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ROBOTIQUE -ELE4203- Cours #2: Exercices & introduction à la cinématique directe Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012.

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1 ROBOTIQUE -ELE4203- Cours #2: Exercices & introduction à la cinématique directe Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

2 Cours #2 Bref rappel des principales notions du cours #1 Fin de la matière sur les transformations homogènes: Rotation autour dun vecteur unitaire Quelques exercices reliés au chapitre 2 – transformations homogènes Début du chapitre 3 – Cinématique directe: Notions de bases sur les référentiels: Pose relative des différents référentiels Référentiels standards en robotique Jean-Philippe Roberge - Septembre

3 Cours #2 Notions de bases sur les référentiels (Suite): Angles de roulis, tangage et lacet (Roll, Pitch et Yaw) Exemple simple de la cinématique directe à laide dun robot-planaire: Positionnement des repères Construction des matrices de transformation permettant lélaboration de la cinématique directe. 3 Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

4 4 Bref rappel du cours #1 (1) Quelques types de robots: Robots statiques: Robots ayant une base fixe (e.g. : les robots du laboratoires, les robots typiques dune chaîne de production). Robots mobiles: Robots qui se déplacent dans lespace de travail (par exemple, les robots explorateurs de planètes tels que Curiosity, Spirit & Opportunity, Sojourner, etc…)

5 Jean-Philippe Roberge - Septembre Bref rappel du cours #1 (2) Quelques types de robots (suite): Robots sériels: Robots composés dun seul segment articulé formant une chaîne cinématique ouverte. Robots parallèles: Robots composés de plusieurs segments articulés qui composent ensemble une chaîne cinématique fermée.

6 Jean-Philippe Roberge - Septembre Bref rappel du cours #1 (3) Types dautomatisation:

7 Bref rappel du cours #1 (4) Types de joint Dans le cadre du cours, nous utiliserons principalement deux types de joints: Les joints prismatiques (Prismatic joint), notés P, permettent un déplacement en translation. Les joints rotoïdes (Revolute joint), notés R, permettent un déplacement en rotation. Jean-Philippe Roberge - Septembre

8 Bref rappel du cours #1 (5) Géométrie PPP Le robot PPP (communément appelé le manipulateur cartsien): Jean-Philippe Roberge - Août 20128

9 Bref rappel du cours #1 (6) Géométrie PRP ou RPP Le robot PRP ou RPP, communément appelé le manipulateur cylindrique: Jean-Philippe Roberge - Août 20129

10 Bref rappel du cours #1 (7) Géométrie RRP Le robot RRP, communément appelé le manipulateur sphérique: Jean-Philippe Roberge - Août

11 Bref rappel du cours #1 (8) SCARA Le robot SCARA ( Selective Compliant Articulated Robot Arm ), qui est aussi un RRP, mais toutefois différent du manipulateur sphérique ordinaire. Il est conçu spécifiquement pour des tâches dassemblage. Jean-Philippe Roberge - Août nZk&NR=1

12 Bref rappel du cours #1 (9) Géométrie RRR Le robot RRR (ici cest un RRRR), communément appelés manipulateurs articulés: Jean-Philippe Roberge - Août

13 Bref rappel du cours #1 (10) Géométrie RRRRRR Les robots RRRRRR sont souvent surnommés manipulateurs anthropomorphiques puisquils sinspirent partiellement du bras humain: ont dit souvent quils ont un épaule, un coude et un poignet. Leur enveloppe de travail est beaucoup plus complexe que les autres types de robots vu précédemments. Leur cinématique directe ainsi que leur dynamique est aussi plus compliqué. Jean-Philippe Roberge - Août

14 Bref rappel du cours #1 (11) (Terminologie et définitions) Nombre daxes dun robot: Le nombre daxes que possède un robot désigne le positionnement que ce dernier peut faire en x,y et z, ainsi quen Θ x, Θ y, Θ z. Ceci est souvent relié au nombre de degrés de liberté du robot, mais cest une notion bien différente, sachez la différencier. Capacité, vitesse de déplacement, portée, débattement, répétabilité, justesse, résolution spatiale. Jean-Philippe Roberge - Août **Tableau tiré de : company/university-of-perceptron/80.html

15 Bref rappel du cours #1 (12) Coordonnées homogènes Jean-Philippe Roberge - Août Note: De manière générale, w=1

16 Bref rappel du cours #1 (13) Transformations 2D - translation Jean-Philippe Roberge - Août Un point de coordonnées (x,y), après une translation de (a,b) possède les coordonnées (x+a,y+b). En coordonnées homogènes: Ceci implique:

17 Bref rappel du cours #1 (14) Transformations 2D - Rotation Jean-Philippe Roberge - Août Un point de coordonnées (x,y), après une rotation de Θ degrés, possède les coordonnées (x,y). En coordonnées homogènes:

18 Bref rappel du cours #1 (15) Concaténation de transformations Jean-Philippe Roberge - Août Rappel, en général:

19 Bref rappel du cours #1 (16) Transformations 3D Comme dans le cas à deux dimensions, on peut développer les matrices (de transformation) de translation et de rotation: Jean-Philippe Roberge - Août Translation :

20 Bref rappel du cours #1 (17) Transformations 3D Jean-Philippe Roberge - Août Rotations :

21 Cours #2 Rotation autour dun vecteur unitaire (1) Au dernier cours, nous avons vu comment, en 2D, bâtir une matrice de transformation qui permet deffectuer la rotation de point(s) en coordonnées homogènes autour dun point de coordonnées (a,b) : Jean-Philippe Roberge - Août

22 Jean-Philippe Roberge - Août Rotation autour dun vecteur unitaire (2) Généralisons maintenant ce concept dans le domaine 3D: bâtissons une matrice de transformation permettant la rotation de Θ degrés dun point en coordonnées homogènes autour dun vecteur unitaire. On effectuera cinq rotations: 1-Une rotation de α degrés en x 2-Une rotation de β degrés en y Ces deux rotations permettront denligner le vecteur avec laxe z. 3- Une rotation de θ degrés en z Finalement, les transformations inverses: 4-Une rotation de -β degrés en y 5-Une rotation de -α degrés en x

23 Jean-Philippe Roberge - Août Rotation autour dun vecteur unitaire (3) Langle α et la transformation sont donnés par: Langle β et la transformation sont données par:

24 Jean-Philippe Roberge - Août Rotation autour dun vecteur unitaire (4) Finalement, la rotation de θ autour de z, ainsi que les transformations inverses sont données par: Donc, la matrice de transformation permettant deffectuer une rotation de θ degrés autour dun axe unitaire u est:

25 Jean-Philippe Roberge - Août Exercices du chapitre 2 (1) Exercice #5 – Notions supplémentaires sur les matrices de rotation: 1) Les matrices de rotation sont dites orthogonales. En effet, de par leur nature, la norme (euclidienne) de chacune de leur colonne est égal à 1. Similairement, la norme de chacune de leur ligne est aussi égal à 1. 2) Soit une matrice R1 orthogonale, alors: det(R1) = ±1. 3) Si on considère seulement les repères main droite, alors on dira de R quelle est spéciale-orthogonale. Soit une matrice R2 spéciale-orthogonale, alors : det(R2) = 1. Dans le cours, nous travaillerons uniquement avec les matrices spéciales- orthogonales. 4) Pour une matrice spéciale-orthogonale R2, (R2(θ)) -1 =R2(-θ)=R2 T Exercice #1, #2

26 Jean-Philippe Roberge - Août Exercices du chapitre 2 (2) Exercice #3 – Notions supplémentaires: Soit une matrice de transformation T tel que: Alors: Exercice #10 (survol)

27 Jean-Philippe Roberge - Août Quest-ce que la cinématique directe? La cinématique directe concerne la détermination de la position et de lorientation de leffecteur (pose de leffecteur) du robot en fonction des positions des articulations du robot. Il sagit en fait de bâtir un modèle mathématique qui permet dobtenir la pose de leffecteur en fonction de ce que lon appelle les variables articulaires. Pour bâtir ledit modèle mathématique, nous aurons recours aux variables / transformations homogènes. Cinématique directe (1)

28 Jean-Philippe Roberge - Août Aperçu très peu exhaustif de la démarche: Pour réaliser la cinématique directe des robots que nous étudierons, nous nous intéresserons tout dabord à apposer des repères au niveau des joints du robot, par exemple: Cinématique directe (2)

29 Jean-Philippe Roberge - Août Aperçu très peu exhaustif de la démarche (suite): Par la suite, nous nous intéresserons à trouver les transformations qui lient chacun des repères ensemble. Dans le cas dun robot sériel à six degrés de liberté, on déterminera: La cinématique directe est alors contenue dans la matrice de transformation totale: Cinématique directe (3)

30 Jean-Philippe Roberge - Août Suite et fin du survol: exemple de la cinématique directe du robot Kuka: Cinématique directe (4)

31 Jean-Philippe Roberge - Août À quoi sert la cinématique? Comme vous devez vous en doutez, il est nécessaire de connaître la position et lorientation de leffecteur pour effectuer une panoplie de tâches. Concrètement: Des encodeurs donnent les valeurs des différentes variables articulaires. Par exemple, pour des joints rotoïdes, les encodeurs permettront dobtenir directement les angles de chacune des articulations. Connaissant ces valeurs et ayant réaliser la cinématique directe du robot, il est alors possible de connaître la position et lorientation de leffecteur. Nous verrons dans les heures qui suivent comment réaliser efficacement la cinématique directe. Cinématique directe (5)

32 Jean-Philippe Roberge - Août Commençons par introduire certains concepts liés aux référentiels. Considérons les référentiels et le point suivant: Cinématique directe (6) Référentiels La question que nous nous posons dabord est: Étant donné un point A exprimé en coordonnés du repère B, comment faire pour exprimer ce point dans le repère C?

33 Jean-Philippe Roberge - Août Voici les étapes de la solution. Tout dabord, il faut déterminer la matrice de rotation qui permet de passer du repère C au repère B. Nous noterons celle-ci : C T B Les transformations qui permettent de passer du repère C au repère B sont des rotations et une translation, donc: Cinématique directe (7) Référentiels

34 Jean-Philippe Roberge - Août Rappel sur les coordonnées homogènes: Un vecteur en coordonnée homogène: peut subir une translation et/ou une rotation lorsque pré-multiplié par une matrice de transformation. Un vecteur en coordonnée homogène: ne peut subir quune rotation lorsque pré-multiplié par une matrice de transformation. Une matrice de transformation homogène identité : est une matrice de transformation qui représente un système de coordonnées qui coïncide avec le référentiel de base (aucune transformation). Cinématique directe (8) Référentiels

35 Jean-Philippe Roberge - Août Cinématique directe (9) Référentiels

36 Jean-Philippe Roberge - Août Cinématique directe (10) Référentiels

37 Jean-Philippe Roberge - Août Cinématique directe (11) Référentiels Voici quelques propriétés de la matrice de rotation et de la matrice de transformation:

38 Jean-Philippe Roberge - Août Cinématique directe (12) Référentiels Maintenant que nous avons introduit certains concepts de base concernant les référentiels, étudions les référentiels souvent discutés en robotique: Référentiel U : il est surnommé le référentiel universel. Dans certains ouvrages, on peut aussi parler du référentiel de travail. Référentiel R : Cest le référentiel associé à la base du robot. Référentiel H : il est surnommé le référentiel Hand, cest le référentiel associé à la main (porte-outil). Référentiel E : il est surnommé le référentiel effecteur. Il est associé à loutil. Référentiel P : Référentiel associé à la pièce.

39 Jean-Philippe Roberge - Août Cinématique directe (13) Référentiels Maintenant que nous avons introduit certains concepts de base concernant les référentiels, étudions les référentiels souvent discutés en robotique:

40 Jean-Philippe Roberge - Août Cinématique directe (14) Référentiels Tel que mentionné, lordre de multiplication est important lorsquil sagit de multiplier des matrices de transformation homogènes. De plus, lorsque les matrices de transformation sont utilisées pour décrire la pose de différents repères les uns par rapport aux autres il faut se rappeller de ceci: Lorsquon pré-multiplie, la transformation se fait par rapport au repère fixe. Lorsquon post-multiplie, la transformation se fait par rapport au repère mobile.

41 Jean-Philippe Roberge - Août Cinématique directe (16) Référentiels Il existe plusieurs façon pour décrire lorientation dun repère. Pour représenter lorientation de loutil, une convention est dutiliser les angles de roulis (roll), tangage (pitch) et lacet (yaw).

42 Jean-Philippe Roberge - Août Cinématique directe (17) Exemple du robot planaire Pour terminer le cours, effectuons la cinématique directe dun robot simple, puisquil sagit dun robot-planaire à trois degrés de liberté:

43 Jean-Philippe Roberge - Août Cinématique directe (18) Exemple du robot planaire

44 Jean-Philippe Roberge - Août Cinématique directe (19) Exemple du robot planaire

45 Jean-Philippe Roberge - Août Au prochain cours… Suite et fin de la cinématique directe On introduira une manière assez simple et surtout efficace deffectuer la cinématique directe basée sur les paramètres de Denavit-Hartenberg. On étudiera par la suite des exemples de robot un peu plus complexe. Le robot PUMA (six degrés de liberté – tous des joints rotoïdes) Le robot Stanford (six degrés de liberté – cinq joints rotoïdes et un joint prismatique)

46 Références [1] Absolute Beginners Guide to Building Robots, Gareth Branwyn, 2003 [2] software/10_stats_you_should_know_about_robots Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [3] [4] Robot Modeling and Control, Mark W. Spong et al.,2006. [5] Notes de cours (Manipulateurs) - ELE4203, Richard Gourdeau, juillet Jean-Philippe Roberge - Janvier


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