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Extraits du programme de troisième Capacités: Déterminer l'image d'un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une.

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2 Extraits du programme de troisième Capacités: Déterminer l'image d'un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique. Capacités: Déterminer l'image d'un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique. Connaissances: Notion de fonction Image, antécédent, notations f (x), x f (x). Connaissances: Notion de fonction Image, antécédent, notations f (x), x f (x).

3 Commentaires Toute définition générale de la notion de fonction et la notion densemble de définition sont hors programme. La détermination dun antécédent à partir de lexpression algébrique dune fonction nest exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines. Toute définition générale de la notion de fonction et la notion densemble de définition sont hors programme. La détermination dun antécédent à partir de lexpression algébrique dune fonction nest exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines.

4 Fonction linéaire. Coefficient directeur de la droite représentant une fonction linéaire. Fonction affine. Coefficient directeur et ordonnée à lorigine dune droite représentant une fonction affine. Fonction linéaire. Coefficient directeur de la droite représentant une fonction linéaire. Fonction affine. Coefficient directeur et ordonnée à lorigine dune droite représentant une fonction affine. Connaissances

5 Capacités (sur les fonctions affines) -Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images. -Représenter graphiquement une fonction affine. -Lire et interpréter graphiquement les coefficients dune fonction affine représentée par une droite. - Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère. -Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images. -Représenter graphiquement une fonction affine. -Lire et interpréter graphiquement les coefficients dune fonction affine représentée par une droite. - Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère.

6 On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre ; Multiplier ce nombre par 6 ; Ajouter le carré du nombre choisi ; Ajouter 9 à la somme obtenue. 1. Montrer que, si on choisit le nombre 5, le résultat obtenu est Calculer la valeur du résultat obtenu lorsque le nombre choisi est On note x le nombre choisi. Exprimer le résultat obtenu en fonction de x. 4. Démontrer que le résultat obtenu est égal à (x + 3)². 5. Quel nombre peut-on choisir pour que le résultat soit 0 ? On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre ; Multiplier ce nombre par 6 ; Ajouter le carré du nombre choisi ; Ajouter 9 à la somme obtenue. 1. Montrer que, si on choisit le nombre 5, le résultat obtenu est Calculer la valeur du résultat obtenu lorsque le nombre choisi est On note x le nombre choisi. Exprimer le résultat obtenu en fonction de x. 4. Démontrer que le résultat obtenu est égal à (x + 3)². 5. Quel nombre peut-on choisir pour que le résultat soit 0 ?

7 On donne ci-contre le graphique dune fonction f. Répondre aux questions suivantes : 1. Donner limage de 1 par la fonction f. 2. Lire f(0). 3. Quels sont les antécédents de Donner un nombre qui a trois antécédents. On donne ci-contre le graphique dune fonction f. Répondre aux questions suivantes : 1. Donner limage de 1 par la fonction f. 2. Lire f(0). 3. Quels sont les antécédents de Donner un nombre qui a trois antécédents.

8 Une progression à construire à partir de problèmes…. La classe de seconde: qui laisse le temps de la maturation qui développe l'autonomie des élèves

9 Travailler les changements de registre Tableaux de valeurs Formule Texte Tableau de variations Courbes Tableaux de valeurs Formule Texte Tableau de variations Courbes

10 Laisser le temps de la maturation: sur la notion de fonction. sur les variations. sur les fonctions de référence. Voici cinq activités pour illustrer ces propos.

11 d P A laide dun sonar, un navire sonde le fond marin. Pour cela, il se déplace en suivant une ligne droite à partir dun point dorigine et il émet des salves dultrasons. Il mesure le temps qui sécoule avant de recevoir lécho des ultrasons et en déduit la profondeur P de la mer sous le point situé à la distance d de lorigine. Le tableau ci-dessous donne les mesures en mètres, effectuées pour plusieurs positions du navire. Construire le nuage de points associé à ce tableau. Peut-on déterminer pour quelles positions d du navire la profondeur est 50 mètres ? Cela a-t-il un sens de relier les points du nuage ? A laide dun sonar, un navire sonde le fond marin. Pour cela, il se déplace en suivant une ligne droite à partir dun point dorigine et il émet des salves dultrasons. Il mesure le temps qui sécoule avant de recevoir lécho des ultrasons et en déduit la profondeur P de la mer sous le point situé à la distance d de lorigine. Le tableau ci-dessous donne les mesures en mètres, effectuées pour plusieurs positions du navire. Construire le nuage de points associé à ce tableau. Peut-on déterminer pour quelles positions d du navire la profondeur est 50 mètres ? Cela a-t-il un sens de relier les points du nuage ?

12 Les données sont insuffisantes pour conclure sans émettre d'hypothèses supplémentaires

13 t T t T On réchauffe doucement un glaçon et on mesure l'évolution de la température T de la matière observée (glace ou eau) en fonction du temps t. T est exprimée en degrés Celsius et t en secondes. 1.Construire le nuage de points associé à cette situation. 2.Cela a-t-il un sens de relier les points du nuage? 3.Peut-on déterminer pendant combien de temps la température observée est comprise entre -0,5 et +0,5 degrés ? On réchauffe doucement un glaçon et on mesure l'évolution de la température T de la matière observée (glace ou eau) en fonction du temps t. T est exprimée en degrés Celsius et t en secondes. 1.Construire le nuage de points associé à cette situation. 2.Cela a-t-il un sens de relier les points du nuage? 3.Peut-on déterminer pendant combien de temps la température observée est comprise entre -0,5 et +0,5 degrés ? Deux situations inspirées du manuel "Hyperbole". Les questions ont été réécrites.

14 Dans ce cas les données permettent de conclure car la température du mélange augmente avec le temps.

15 Bernard a pris sa voiture pour aller voir un ami à Mulhouse avant de revenir chez lui à Haguenau. Il a dressé trois graphiques pour résumer son trajet. Le premier décrit la quantité restante dessence dans son réservoir en fonction du temps écoulé. Le deuxième la distance parcourue en fonction du temps écoulé. Le troisième la distance qui le sépare de Haguenau en fonction du temps écoulé. Bernard a pris sa voiture pour aller voir un ami à Mulhouse avant de revenir chez lui à Haguenau. Il a dressé trois graphiques pour résumer son trajet. Le premier décrit la quantité restante dessence dans son réservoir en fonction du temps écoulé. Le deuxième la distance parcourue en fonction du temps écoulé. Le troisième la distance qui le sépare de Haguenau en fonction du temps écoulé.

16 Les trois fonctions seront notées E, d et H. Lun des graphiques a été perdu et, sur les deux autres les valeurs figurant sur laxe des ordonnées ont été effacées. Bernard se souvient que son réservoir contenait 16,5 litres lorsquil est parti de Haguenau et que la distance Haguenau- Mulhouse est de 150 km. Le temps écoulé est exprimé en heures. Les trois fonctions seront notées E, d et H. Lun des graphiques a été perdu et, sur les deux autres les valeurs figurant sur laxe des ordonnées ont été effacées. Bernard se souvient que son réservoir contenait 16,5 litres lorsquil est parti de Haguenau et que la distance Haguenau- Mulhouse est de 150 km. Le temps écoulé est exprimé en heures.

17 Partie 1 : Raisonner sur des graphiques Associer chacun des deux graphiques restants à lune des trois fonctions E, d et H. Combien de temps Bernard est-il resté à Mulhouse ? Pourquoi la femme de Bernard nétait-elle pas contente le lendemain matin lorsquelle a voulu prendre la voiture ? Graduer les axes des ordonnées des deux graphiques. Reconstituer le troisième graphique. Partie 1 : Raisonner sur des graphiques Associer chacun des deux graphiques restants à lune des trois fonctions E, d et H. Combien de temps Bernard est-il resté à Mulhouse ? Pourquoi la femme de Bernard nétait-elle pas contente le lendemain matin lorsquelle a voulu prendre la voiture ? Graduer les axes des ordonnées des deux graphiques. Reconstituer le troisième graphique.

18 La quantité d'essence dans le réservoir E est la seule fonction décroissante.

19 Comme la distance parcourue est fonction croissante du temps ce graphique ne peut que correspondre à la distance qui sépare Bernard de Haguenau.

20 Partie 2 : Fonction affines et coefficients directeurs On admet que les trois courbes tracées sont des réunions de segments de droites (on dit que les fonctions E, d et H sont affines par morceaux) et que les points extrémités de ces segments correspondent à des valeurs exactes lorsquils sont situés aux intersections du quadrillage. Déterminer dans chacun des cas les coefficients directeurs de toutes ces droites (Bernard se souvient que lorsquil a fait une pause à laller, son réservoir contenait exactement 12,3 litres). Comment peut-on interpréter ces coefficients directeurs ? Bernard a-t-il respecté la limitation de vitesse ? Partie 2 : Fonction affines et coefficients directeurs On admet que les trois courbes tracées sont des réunions de segments de droites (on dit que les fonctions E, d et H sont affines par morceaux) et que les points extrémités de ces segments correspondent à des valeurs exactes lorsquils sont situés aux intersections du quadrillage. Déterminer dans chacun des cas les coefficients directeurs de toutes ces droites (Bernard se souvient que lorsquil a fait une pause à laller, son réservoir contenait exactement 12,3 litres). Comment peut-on interpréter ces coefficients directeurs ? Bernard a-t-il respecté la limitation de vitesse ?

21 Période Durée en h11/61/2 1/31 C.D. (V. en km/h) Période Durée en h11/61/2 1/31 C.D. (C. en l/h)-4,20-6,

22 Partie 3 : Définition et étude dune nouvelle fonction Etablir un tableau mettant en relation la vitesse v (en km/h) et la consommation c (en litre/100 km). On note f la fonction qui à chaque vitesse v associe la consommation c. Est-il possible de répondre aux questions suivantes : La fonction f est-elle affine ?La fonction f est-elle croissante ? Partie 3 : Définition et étude dune nouvelle fonction Etablir un tableau mettant en relation la vitesse v (en km/h) et la consommation c (en litre/100 km). On note f la fonction qui à chaque vitesse v associe la consommation c. Est-il possible de répondre aux questions suivantes : La fonction f est-elle affine ?La fonction f est-elle croissante ?

23 Période1356 Durée en h11/21/31 V. en km/h C. en l/h4,26,6125 C. En l/100km4,675,585 Il n'est pas possible de conclure que la fonction f est croissante à partir des données du tableau (mais cela est fort probable). Par contre, f n'est pas affine puisque l'augmentation de consommation pour une augmentation de 30 km/h n'est pas la même (période 1-3 et période 3-5) Il n'est pas possible de conclure que la fonction f est croissante à partir des données du tableau (mais cela est fort probable). Par contre, f n'est pas affine puisque l'augmentation de consommation pour une augmentation de 30 km/h n'est pas la même (période 1-3 et période 3-5)

24 H est le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC. M est un point de [AB] AH=2, HB=HC=4. f est la fonction qui à AM associe l'aire de CAM. g est la fonction qui à AM associe l'aire de CMB. h est la fonction qui à AM associe la longueur CM. Associer à chaque fonction son tableau de variations et le compléter. x0…….6 fonction :…. …. ….. ….…. x0…….6 fonction :…. …. ….. …. x06 fonction :…. …. ….. x06 fonction :…. ….. ….

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26 A partir d'un tableau de variations… Aborder la partie "logique"

27 VRAI- FAUX Il existe un réel de [-3;3] dont l'image par f est strictement inférieure à zéro. Tous les réels de [-3; 3] ont une image négative par f. Pour tout x de [-1;3], f (x) f (-1). Il existe un réel t de [2;3] tel que f(t) > f(1). Le point de coordonnées (1;4) est sur la courbe de f.

28 Ce type de travail est indispensable pour que les élèves puissent comprendre par la suite les définitions d'extremums et de croissance. On peux également envisager un questionnaire avec l'option: "on ne peut pas conclure"

29 On considère les fonctions f et g définies par : f(x)=3x²-x-2 et g(x)=4-3x². On considère les fonctions f et g définies par : f(x)=3x²-x-2 et g(x)=4-3x². Parmi les points représentés sur la figure ci-contre, déterminer ceux qui appartiennent à la courbe représentative de f et ceux qui appartiennent à celle de g.

30 Les trois derniers points sont des points de la courbe représentative dune fonction polynôme du second degré. Quelles sont ses variations? Calculer f(1/3) et en déduire laxe de symétrie de la courbe représentative de f. Calculer g(0,5) et en déduire le tableau des variations de g.

31 On retravaille la définition de courbe représentative tout au long de l'année. Ce type de question peut être donné en évaluation, une fois étudiées les fonctions du second degré. On retravaille la définition de courbe représentative tout au long de l'année. Ce type de question peut être donné en évaluation, une fois étudiées les fonctions du second degré.

32 La figure ci-contre représente un quart de cercle de rayon 6. M est un point quelconque sur le segment [AB]. Pour chaque position du point M, on construit le rectangle AMNP, où N est un point du quart de cercle et P un point du segment [AC]. On donne la courbe représentative de laire du rectangle AMNP en fonction de la distance AM. La figure ci-contre représente un quart de cercle de rayon 6. M est un point quelconque sur le segment [AB]. Pour chaque position du point M, on construit le rectangle AMNP, où N est un point du quart de cercle et P un point du segment [AC]. On donne la courbe représentative de laire du rectangle AMNP en fonction de la distance AM. Comment placer le point M pour que laire du rectangle AMNP soit maximale ? Comment placer le point M pour que laire du rectangle AMNP soit maximale ?

33 Comprendre la courbe Déterminer par une lecture sur la courbe laire du rectangle AMNP lorsque AM =2 Confirmer ou non la valeur trouvée graphiquement par le calcul exact de cette aire. Déterminer par une lecture sur la courbe laire du rectangle AMNP lorsque AM =2 Confirmer ou non la valeur trouvée graphiquement par le calcul exact de cette aire. combiner lecture graphique dimage et calcul exact dimage Lecture dimage: f(2) Interprétation géométrique de f(2) puis calcul exact

34 combiner lecture graphique dantécédent et calcul approché dimage Déterminer par une lecture sur la courbe les valeurs de AM pour lesquelles laire du rectangle AMNP est 17. Confirmer ou non les valeurs trouvées graphiquement par le calcul Déterminer par une lecture sur la courbe les valeurs de AM pour lesquelles laire du rectangle AMNP est 17. Confirmer ou non les valeurs trouvées graphiquement par le calcul Lecture graphiques dantécédents Notion de valeurs approchées Interprétation géométrique puis calcul approché de f(3,5) et f(4,8)

35 a) Déterminer par une lecture sur la courbe la position du point M pour laquelle laire du rectangle AMNP semble maximale. b) La valeur trouvée graphiquement est-elle exacte ? Justifier. a) Déterminer par une lecture sur la courbe la position du point M pour laquelle laire du rectangle AMNP semble maximale. b) La valeur trouvée graphiquement est-elle exacte ? Justifier. Recherche graphique dune valeur approchée du maximum travail sur la négation: ce nest pas le maximum car il existe une valeur de AM telle que etc... Comprendre la notion de maximum

36 a) D après la courbe, à combien de valeurs de AM différentes correspondent une même aire de rectangle ? b) En admettant que laire maximale correspond à une seule valeur de AM, expliquer comment déterminer exactement cette valeur et la calculer. a) D après la courbe, à combien de valeurs de AM différentes correspondent une même aire de rectangle ? b) En admettant que laire maximale correspond à une seule valeur de AM, expliquer comment déterminer exactement cette valeur et la calculer. Comprendre le problème Faire le lien entre la courbe et le problème géométrique posé.

37 Une dernière….

38 Phrases : 1.Chaque point a pour abscisse 1. 2.Labscisse de chaque point est égale au carré de son ordonnée. 3.Le produit des coordonnées de chaque point vaut 1. 4.Labscisse de chaque point est égale à son ordonnée. 5.Le carré de labscisse de chaque point est égal à son ordonnée. 6.La somme entre le carré de labscisse et le carré de l'ordonnée de chaque point vaut 2. 7.La somme des coordonnées de chaque point est nulle. 8.Pour chaque point, labscisse est linverse de lordonnée. 9.Pour chaque point, labscisse est lopposée de lordonnée. Phrases : 1.Chaque point a pour abscisse 1. 2.Labscisse de chaque point est égale au carré de son ordonnée. 3.Le produit des coordonnées de chaque point vaut 1. 4.Labscisse de chaque point est égale à son ordonnée. 5.Le carré de labscisse de chaque point est égal à son ordonnée. 6.La somme entre le carré de labscisse et le carré de l'ordonnée de chaque point vaut 2. 7.La somme des coordonnées de chaque point est nulle. 8.Pour chaque point, labscisse est linverse de lordonnée. 9.Pour chaque point, labscisse est lopposée de lordonnée.

39 Développer l'autonomie et la prise d'initiative

40 Comment faire pour que l'aire colorée soit la plus petite possible? La plus grande possible ? Comment faire pour que l'aire colorée soit la plus petite possible? La plus grande possible ? Des problèmes ouverts…

41 Au cours de la construction dun viaduc, le tablier est poussé sur les piles à partir de deux extrémités. La longueur totale du tablier est m. Léquipe qui travaille à lextrémité nord pousse le tablier à la vitesse constante de 20 cm.h -1. A lextrémité sud, le tablier est poussé par une machine plus puissante et progresse à la vitesse constante de 35 cm.h -1. Au bout de combien de temps et à quel endroit les deux parties du tablier vont-elles se rejoindre ?

42 Détail des démarches possibles…

43 Un problème se ramenant à une équation du type f(x) = k ABCD est un rectangle tel que : AB = 8cm AD = 5cm M est un point de [AB] N est un point de [BC] AM = BN ABCD est un rectangle tel que : AB = 8cm AD = 5cm M est un point de [AB] N est un point de [BC] AM = BN Comment placer les points M et N pour que laire du triangle DMN soit de 19 cm 2 ? Comment placer les points M et N pour que laire du triangle DMN soit de 19 cm 2 ?

44 PHASE 1 : TRAVAIL A LA MAISON

45 Utilisation du logiciel géogébra PHASE 2 : CONJECTURE EN CLASSE

46 Choix de la variable : on peut poser AM = x. Expression de laire (DMN) en fonction de x : PHASE 3 : TRAVAIL EN CLASSE

47 PHASE 4 : DIVERS TRAITEMENTS DU PROBLEME

48 Recherche de solutions approchées : Exploitation de la courbe représentative de la fonction

49 Par calcul formel instrumenté ( logiciel de calcul formel Maxima) Résolution par calcul algébrique à la main, la forme canonique étant fournie : Recherche de solutions exactes :

50 Ressources pour le programme de seconde : - Algorithmique - Notations et raisonnement mathématiques - Probabilités et statistiques - Fonctions strasbourg.fr/sections/enseignements/secondaire/ pedagogie/les_disciplines/mathematiques/lycee/pr ogrammes/view


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