, lesquels sont égaux ? N ATURE D UN NOMBRE :

43 E XEMPLE DE PROGRAMMATION CYCLE 3- 6 ÈME E XEMPLE DE PROGRAMMATION CYCLE 3- 6 ÈME Menu Suite

44 P ROGRAMMES ET SOCLE COMMUN Programmation CM1 - numération

45 E XEMPLE DE PROGRESSION 6 ÈME E XEMPLE DE PROGRESSION 6 ÈME Menu I Reprise et consolidation du Cycle 3 1. Les nombres entiers 2. Les fractions Comparaison de longueurs : directe, mesure avec des unités non usuelles. Activité Bandelette avec échange de messages par binôme Présentation de la machine à partager Suite

46 E XEMPLE DE PROGRESSION 6 ÈME E XEMPLE DE PROGRESSION 6 ÈME Menu 3. Les fractions décimales et les nombres décimaux Sur demi-droite graduée, partage de lunité en dix parts égales puis en cent parts. Texte de la Disme de Simon STEVIN pour arriver à lécriture décimale Suite

47 E XEMPLE DE PROGRESSION 6 ÈME E XEMPLE DE PROGRESSION 6 ÈME Menu II -Programme de Sixième Les nombres rationnels Activité Multiplications à trou suivi du Saut de puce: la notion de quotient. Activité Le retour de la puce : utilisation de la machine à partager pour montrer que les « 4 tiers » est le même nombre que « le tiers de 4 ». - Activité : partage de cakes Transversalement, un travail sur les différentes écritures dun nombre doit être mené. Comparaison 1/10 ; 1/100 … (exemple : « La cible ») Le calcul mental régulier est à poursuivre dans la continuité de lécole primaire (compter de 0,1 en 0,1; peut-on trouver un nombre entre 2,3 et 2,4...) Utilisation de la calculatrice pour aider à comprendre calculatrice calculatrice les nombres décimaux. calculatrice calculatrice Suite

48 B IBLIOGRAPHIE B IBLIOGRAPHIE Menu Brochure « Des nombres au collège : parcours vers le réel », de la CII Collège « ERMEL : Apprentissages numériques et résolutions de problèmes », INRP, Hatier « Les fractions et les décimaux au CM1 - Une nouvelle approche » Conférence de Rémi BRISSIAUD - IUFM de Versailles « La machine à partager - Fractions et décimaux au cours moyen » - C. Houdement – IREM Haute Normandie La sixième entre fractions et décimaux (Irem de Lyon) Des nombres au collège Parcours vers le réel Brochure APMEP No181 Irem Lyon ( activité des rectangles) Entrées dans lalgèbre 6 e et 5e( Irem de Bordeaux1)


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