Pierre Henrotay Pierre Job Maggy Schneider CDS, 9 décembre 2011

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1 Pierre Henrotay Pierre Job Maggy Schneider CDS, 9 décembre 2011
Concept de fonction ou modélisation fonctionnelle ? Quelques pistes de réflexion pour l’enseignement secondaire et/ou universitaire Pierre Henrotay Pierre Job Maggy Schneider CDS, 9 décembre 2011

2 Plan de l’exposé Le caractère unificateur du concept de fonction
Deux faits divers qui illustrent des carences dans l’enseignement Une étude critique des transpositions didactiques habituelles Approfondissement de l’exemple de la désintégration radioactive Des modèles qui donnent lieu à une étude plus théorique Conclusion

3 Un concept unificateur
De nombreux chercheurs (Artigue, Robert, …) soulignent le caractère unificateur et généralisateur du concept de fonction, associé à un nouveau formalisme Mais pensent ce caractère unificateur au niveau des fondements des mathématiques, le concept de fonction étant défini comme triplet particulier d’ensembles et recouvrant aussi bien des transformations géométriques que les fonctions de l’analyse ou les opérateurs entre espaces fonctionnels

4 Un rôle unificateur au niveau de la modélisation déjà
Le concept de fonction peut être vu comme concept unificateur au niveau des fondements des mathématiques, c’est-à-dire dans une organisation déductive, mais aussi à un niveau plus « élémentaire », comme outil de modélisation et de catégorisation de phénomènes extra ou intra-mathématiques l’exemple du calcul intégral

5 Des problèmes qui relèvent de la même catégorie fonctionnelle

6 Les fonctions sont des outils de classement des problèmes
Pour Archimède, ces problèmes sont distincts même s’ils relèvent tous deux de la méthode d’exhaustion Pour nous, c’est le même problème : primitive d’une fonction du second degré ou limite de sommes de Riemann de même structure « Mais pour qu’on ait le droit de voir là un “ calcul intégral ”, il faudrait y mettre en évidence, à travers la multiplicité des apparences géométriques, quelque ébauche de classification des problèmes suivant la nature de “ l’intégrand ” sous-jacent. Au XVIIe siècle, nous allons le voir, la recherche d’une telle classification devient peu à peu l’un des principaux soucis des géomètres » (Bourbaki)

7 Les fonctions sont des outils de classement des problèmes
En amont d’une définition générale du concept de fonction dans un projet de fondement : une classification algébrique de modèles fonctionnels paramétrés qui donnera prise aux techniques de dérivation et de primitivation… Possibilité d’une initiation à un tel regard dès les premières années du secondaire : cf. l’ingénierie relative aux problèmes de suites de nombres figurés (Krysinska)

8 La modélisation fonctionnelle comme parent pauvre de l’enseignement
Deux faits divers qui désignent un « manque à enseigner » : Question testée par la commission des outils d’évaluation relative aux compétences terminales en mathématiques Question posée à l’épreuve du baccalauréat français de 2003

9 Question testée par la commission des outils d’évaluation
Un détecteur à scintillations est utilisé pour mesurer la radioactivité d’un échantillon. L’activité d’un échantillon est évaluée par le nombre d’impulsions par minute que reçoit le détecteur; elle varie avec le temps et peut être décrite par un type de fonction que tu as étudié. On te demande de construire un graphique à partir des données du tableau, puis de déterminer une fonction qui modélise le phénomène et ensuite de discuter l’adéquation de ton modèle aux données fournies. (Dans certaines versions, on fait référence au modèle exponentiel) Temps t (en jours) 30 60 90 120 150 180 210 240 270 Activité A (impulsion/min) 1000 869 797 701 571 474 417 348 291 262

10 Question testée par la commission des outils d’évaluation
Résultats négatifs des tests : Difficultés des élèves : à identifier un modèle adéquat, le cas échéant à exploiter la régularité numérique du tableau à paramétriser le modèle ou à le faire convenablement à ajuster le modèle et exploiter le tableau pour juger de son adéquation

11 Question testée par la commission des outils d’évaluation
Interviews des élèves et des professeurs qui permettent de supposer un « manque à enseigner » que l’analyse de la transposition didactique standard permettra de confirmer : « Je ne savais pas comment mettre l'énoncé et le problème demandé en rapport avec la théorie et les exercices faits en classe ». (un élève) « Avant ce test, je n'avais jamais proposé ce type d’exercices à mes élèves. Les résultats le prouvent... Il me faudra mieux préparer mes élèves à ce type d'exercices ». (un professeur)

12 Question proposée à l’épreuve 2003 du baccalauréat français
Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bactéries en présence. Dans ce (…) modèle, on note f(t) le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en millions d'individus). La fonction f est donc solution de l'équation différentielle : y' = ay (où « a » est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales). Résoudre cette équation différentielle, sachant que f(0) = N0 On note T le temps de doublement de la population bactérienne. Démontrer que, pour tout réel t positif : f(t) = N02t/T

13 Question proposée à l’épreuve 2003 du baccalauréat français
Polémique suscitée par cette question, jugée « en rupture » par rapport aux pratiques enseignantes : «  [… le problème posé] n’a rien de standard. D’abord, il essaie de refléter certaines des intentions nouvelles des programmes, en se situant dans un contexte d’évolution de population en biologie. (…) Ce qui a été fortement critiqué, c’est la façon dont le problème a été inutilement compliqué, dès le début, par l’introduction de nombreux paramètres. L’usage des paramètres est au lycée très réduit et les élèves ne sont pas habitués à effectuer des calculs impliquant plusieurs paramètres ». (M. Artigue) On retrouve ici le même « manque à enseigner »

14 Une démarche à enseigner
Dans les deux faits divers décrits, il s’agit de choisir un modèle fonctionnel parmi d’autres; le paramétrer convenablement; ajuster les paramètres; soit à partir d’un tableau ou d’un graphique, soit à partir d’une équation différentielle et de ses conditions spécifiques Traiter, si possible, des aspects proprement expérimentaux mentionnés par les « scientifiques » ou professeurs de sciences : hypothèses qui permettent la formulation de l’équation différentielle; mise à l’épreuve des paramètres comme constantes expérimentales

15 Exponentielles et Logarithmes Fonctions reines des Sciences
Evidente omniprésence de ces fonctions, à côté des fonctions trigonométriques Dans les manuels de Math : une profusion d’exemples d’application Question légitime : Les élèves sortant de l’enseignement secondaire maîtrisent-ils ces notions fondamentales ? Sont-ils formés à identifier ces familles de fonctions comme outils de modélisation ?

16 Que disent les programmes (CF) ?
Compétences (extrait) Modéliser des problèmes de manière à les traiter au moyen des fonctions logarithmique et exponentielle Interpréter un graphique en le reliant au problème qu’il modélise Dégager les propriétés communes d’une famille de fonctions Conseils méthodologiques (extrait) On traitera quelques applications, par exemple : problèmes démographiques, économiques ou scientifiques Les pgrms insistent sur problèmes, modélisation et sciences

17 Que disent les programmes (FESeC) ?
Où va-t-on ? (extrait) Ces outils permettent de résoudre des problèmes scientifiques (radioactivité, pH, acoustique, médecine, biologie), sociaux (démographie, écologie), économiques (calcul d'annuités) Résoudre un problème Interpréter un graphique en le reliant au problème qu’il modélise Résoudre un problème issu des mathématiques, des sciences, de l’économie, … au moyen des fonctions logarithmes et/ou exponentielles

18 Une transposition classique aujourd’hui
Séquence traditionnellement suivie (Math 4H et 6H) : Fonctions réciproques Exponentielle Logarithme Les réciproques = seul usage en Math 4H prévu au pgrm (Math 6: fctions trigo inverses)

19 Une transposition classique aujourd’hui
Exponentielle Rappels sur les puissances Proposition d’étendre aux exposants irrationnels Détail des propriétés (acceptées) Etude de « la » fonction Etablissement de la dérivée proportionnalité à « la » fonction définition et existence du nombre d’Euler Logarithme Définitions, propriétés, dérivée… via la fonction réciproque de l’exponentielle Propriétés: pquoi « acceptées » alors qu’n réalité « conservées »

20 Une transposition classique aujourd’hui
Equations et inéquations exponentielles et logarithmiques Etudes de fonctions Applications Désintégration radioactive Acoustique Sismologie Intérêts composés Graphiques lin/log et log/log Eq/Inéq log/exp: focus sur mécanisme de calculs, pas utilité particulière démontrée Le gros du travail: études de fonctions

21 Regards sur cette transposition
Dans l’introduction : Actes de foi répétés demandés aux élèves Nécessité du prolongement continu, propriétés Tentatives d’appel à l’intuition essais de légitimation pas toujours évidents recours à des SA et SG mais omniprésence des rationnels Difficulté des élèves à Y voir plus qu’un produit Distinguer des puissances (dérivée en ) Franchir l’obstacle : puissances négatives et fractionnaires Travailler la notion de réciproque Légitimation: 3=2^x +(cf. populations de bactéries – nombres entiers)

22 Regards sur cette transposition
Malaise vis-à-vis du mot « fonction » Peu de réflexion sur « famille » Or des possibilités sont offertes Equations et inéquations : strict aspect calculatoire ? Etude de fonction plutôt que de classes paramétrées Longue énumération d’applications Quel intérêt réel, puisque peu ou pas travaillé ? Parfois artificiel (intérêts composés) ou anecdotique (origine du jeu d’échec) – ici les SG suffisent Accepté, pas ou peu modélisé Possibilités: ds croissance/décr, dans dérivée

23 Elèves compétents ou pas ? Des résultats négatifs
Krysinska (2007) – Hypothèse On a les indices d’une absence d’enseignement relatif à la modélisation fonctionnelle et d’un rapport institutionnel adéquat aux signes qui permettent de l’outiller : graphiques, tableaux et formules paramétrées C’est le prix payé par l’importance attachée à l’étude de fonction, qui ne rend pas apte à modéliser En sciences, ce n’est pas tant l’étude de fonction qui importe que le chemin qui mène à celle-ci.

24 Des applications scientifiques à profusion
Une bien longue liste… pour se donner bonne conscience ?

25 Regards sur une application couramment proposée
Application couramment choisie comme illustration des exponentielles : la désintégration radioactive Inévitablement suivie d’exercices sur la datation par le 14C Extrait choisi : « La loi de Rutherford et Soddy décrit la désintégration des éléments radioactifs au cours du temps : Cette loi est déduite de l’hypothèse que le nombre d’atomes diminue en fonction du temps, proportionnellement au nombre d’atomes et à l’intervalle de temps  » … Réécriture rapide en : Et on ne dit que peu de chose des équas diffs

26 Regards sur une application couramment proposée
Peu de précautions prises : N est a priori un entier, t un intervalle fini Le nombre de noyaux qui se désintègrent n’est pas observable directement (on ne connaît d’ailleurs pas la quantité initiale) Il s’agit d’un phénomène aléatoire (Von Schneidler 1905, Congrès de Liège pour la radiologie) on suppose la probabilité de désintégration constante avec le temps et identique pour tous les noyaux, présents en grand nombre la rencontre des lois binomiale et de Poisson est en général pour bien plus tard N entier qui varie de façon continue ? Lambda pourrait dépendre du temps : non, pas de vieillissement, mort instantanée Dt infinitésimal ? Petit vs période Dt fini ou très cort vs periode; même pblm que vitesse instantanée

27 Regards sur une application couramment proposée
Le contexte expérimental et historique est éclipsé 1903 Rutherford et Soddy « Radioactive Change » L’activité (à l’époque, le nombre de particules émises/s) diminue avec le temps de façon prévisible l’observation expérimentale est une mesure de la variation d’un taux sur un intervalle de temps Le résultat : le taux de désintégration relatif est constant dans le temps; donc en réalité : on relie des accroissements à des accroissement s Rutherford &Soddy : C’est un phénomène complexe car on a affaire à plusieurs chaînes (familles) radioactives

28 Regards sur une application couramment proposée
La datation au 14C est également présentée sans précautions particulières, or : Elle repose sur un « principe d’actualisme » : le rapport 14C/12C est supposé constant Elle suppose qu’à la mort, il n’y a plus d’apport en 14C Elle est imprécise au-delà de plusieurs périodes, vu les petites quantités concernées Elle ignore certaines variabilités dans la production du 14C

29 Regards sur une application couramment proposée
Dans un article de 2006 (repères n° 65, IREM), sur « la mise en avant de la coopération exemplaire entre mathématiciens et physiciens qui a donné lieu à l’introduction de l’exponentielle en mathématiques à partir de l’étude de la radioactivité en physique », Ferrier pose la question : « Y a-t-il eu un mathématicien dans la salle ?» On peut également adjoindre la question réciproque : « Y a-t-il eu un physicien dans la salle ? » Il y a un danger à proposer, dans un souci louable d’interdisciplinarité, des exemples certes fondamentaux mais abordés superficiellement ou de façon réductrice

30 Regards sur une application couramment proposée
Désintégration: 2 importantes hypothèses sous-jacentes Invariance dans le temps Le nombre de noyaux N(t1+t2) restant au bout du temps t1+t2 est égal à celui restant après t2 à partir d’un stock N(t1) Proportionnalité au stock initial Si on double la quantité de matière, on double le nombre de désintégrations On en déduit la relation fonctionnelle : N(t1+t2)/N(t2)=N(t1)/N(0) Quid d’une approche basée sur les équations fonctionnelles ?

31 Equations fonctionnelles et probabilités
Une relation qui peut être revisitée par les probabilités F(t) = probabilité pour qu’un noyau se désintègre entre les instants 0 et t Ne pas vieillir : la probabilité qu’a un noyau non désintégré à l’instant t de se désintégrer dans les s unités de temps suivantes ne dépend que de s Probabilité de se désintégrer entre t et t + s = probabilité de ne pas se désintégrer entre 0 et t multipliée par la probabilité conditionnelle de se désintégrer entre t et t + s sachant que le noyau existe encore à l’instant t Probabilité de ne pas être désintégré à l’instant t : G(t + s) = G(t)G(s) avec G=1-F 1er jet; probablement simplifiable

32 Extraire et étudier les modèles
Dans une culture où il n’y a pas de limites de croissance, la vitesse d’accroissement du nombre de bactéries est proportionnelle à tout moment au nombre de bactéries existantes. Si l’on constate que ce nombre double en 4 heures, que vaudra-t-il au bout de 8 heures ? De cet énoncé « scolaire » et d’autres analogues (radioactivité, refroidissement d’un corps, … ) on fait apparaître un unique modèle : f ’(x) = k f(x)

33 Extraire et étudier les modèles
Une exploration graphique :

34 Extraire et étudier les modèles
Un modèle continu qui suppose des observations de l’ordre du discret. Par exemple, pour le nombre de bactéries, on observe des rapports constants sur de mêmes intervalles de temps :

35 Extraire et étudier les modèles
La forme exponentielle, le lien avec l’autre équation fonctionnelle et les conséquences dont :

36 Construction progressive d’un circuit théorique

37 Conclusion Construire les fonctions exponentielles et logarithmiques comme solutions d’équations fonctionnelles : pour quels élèves ou étudiants, pour quel niveau, pour quel type de cours ? Vaste sujet de débat