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ROBOTIQUE -ELE4203- Cours #3: Cinématique directe: les paramètres de Denavit-Hartenberg Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Septembre.

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1 ROBOTIQUE -ELE4203- Cours #3: Cinématique directe: les paramètres de Denavit-Hartenberg Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

2 Cours #3 Petites annonces générales concernant le cours Bref rappel des principales notions du cours #2 Rotation autour dun vecteur unitaire Cinématique directe: Principes de base et but de la cinématique directe Référentiels standards en robotique Pré-multiplication VS post-multiplication Orientation de loutil à laide du roulis, tangage et lacet (Roll, pitch et Yaw) Retour rapide sur la cinématique directe du robot planaire Jean-Philippe Roberge - Septembre

3 Cours #3 Les paramètres de Denavit-Hartenberg (D.H.) Quest-ce que cest, pourquoi les utiliser? Les trois règles devant êtres respectées La procédure pour le placement des repères de D.H. (13 étapes…) Réalisation de la cinématique directe à laide de D.H.: Robot PUMA (RRRRRR) Robot Stanford (RRPRRR) 3 Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

4 4 Bref rappel du cours #2 (1) Rotation autour dun vecteur unitaire La rotation autour dun vecteur unitaire seffectue en cinq étapes. On effectue cinq rotations: 1-Une rotation de α degrés en x 2-Une rotation de β degrés en y Ces deux rotations permettront denligner le vecteur avec laxe z. 3-Une rotation de θ degrés en z Finalement, les transformations inverses: 4-Une rotation de -β degrés en y 5-Une rotation de -α degrés en x

5 5 Quest-ce que la cinématique directe? La cinématique directe concerne la détermination de la position et de lorientation de leffecteur (pose de leffecteur) du robot en fonction des positions des articulations du robot. Il sagit en fait de bâtir un modèle mathématique qui permet dobtenir la pose de leffecteur en fonction de ce que lon appelle les variables articulaires. Pour bâtir ledit modèle mathématique, nous aurons recours aux variables / transformations homogènes. Concrètement: Des encodeurs donnent les valeurs des différentes variables articulaires. Par exemple, pour des joints rotoïdes, les encodeurs permettront dobtenir directement les angles de chacune des articulations. Connaissant ces valeurs et ayant réaliser la cinématique directe du robot, il est alors possible de connaître la position et lorientation de leffecteur. Nous verrons dans les heures qui suivent comment réaliser efficacement la cinématique directe. Bref rappel du cours #2 (2) Cinématique directe – But Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

6 6 Pour réaliser la cinématique directe des robots que nous étudierons, nous nous intéresserons tout dabord à apposer des repères au niveau des joints du robot, par exemple: Bref rappel du cours #2 (3) Cinématique directe – Principes de base Par la suite, nous nous intéresserons à trouver les transformations qui lient chacun des repères ensemble. Dans le cas dun robot sériel à six degrés de liberté, on déterminera: La cinématique directe est alors contenue dans la matrice de transformation totale: Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

7 7 Bref rappel du cours #2 (4) Cinématique directe – La question fondamentale Étant donnée un point A exprimé dans le repère B, comment faire pour obtenir le point A exprimé dans le repère C? La question que nous nous posons dabord est: Étant donné un point A exprimé en coordonnés du repère B, comment faire pour exprimer ce point dans le repère C? Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

8 8 Propriétés des matrices de rotation: Petite précision par rapport à orthogonale VS orthonormale. Une matrice orthogonale est une matrice carrée dont les colonnes et les lignes sont des vecteurs orthonormaux. Vecteurs orthonormaux : vecteurs unitaires orthogonaux (norme =1) Bref rappel du cours #2 (5) Propriétés de la matrice de rotation Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

9 9 Bref rappel du cours #2 (6) Référentiels standards en robotique Les référentiels souvent discutés en robotique sont les cinq référentiels suivant: Référentiel U : il est surnommé le référentiel universel. Dans certains ouvrages, on peut aussi parler du référentiel de travail. Référentiel R : Cest le référentiel associé à la base du robot. Référentiel H : il est surnommé le référentiel Hand, cest le référentiel associé à la main (porte-outil). Référentiel E : il est surnommé le référentiel effecteur. Il est associé à loutil. Référentiel P : Référentiel associé à la pièce. Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

10 10 Bref rappel du cours #2 (7) Transformations entre les référentiels standards Maintenant que nous avons introduit certains concepts de base concernant les référentiels, étudions les référentiels souvent discutés en robotique: Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

11 11 Bref rappel du cours #2 (8) pré-multiplication VS post-multiplication Tel que mentionné, lordre de multiplication est important lorsquil sagit de multiplier des matrices de transformation homogènes. De plus, lorsque les matrices de transformation sont utilisées pour décrire la pose de différents repères les uns par rapport aux autres il faut se rappeller de ceci: Lorsquon pré-multiplie, la transformation se fait par rapport au repère fixe. Lorsquon post-multiplie, la transformation se fait par rapport au repère mobile. Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

12 12 Bref rappel du cours #2 (9) pré-multiplication VS post-multiplication Voici un petit exercice tiré de [4]: Soit une matrice de rotation R composé des rotations pures suivantes: 1- Une rotation de θ par rapport à laxe x du repère mobile 2- Une rotation de φ par rapport à laxe z du repère mobile 3- Une rotation de α par rapport à laxe z du repère fixe 4- Une rotation de β par rapport à laxe y du repère mobile 5- Une rotation de δ par rapport à laxe x du repère fixe La réponse de cet exercice: Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

13 13 Bref rappel du cours #2 (10) Orientation de loutil: Roulis, tangage et lacet Il existe plusieurs façon pour décrire lorientation dun repère. Pour représenter lorientation de loutil, une convention est dutiliser les angles de roulis (roll), tangage (pitch) et lacet (yaw). Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

14 14 Bref rappel du cours #2 (11) Cinématique directe du robot planaire Rapellons la cinématique directe dun robot simple, cest-à-dire un robot-planaire à trois degrés de liberté: Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

15 15 Bref rappel du cours #2 (12) Cinématique directe du robot planaire Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

16 16 Bref rappel du cours #2 (13) Cinématique directe du robot planaire Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

17 17 Cours #3 Denavit-Hartenberg (1) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 Selon vous, pensez-vous quil existe plusieurs façons différentes et toutes aussi valides dapposer les repères sur un robot? Assigner les repères sur un robot plus complexe que le robot planaire du dernier cours peut devenir compliqué (par exemple un robot à six degrés de liberté oeuvrant dans lespace 3D). Lassignation des repères nest pas toujours facile et surtout, la détermination des transformations homogènes entre chacun de ces repère peut être difficile à déterminé. Nous développerons ici une approche systématique basée sur les paramètres de Denavit-Hartenberg. Permet de simplifier la démarche De plus, cette convention permet aux ingénieurs en robotique de sappuyer sur un langage commun. Elle permet en plus dautomatiser la réalisation de la cinématique directe (nous en discuterons plus tard).

18 18 Cours #3 Denavit-Hartenberg (2) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 La convention de Denavit-Hartenberg (D.H.) sappuie tout dabord sur trois règles qui doivent toujours êtres respectées: Le repère 0 est choisi arbitrairement, sauf que laxe Z 0 doit être selon laxe du mouvement du joint 1. Le dernière repère (n) peut aussi être placé arbitrairement, tant que laxe X n soit normal à Z n-1. Image tirée de [4]

19 19 Cours #3 Denavit-Hartenberg (3) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 En respectant les trois règles de D.H. on pourra toujours utiliser seulement quatre paramètres pour passer du repère i-1 au repère i. Ces quatre paramètres sont les paramètres de Denavit-Hartenberg, ceux-ci sont définis par: 1- Une rotation de θ i par rapport à Z i-1 pour X i-1 parallèle à X i. 2- Une translation de d i le long de Z i-1 pour amener lorigine du repère i-1 à lintersection de Z i-1 et X i. 3- Une translation de a i le long de X i pour amener lintersection de Z i-1 et X i sur laxe Z i. 4- Une rotation α i par rapport à X i pour amener Z i-1 parallèle à Z i. Image tirée de [4] Paramètres de Denavit-Hartenberg: Θ i, d i, a i et α i Où i=1,…,n, (n étant le nombre de degrés de liberté du robot)

20 Ce que nous venons détudier en texte, se traduit mathématiquement par: 20 Cours #3 Denavit-Hartenberg (4) Jean-Philippe Roberge - Septembre Une rotation de θ i par rapport à Z i-1 pour X i-1 parallèle à X i. 2- Une translation de d i le long de Z i-1 pour amener lorigine du repère i-1 à lintersection de Z i-1 et X i. 3- Une translation de a i le long de X i pour amener lintersection de Z i-1 et X i sur laxe Z i. 4- Une rotation α i par rapport à X i pour amener Z i-1 parallèle à Z i.

21 Petit rappel: 21 Cours #3 Denavit-Hartenberg (5) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

22 22 Cours #3 Denavit-Hartenberg (6) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 En observant ce dernier résultat: Il est évidemment possible dautomatiser la cinématique directe (et bien plus). Comment? En se créant des fonctions, par exemple, dans Matlab. Démonstration: # Lien θiθi didi aiai αiαi 1 θ1θ1 0a1a1 0 2 θ2θ2 0a2a2 0 3 θ3θ3 0a3a3 0 Suite dans Matlab…

23 23 Cours #3 Denavit-Hartenberg (7) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 Voici maintenant la méthode systématique permettant dapposer les repères selon la convention D.H. :

24 24 Cours #3 Denavit-Hartenberg (8) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 Voici maintenant la méthode systématique permettant dapposer les repères selon la convention D.H. (suite) :

25 25 Cours #3 Denavit-Hartenberg – Robot PUMA(1) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 Pratiquons cette démarche sur le robot PUMA. Ce dernier est un robot à six degrés de liberté et possède que des joints rotoïdes (RRRRRR). Avant de commencer, regardons un peu à quoi ce robot ressemble:

26 26 Cours #3 Denavit-Hartenberg – Robot PUMA(2) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

27 Pour que ce soit clair, voici comment les repères sont placés: y3y3 z3z3 x3x3 d4d4 a2a2 27 Cours #3 Denavit-Hartenberg – Robot PUMA(3) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 z0z0 z1z1 y 0,x 1 y1y1 x0x0 z2z2 x2x2 y2y2 -d 2 -a 3 z 4,y 5 y4y4 x 4,x 5 z5z5 d6d6 y6y6 z6z6 x6x6

28 28 Cours #3 Denavit-Hartenberg – Robot PUMA(4) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 # Lien θiθi didi aiai αiαi 1 θ 1v θ 2v d2d2 a2a2 0 3 Θ 3v 0a3a θ 4v d4d θ 5v θ 6v d6d6 00 y3y3 z3z3 x3x3 d4d4 a2a2 z0z0 z1z1 y 0,x 1 y1y1 x0x0 z2z2 x2x2 y2y2 -d 2 -a 3 z 4,y 5 y4y4 x 4,x 5 z5z5 d6d6 y6y6 z6z6 x6x6

29 29 Cours #3 Denavit-Hartenberg – Robot PUMA(5) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 # Lien θiθi didi aiai αiαi 1 θ1θ θ2θ2 d2d2 a2a2 0 3 θ3θ3 0a3a θ4θ4 d4d θ5θ θ6θ6 d6d6 00

30 Après multiplication, on obtient la cinématique directe: 30 Cours #3 Denavit-Hartenberg – Robot PUMA(6) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

31 Encore une fois, commençons par observer à quoi ressemble le robot Stanford (RRPRRR) ~1969 ! : 31 Cours #3 Denavit-Hartenberg – Robot Stanford(1) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

32 Apposition de repères: 32 Cours #3 Denavit-Hartenberg – Robot Stanford(2) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

33 Le tableau de D.H.: 33 Cours #3 Denavit-Hartenberg – Robot Stanford(3) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 # Lien θiθi didi aiai αiαi 1 θ 1v d1d θ 2v d2d d 3v θ 4v θ 5v θ 6v d6d6 00

34 34 Cours #3 Denavit-Hartenberg – Robot Stanford(4) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 # Lien θiθi didi aiai αiαi 1 θ 1v d1d θ 2v d2d d 3v θ 4v θ 5v θ 6v d6d6 00

35 En multipliant chacune des matrices de transformation: 35 Cours #3 Denavit-Hartenberg – Robot Stanford(5) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

36 Le robot Stanford possède un poignet sphérique: sphérique est dit des mécanismes articulés dont les axes des trois derniers joints sintersectent toujours en un point. Énormément de robots mettent en oeuvre des poignets sphériques, ceux-ci permettent de découpler la position et lorientation de leffecteur. 36 Cours #3 Introduction aux poignets sphériques (1) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

37 Principe du découplement cinématique (possible en présence dun poignet sphérique): 37 Cours #3 Introduction aux poignets sphériques (2) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012 P c est apellé centre du poignet ou référentiel du poignet

38 Le découplement cinématique sera particulièrement pratique pour la cinématique inverse (prochain cours): 38 Cours #3 Introduction aux poignets sphériques (3) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

39 39 Aux deux prochains cours… Les deux prochains cours vous seront enseignés par le professeur Richard Gourdeau. Dans le cadre de ces cours, la matière couverte sera constituée entres autres de: Cinématique inverse: Comment trouver les variables articulaires, étant donnée une pose de leffecteur du robot. Cinématique différentielle: Comment calculer la matrice Jacobienne et quelles sont les informations quelle contient Je serai de retour avec vous après la relâche (pour le cours du 15 octobre), et pour le reste de la session. Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

40 Références [1] Absolute Beginners Guide to Building Robots, Gareth Branwyn, 2003 [2] software/10_stats_you_should_know_about_robots Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [3] [4] Robot Modeling and Control, Mark W. Spong et al.,2006. [5] Notes de cours (Manipulateurs) - ELE4203, Richard Gourdeau, juillet Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012


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