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Document de travail. Objectifs : approcher la notion de fonction ; acquérir une première connaissance des fonctions linéaires et affines et synthétiser.

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1 Document de travail

2 Objectifs : approcher la notion de fonction ; acquérir une première connaissance des fonctions linéaires et affines et synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures. Document de travail Les fonctions linéaires et affines apparaissent alors comme des exemples particuliers de fonctions.

3 Notion de fonction Capacités développées : Déterminer limage dun nombre par une fonction déterminée, par une courbe, un tableau de données ou une formule. Commentaires : Document de travail La notion dantécédent est introduite (et le terme antécédent utilisé), par lecture directe dans un tableau, ou sur une représentation graphique. La détermination dun antécédent à partir de lexpression algébrique dune fonction nest exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines.

4 Objectif : la résolution de problèmes Plus précisément : rendre les élèves capables détudier : un problème se ramenant à une équation du type f(x) = k et de le résoudre dans le cas où la fonction est donnée (définie par une courbe, un tableau de données, une formule) et aussi lorsque toute autonomie est laissée pour associer au problème divers aspects dune fonction. un problème doptimisation ou un problème du type f(x) > k et de le résoudre, selon les cas, en utilisant les potentialités des logiciels, graphiquement ou algébriquement, toute autonomie pouvant être laissée pour associer au problème une fonction. Document de travail

5 2009 : Fonctions : La résolution de problèmes vise à progresser dans la maîtrise du calcul numérique et à approfondir la connaissance des différents types de nombres : Calcul et fonctions : Progresser dans la maîtrise du calcul algébrique dans la perspective de résolution de problèmes ou de démonstration. Objectifs : Document de travail

6 2000 : Calcul et fonctions : Les définitions formelles dune fonction croissante, dune fonction décroissante sont attendues : Fonctions : Les définitions formelles dune fonction croissante, dune fonction décroissante sont progressivement dégagées. Leur maîtrise est un objectif de fin dannée. Document de travail

7 Nombres premiers Valeur absolue dun nombre Fonctions sinus et cosinus Études de fonctions Les fonctions polynômes de degré deux : Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 et la propriété de symétrie de leurs courbes Ces résultats peuvent être partiellement ou totalement admis. Savoir mettre un tel polynôme sous forme canonique nest pas un attendu du programme les fonctions homographiques : Identifier lensemble de définition dune fonction homographique Hormis le cas de la fonction inverse, la connaissance générale des variations dune fonction homographique et sa mise sous forme réduite ne sont pas des attendus du programme En plus :En moins : Document de travail

8 Objectif essentiel : donner sens à la notion de fonction monotone sur un intervalle Les définitions doivent être dégagée très progressivement et formalisées bien plus tard. Leur maîtrise est un objectif de fin dannée. Cette maîtrise des définitions est attestée si : connaissant les variations dune fonction monotone sur un intervalle, lélève est capable de comparer les images de deux nombres donnés de cet intervalle. lélève sait que, disposer des variations dune fonction sur un intervalle, ne lui permet pas de comparer les images de nimporte quel nombre. Le programme ne fixe pas comme objectif que lélève devienne capable détudier, dans le cas général, les variations dune fonction en mobilisant leffet sur lordre dun enchaînement de fonctions de référence. En revanche, les élèves doivent être en mesure de mobiliser de façon autonome leurs connaissances des variations des fonctions polynômes de degré 2 lors de la résolution de problèmes. Document de travail

9 Lapprentissage du calcul algébrique se poursuit et se situe toujours dans la perspective dune résolution de problème (pour lui donner du sens) Objectifs en terme dautonomie : Associer à un problème une formule Anticipation de la forme de lexpression utile pour résoudre le problème Exemples : Forme factorisée pour résoudre les équations de la forme f(x) = 0 Écriture sous la forme k – (nombre toujours positif) pour prouver que, pour tout réel x, f(x) < k Quand la complexité du calcul algébrique nécessaire à la résolution du problème devient trop grande, un recours à des logiciels de calcul formel est possible et à favoriser

10 La notion de fonction en progression spiralée La notion de fonction est une notion à travailler dans la durée Document de travail Une programmation centrée sur les problèmes que les élèves doivent savoir résoudre Le développement de lautonomie de lélève nécessite une confrontation fréquente à des problèmes posés sous forme ouverte

11 Problème de référence 1 (sources : doc. ressources pour la classe de seconde) Document de travail ABCD carré dont les côtés ont pour longueur 8 cm. M est un point du segment [AB]. AMEF est un carré le triangle MBG est isocèle en G et la hauteur issue de G a la même mesure que la longueur des côtés du carré AMEF. Question 1 : Est-il possible que l'aire du triangle soit égale à l'aire du carré ? Et si oui, dans quels cas ? Question 2 : Est-il possible que l'aire du triangle soit plus grande que l'aire du carré ? Et si oui, dans quels cas ? Question 3 : Est-il possible que le motif constitué par le carré AMEF et le triangle MBG ait une aire égale à la moitié de celle du carré ABCD ? Et si oui, dans quels cas ? Question 4 : Est-il possible que l'aire du triangle soit la plus grande possible ? Et si oui, dans quels cas ? Question 5 : Comment évolue l'aire du motif en fonction de la longueur AM ?

12 Capacités mises en œuvre : Question 1 : Traduire le lien entre deux quantités par une formule Identifier la variable et lensemble de définition Représenter graphiquement la fonction carré sur un intervalle Déterminer limage dun nombre Associer à un problème une expression algébrique Mettre le problème en équation Identifier la forme la plus adéquate en vue de la résolution du problème Factoriser une expression polynomiale simple Résoudre une équation se ramenant au premier degré Question 2 : Modéliser un problème par une inéquation Résoudre graphiquement une inéquation de la forme f(x) < g(x) Résoudre algébriquement linéquation nécessaire à la résolution dun problème à partir de létude du signe dune expression produit Document de travail

13 Capacités mises en œuvre : Question 3Question 3 : Mettre le problème en équation Identifier la forme la plus adéquate (forme canonique) en vue de la résolution du problème Résoudre une équation se ramenant au premier degré Questions 4 et 5 : Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement dune fonction définie par une courbe Résoudre graphiquement un problème doptimisation Identifier la forme la plus adéquate (forme canonique) en vue de la résolution du problème Résoudre algébriquement le problème Logiciel de géométrie dynamiquedynamique Outils utilisés : Logiciel de calcul formel Calculatrice graphique Document de travail

14 Problème de référence 2 Soit un quart de cercle de centre A et de rayon 10 cm, délimité par les points B et C. M est un point quelconque de larc. Il se projette orthogonalement en P sur [AB] et en Q sur [AC]. On sintéresse à laire du rectangle APMQ Question 1 : Comment évolue l'aire du rectangle en fonction de la position du point M ? Question 2 : Comment procéder pour déterminer la valeur exacte (ou approchée) de labscisse du point M où se produit le changement de variation de l'aire du rectangle ? Etablir la « meilleure » conjecture possible Document de travail

15 Capacités mises en œuvre : Questions 1 et 2 : Réinvestissement des connaissances de géométrie du collège Donner lexpression algébrique dune fonction Identifier la variable et lensemble de définition Déterminer limage dun nombre Établir un tableau de valeurs Représenter graphiquement une fonction Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement dune fonction définie par une formule ou une courbe Résoudre graphiquement un problème doptimisation (maximum) Résoudre graphiquement une équation de la forme f(x) = k Résoudre graphiquement une inéquation de la forme f(x) k Encadrer la solution du problème grâce à un algorithme Utiliser une fonction de référence : la fonction « carré » Comparer deux nombres, signe de la différence Logique : proposition conditionnelle Ecriture dun algorithme simple permettant dafficher le plus grand de deux nombres Document de travail Outils utilisés : Logiciel dédié à lélaboration et à lexécution dalgorithmes Calculatrice graphique programmable Logiciel de géométrie dynamiquedynamique Logiciel de calcul formel

16 Le tailleur de pierre Un tailleur de pierre Un tailleur de pierre dispose d'une pierre brute en forme de prisme droit Ce prisme droit ABCDQN a pour bases deux triangles ABC et DQN rectangles et isocèles respectivement en A et D. De plus, AB = AC = 20 cm. La longueur AD de cette pierre est de 50 cm. Lartisan décide de tailler cette pierre de manière à obtenir un nouveau prisme droit AMEFDSTR. Comment doit-il procéder lorsque son volume est imposé ? Lorsque lon souhaite quil soit le plus grand possible ? Objectifs : Réinvestir les connaissances sur les solides usuels étudiés au collège Mobiliser plusieurs champs des mathématiques Modéliser et sengager dans une activité de recherche Document de travail Outils utilisés : Logiciel de géométrie dynamique du plan ou de lespacelespace Logiciel de calcul formel

17 La Poutre (source : daprès hyperbole 2 nde ) Un menuisier Un menuisier dispose d'un morceau de bois en forme de prisme droit. Ce prisme droit a pour base un triangle rectangle isocèle. Le menuisier souhaite découper dans ce morceau une poutre parallélépipédique (pavé droit). Comment peut-il s'y prendre pour obtenir une telle poutre sachant qu'il aimerait obtenir celle qui a le volume maximal. Document de travail Objectifs : Réinvestir les connaissances sur les solides usuels étudiés au collège Mobiliser plusieurs champs des mathématiques Modéliser et sengager de manière autonome dans une activité de recherche Outil utilisé : Logiciel de géométrie dynamique du plan ou de lespace (choix 1 ou choix 2)plan choix 1choix 2

18 Étude des variations des fonctions définies pour tout nombre réel x par : f(x) = (x - a) 2 + b, en fonction des valeurs de a et b Pré-requis : Représentation graphique et variations de la fonction carré Définition de la translation Notion de vecteur Objectif : o Déterminer, à laide dun logiciel de géométrie dynamique, la translation qui transforme la parabole représentative de la fonction carré en la courbe représentative de la fonction f o Établir le tableau de variations de la fonction f en fonction des valeurs de a et b Prolongements possibles : Étude des variations des fonctions définies pour tout nombre réel x par : f(x) = [(x - a) 2 + b], en fonction des valeurs de, a et b (avec non nul) Détermination des variations des fonctions polynômes du second degré à partir de leur forme canonique (donnée ou obtenue à laide dun logiciel de calcul formel) Document de travail


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