Mécanique générale Chapitre 2

Mécanique générale Chapitre 2
En arrière-plan: un premier modèle de bicyclette.

Contenu du chapitre 2 (1) 1. Introduction 2. Cinématique
Subdivision classique en cinématique, dynamique, statique Quelques concepts de base très utiles dans la suite Les modèles fondamentaux de la mécanique classique Typologie mathématique des grandeurs mécaniques 2. Cinématique Cinématique du point Cinématique relative Cinématique du corps rigide 3. Dynamique newtonienne Les Principes de Newton Relativité galiléenne Le concept de force Principe de d’Alembert et forces d’inertie Travail, énergie, puissance La conservation de l’énergie Mécanique céleste

Contenu du chapitre 2 (2) 4. Dynamique lagrangienne 5. Statique
Forces dissipatives Dynamique des corps rigides 4. Dynamique lagrangienne Le Principe de Moindre Action La fonction lagrangienne Les équations de Lagrange L’étude des vibrations 5. Statique Équilibre des corps et équilibre des forces Équations fondamentales: le PFS Systèmes plans: types de liens Le principe des travaux virtuels Approche lagrangienne à la statique Stabilité et bifurcation de l’équilibre 6. Bibliographie En librairie… …et sur Internet

Chapitre 2 1. Introduction
Subdivision classique en cinématique, dynamique, statique Quelques concepts de base très utiles dans la suite Les modèles fondamentaux de la mécanique classique Typologie mathématique des grandeurs mécaniques En arrière-plan: système de poulies. Galilée, Le mecaniche, env (publié en français en 1634).

Subdivision traditionnelle de la mécanique
De façon traditionnelle, la mécanique classique est subdivisée en trois branches: la cinématique, la dynamique et la statique: Cinématique: c’est l’étude géométrique du mouvement: on ne s’occupe pas de savoir pourquoi le mouvement se produit ni comment, on veut simplement le décrire. Dynamique: c’est l’étude du mouvement et des ses causes: l’objectif de la dynamique est celui d’écrire les équations du mouvement d’un système mécanique une fois connues les actions et les liaisons qui agissent sur celui-ci. Statique: c’est l’étude de l’équilibre des corps; l’objectif de la statique est de donner les conditions qui assurent l’équilibre d’un système de corps rigides et de trouver la distribution des forces qui assurent l’équilibre une fois connues les liaisons qui agissent sur celui-ci.

Concepts de base (1) Quels sont les «objets» sur lesquels est bâtie la mécanique? Comme toute autre science ou discipline, il y a des concepts sur lesquels la mécanique se base, ou qui reviennent très souvent dans le développement de cette science. Voyons donc quels sont ces objets et concepts de base. D’abord, en mécanique classique, tout phénomène se produit dans le temps, qui est une variable indépendante; ensuite, on a, en gros, besoin de spécifier le lieu, l’objet et la raison du mouvement. Voyons ces trois «objets » ou concepts de base.

Concepts de base (2) Le lieu: le lieu de la mécanique classique est l’espace euclidien. Rien de mystérieux, celui-ci est ce n’est rien d’autre que l’espace ordinaire qui nous entoure, dans lequel nous tous sommes immergés et dans lequel tout phénomène de la mécanique classique se passe. L’espace euclidien est composé de points géométriques et il a au moins trois caractéristiques: il a trois dimensions ; il n’a pas un endroit privilégié (relativité galiléenne: tout endroit dans l’univers est mécaniquement équivalent); la mesure de la distance se fait à l’aide du théorème de Pythagore.

Concepts de base (3) z p o y x
S’il n’y a pas de lieu privilégié, il est quand même commode, par exemple pour les calculs, de pouvoir repérer la position d’un objet. Le concept de repère est assez naturel, et le plus utilisé, mais pas le seul, est le repérage cartésien: il est composé par un point (origine) et par trois droites orientées mutuellement perpendiculaires (axes). La position d’un point est déterminée par ses trois coordonnées cartésiennes: x,y,z. La relativité galiléenne assure qu’il n’y a pas de repère privilégié (en gros, la Terre ce n’est pas le centre de l’Univers, par exemple, ni le Soleil, contrairement à ce que Newton même pensait …) x y z o p

Concepts de base (4) L’objet: l’objet, mieux, les objets, de la mécanique classique sont les corps matériels. Un corps matériel a deux caractéristiques: il occupe une région de l’espace euclidien; il a une masse. La masse est une propriété fondamentale des corps; elle est une quantité positive et additive: la masse de deux corps est la somme des masses des deux corps! Selon les propres mots de Newton (qui a définitivement fait la distinction entre masse et poids), «La quantité de matière est la mesure de cette même (matière) […]. C’est cette quantité que j’appelle avec le nom de corps ou masse; elle est proportionnelle au poids […]. ». (Phil. Nat. Princ. Math., Définition I, 1687)

Concepts de base (5) La raison: la raison, mieux, les causes du mouvement, ce sont les forces. Définir qu’est-ce que c’est qu’une force est difficile, et sa nature intime encore on ne la connaît pas. Finalement, définir une force comme une cause du mouvement c’est une définition qui peut satisfaire, entre certains limites, les besoins de la mécanique classique (attention, ce n’est pas une tautologie!). Il existe plusieurs types de forces: l’attraction gravitationnelle (le poids sur la Terre), la force électrostatique, la force nucléaire, la force de Lorentz, la force de frottement, la force élastique, la résistance hydro- ou aéro-dynamique, la poussée d’Archimède etc.

Les modèles fondamentaux (1)
Pour établir ses lois et trouver ses résultats, la mécanique classique, comme tout autre discipline, fait usage de modèles. On peut définir un modèle comme une idée abstraite qui a la caractéristique de représenter suffisamment bien, d’un point de vue mathématique, les résultats de l’expérience. En mécanique classique il y a trois modèles fondamentaux qui reviennent souvent: le point matériel; les systèmes discrets; les corps continus, rigides ou déformables. Ces trois modèles ont une caractéristique commune: ils représentent un (ou plusieurs) corps matériels, et donc ils ont une masse.

Un point matériel c’est un point doté d’une masse; en gros, c’est une masse ponctuelle. Avec ce modèle on peut représenter aussi bien une planète qu’une étoile, un atome qu’un électron; en fait, cela dépend du problème à traiter. Par exemple, si l’on veut examiner le mouvement de la Terre autour du Soleil, le modèle de point matériel est bien adapté; si, par contre, on veut examiner le mouvement complet de la Terre, ce modèle n’est plus suffisant, il faut le perfectionner, l’enrichir. Les caractéristiques d’un point matériel sont donc deux: sa position et sa masse.

Un système discret c’est un ensemble de points matériels en interaction mutuelle. Des exemples typiques de systèmes discrets sont le systèmes planétaires (système solaire) ou les modèles particulaires de la matière (modèle atomique élémentaire). La description du mouvement d’un système discret est considérablement plus compliquée que celle d’un seul point, car il faut connaître à chaque instant la position de tous les points. L’idée est alors celle de décrire le mouvement par le biais de quantités «moyennes», par exemple par l’introduction du concept de barycentre. La masse alors n’est plus le seul paramètre qui prend en compte l’inertie du système; on y reviendra…

Un corps continu est, comme déjà dit, un corps qui a une masse et qui occupe une région de l’espace euclidien. Il faut tout de suite faire une critique importante à ce modèle: à l’échelle microscopique, le continuum n’existe pas (par exemple, si l’on considère un atome d’hydrogène de telle sorte que son noyau serait aussi grand qu’une orange, en proportion l’orbite de l’électron qui lui tourne autour aurait les dimension d’un terrain de football…). Toutefois, à l’échelle macroscopique, où les phénomènes microscopiques sont inessentiels, le modèle de milieu continu est parfaitement correct, et l’expérience le confirme.

Deux sont les modèles de corps continu utilisés: les corps rigides et les corps déformables. A la rigueur, tout corps continu est déformable, mais encore une fois, l’idée de corps rigide est commode et tout à fait pertinente dans beaucoup de problèmes. Par exemple, pour revenir à l’exemple de la Terre: si l’on veut décrire tous les mouvements de la Terre et, entre autres, les conséquences sur les saisons de la position de la Terre par rapport au Soleil, le modèle de point matériel ne suffit plus, il faut passer au modèle de corps rigide, où la Terre peut être représentée suffisamment bien par une sphère. Si, par contre, on veut faire de la tectonique pour étudier les mouvements de la croûte terrestre, ou encore si l’on veut étudier l’influence de la Lune sur la Terre (marées marine et terrestre) alors il va falloir considérer la Terre comme un corps déformable.

La mécanique générale classique s’occupe des corps rigides, alors que la mécanique des milieux continus s’occupe des corps déformables, sur lesquels on reviendra au chapitre 3. Une caractéristique essentielle d’un corps rigide par rapport à un point matériel est que pour déterminer sa position il ne suffit plus de donner 3 coordonnées: les rotations entrent en jeu, avec pas mal de complications… x y z o q

Typologie des grandeurs mécaniques (1)
Les grandeurs mécaniques (et plus en général physiques) peuvent être de type différent, non seulement par leurs unités de mesure, mais aussi, et surtout, d’un point de vue mathématique. Les grandeurs mécaniques, en fait, peuvent être de trois types: scalaires, vecteurs et tenseurs. Un scalaire est une grandeur spécifiée par un nombre, qui la définit complètement; exemples typiques de grandeurs scalaires sont la masse, la pression, la température, l’énergie etc. Toutefois, on s’est vite rendus compte que certaines grandeurs ne peuvent pas être spécifiées à l’aide d’une simple valeur numérique, parce qu’elles représentent quelque chose de plus riche (et de plus compliqué…).

Un exemple typique est la position d’un point par rapport à un repère donné: la position d’un point p est déterminée par rapport à l’origine o par le vecteur position r: c’est le déplacement en ligne droite qui amène de o à p (en latin vector c’est ce qui transporte). Or, r n’est pas déterminé par un seul nombre, mais par 3 grandeurs, ses composantes cartésiennes (qui, dans ce cas, coïncident avec les coordonnées de p). Ces trois composantes résument tous les aspects d’une grandeur vectorielle: sa longueur, sa direction et son orientation. x y z o p r rz rx ry

Or, les vecteurs sont nécessaires à décrire des grandeurs «directionnelles»; des exemples classiques, outre la position, sont la vitesse et l’accélération, qui, comme on va voir, se trouvent de façon naturelle une fois introduit le concept de vecteur position, et les forces. La reconnaissance du caractère vectorielle des forces est un point important de la mécanique classique et en constitue un véritable postulat. Chaque force est donc caractérisée non seulement par sa valeur, mais aussi par sa direction et orientation; en générale, elle sera décrite, comme toute autre grandeur vectorielle, par ses composantes.

Toutefois, le concept de vecteur est encore insuffisant pour décrire certaines grandeurs mécaniques. En effet, il faut introduire des objets mathématiques plus riches (les tenseurs), pour pouvoir décrire des grandeurs mécaniques qui sont plus riches. Le nom vient du latin tensio, qui signifie contrainte (stress en anglais) parce que le premier tenseur à avoir été introduit a été celui de la contrainte, qui mesure les efforts à l’intérieur d’un corps déformable (on y reviendra…). Plusieurs grandeurs mécaniques doivent être représentées par un tenseur: les rotations, l’état d’inertie, l’état de déformation et contrainte d’un corps déformable, le type de comportement etc.

A vrai dire, toute grandeur est un tenseur! Scalaire: tenseur d’ordre 0: 30= 1 → 1 composante, 0 indices. Vecteur: tenseur d’ordre 1: 31= 3 → 3 composantes, 1 indice. Tenseur d’ordre 2: 32= 9 → composantes, 2 indices. De la même façon, on peut introduire des tenseurs d’ordres supérieurs…

Les possibles opérations algébriques avec ces trois types de grandeurs sont multiples. Les deux plus importantes opérations vectorielles sont les produits scalaire (ou interne) et vectoriel (ou externe). Le produit scalaire est simple: on multiplie les composantes correspondantes de deux vecteurs et on en fait la somme; le résultat est un scalaire (d’où le nom donné au produit): Exemple: Plusieurs grandeurs scalaires en mécanique sont en effet le résultat d’un produit scalaire (typique: l’énergie cinétique).

Le produit vectoriel est un peu plus compliqué; comme son nom l’indique, le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur, orthogonal aux deux vecteurs donnés, dont les composantes sont données par les relations suivantes: Exemple: Plusieurs grandeurs se calculent comme produit vectoriel (typique: le moment d’une force). Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, alors qu’il sont parallèles si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul.

Avec les tenseurs, les opérations possibles sont multiples. Ici, on a besoin de deux opérations en particulier: l’opération sur un vecteur: un tenseur appliqué à un vecteur donne un vecteur selon la règle suivante: le produit scalaire: le produit scalaire entre deux tenseurs donne un scalaire qui se calcule comme le produit scalaire entre vecteurs, à savoir en faisant la somme du produit des composantes homologues:

Les opérations vues ci-dessus peuvent être écrites d’une autre façon, introduite par Einstein: avec les indices, en considérant qu’il y a sommation par rapport à l’indice répété. Donc, les opérations vues deviennent: produit scalaire de vecteurs: opération d’un tenseur sur un vecteur (avec ej on indique les vecteurs direction des axes): produit scalaire de tenseurs: Pour le produit vectoriel c’est plus compliqué, car il faudrait introduire des tenseurs du 3ème ordre.

Un tenseur particulier est le tenseur identité I: il ne change pas le vecteur auquel il est appliqué. En fait, le tenseur identité est le même dans tout repère: En notation indicielle, I est représenté par le delta de Kronecker, dij, défini de la façon suivante:

Il faut introduire aussi le concept de moment d’un vecteur appliqué. Un vecteur est dit appliqué s’il est associé (appliqué!) à un point, tout simplement! Pour les vecteurs appliqués on peut introduire un nouveau vecteur, dit le moment du vecteur donné par rapport à un point fixé o, et défini par le produit vectoriel (le vecteur p-o est le vecteur qui va de o à p): u p o Mo

On parle de moment aussi pour un système de vecteurs particulier et qu’on rencontre assez souvent: le couple. Un couple de forces est, comme le nom l’indique, un système de deux forces égales et contraires, mais en général pas appliquées sur la même droite d’action. Le couple se mesure par son moment: Le point de calcul de M n’a pas d’importance, car la somme (la résultante) des forces est nulle. b est le bras de levier (distance entre les deux vecteurs). M u b p o u

Chapitre 2 2. Cinématique Cinématique du point Cinématique relative
Cinématique du corps rigide En arrière-plan: schéma du 1er moteur à explosion. Barsanti et Matteucci, 1854.

Cinématique du point (1)
Mécaniquement, la vitesse d’un point matériel mesure la variation de sa position dans l’unité de temps. Cette mesure est instantanée, c’est-à-dire faite par rapport à un moment précis; évidemment, cette mesure, la vitesse, peut changer à chaque instant. La vitesse est un vecteur (car différence de vecteurs position). Mathématiquement: x y z o p(t) r(t) v(t) p(t+Dt) r(t+Dt)

L’accélération, quant à elle, mesure la variation de vitesse dans l’unité de temps. Comme pour la vitesse, et pour les mêmes raisons, l’accélération est une quantité vectorielle et instantanée: elle varie, en général, à chaque instant. Mathématiquement: x y z o a(t) v(t) p(t) r(t) v(t+Dt) r(t+Dt) p(t+Dt)

L’accélération est nulle dans un seul cas: le mouvement rectiligne uniforme; seulement dans ce cas, en fait, la vitesse ne change pas, ni en intensité ni en direction. Dans tous les autres cas, l’accélération peut se décomposer en deux parties: l’accélération tangentielle, at, qui change l’intensité de la vitesse; l’accélération normale, an, qui change la direction de la vitesse. an(t) at(t) a(t) p(t)

Cinématique relative (1)
La cinématique relative étudie le mouvement observé par deux observateurs (repères) différents, en mouvement relatif l’un par rapport à l’autre. Par exemple, un point matériel immobile par rapport à un observateur peut être en mouvement par rapport à un autre (assis dans un fauteuil d’un train qui démarre, nous ne voyons pas bouger le train; par contre, quelqu’un sur le quai nous voit bien en mouvement!). La cinématique relative donne donc les lois qui permettent la composition de vitesse et accélération, c’est-à-dire les lois qui permettent de passer d’un repère à l’autre (ou, ce qui revient au même, de connaître vitesse et accélération dans un repère lorsqu’on les connaît dans l’autre et que l’on connaît aussi le mouvement relatif des deux repères).

Loi de composition des vitesses (1ère loi de la cinématique): avec: v la vitesse dans le repère 1; v’ la vitesse dans le repère 2; v0 la vitesse de 2 par rapport à 1; w la vitesse de rotation de 2 par rapport à 1; r’ la position du point par rapport au repère 2. p r r’ v v’ r0 x 2 y z o v0 w x1 y1 z1 o1 x 2 y z o p r r’ v v’ r0 v0 w Vitesse absolue Vitesse relative Vitesse d’entraînement

Loi de composition des accélérations (2ème loi de la cinématique): avec: a l’accélération dans le repère 1; a’ l’accélération dans le repère 2; a0 l’accélération de 2 par rapport à 1; l’accélération de rotation de 2 par rapport à 1. Accélération absolue Accélération relative Accélération d’entraînement Accélération centrifuge Accélération de Coriolis

Cinématique des corps rigides
Dans les cas des corps rigides, donc de corps qui ont des dimensions finies, les rotations entrent en jeu, comme déjà vu. Les caractéristiques fondamentales d’une rotation sont la conservation des dimensions et de la forme de chaque objet, donc des distances et des angles. L’objet mathématique capable de représenter une telle transformation est un tenseur particulier: le tenseur rotation. Au XVIIIème siècle, Euler montre que tout mouvement d’un corps rigide ayant un point fixe est une rotation. Chasles, ensuite, montre que le mouvement le plus général d’un corps rigide est la superposition de deux mouvements particuliers: une rotation autour d’un point plus une translation de celui-ci. Dans les cas des mouvements plans, on montre l’existence, à chaque instant, d’un point particulier: le centre instantané de rotation (Cv). Il a la propriété d’être instantanément à repos et donc, par le théorème d’Euler, le corps tourne autour de ce point, à un instant donné (par exemple, pour une roue qui roule, Cv est le point de contact avec le sol).

Chapitre 2 3. Dynamique newtonienne Les Principes de Newton
Relativité galiléenne Le concept de force Principe de d’Alembert et forces d’inertie Travail, énergie, puissance La conservation de l’énergie Mécanique céleste Forces dissipatives Dynamique des corps rigides En arrière-plan: copie personnelle de Newton des Principia (1687).

Les Principes de Newton (1)
Newton énonce ses trois fameux Principes dans son œuvre, les Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (plus simplement, les Principia, justement!) en 1687. En fait, le traité s’ouvre avec les Principes, et tout ce qui suit ce n’est, en quelque sorte, que l’application de ces principes. Le mérite de Newton est celui d’avoir compris la nécessité de fonder la mécanique sur des principes ultimes, de les avoir identifiés et énoncés de façon claire. A juste titre, on appelle newtonienne la dynamique qui prend comme point de départ, comme bases, les principes de Newton (et donc les concepts qui leur sont associés, en particulier celui de force). En s’appuyant sur ces trois principes, Newton réussit à résoudre un grand nombre de problèmes, mais surtout, il ouvre définitivement la voie à la nouvelle science, fondée, comme la géométrie euclidienne, sur des axiomes (les Principes) et sur une construction logique et non contradictoire, outre que sur l’observation de l’expérience. En arrière-plan: la page des Principia où Newton énonce les deux premiers principes (1687).

En 1687, le bond en avant pour l’humanité est énorme, le retentissement de la théorie newtonienne immense: la révolution newtonienne prépare et anticipe le siècle des lumières. Pour la première fois dans l’histoire de l’humanité, la science s’affranchie de la philosophie et la devance. En particulier, les résultats trouvés par Newton en mécanique céleste mettent fin à des millénaires de spéculations astronomiques fausses et parfois totalement farfelues, en donnant un ordre mécanique et mathématique à la cosmologie (il faudra atteindre Einstein pour aller plus loin…). Newton était non seulement parfaitement conscient de l’importance d’établir des principes sur lesquels fonder la dynamique, mais aussi très fier de les avoir identifiés! En fait, dans les Principia il énonce solennellement ses trois Principes, absolument certain de leur importance et de leur universalité. Voyons donc ces trois Principes sur lesquels la dynamique classique se fonde.

1er Principe (de l’inertie) Chaque corps reste immobile ou se déplace de mouvement rectiligne uniforme s'il n'est pas poussé par des forces appliquées. En arrière-plan: le Premier Principe dans l’édition originale des Principia (1687).

2ème Principe (loi du mouvement) Le changement du mouvement est proportionnel à la force, et il en a la même direction. En arrière-plan: le Deuxième Principe dans l’édition originale des Principia (1687). F= m a

3ème Principe (d’action et réaction) Pour chaque action il y a toujours une action égale et contraire: les actions que deux corps s'échangent sont égales et opposées. En arrière-plan: le Troisième Principe dans l’édition originale des Principia (1687).

Le premier Principe postule l’existence de points isolés, non soumis à l’action des forces. Non seulement, à bien voir il postule aussi l’existence d’observateurs (repères) particuliers, dits galiléens ou inertiels. Ce sont des observateurs qui ne sont pas accélérés, et donc qui se déplacent de mouvement rectiligne uniforme. Le deuxième Principe établi une relation entre les mesures d’espace, temps, force et masse, autrement indépendantes. Le deuxième Principe donne l’effet de la force sur le mouvement: il établi qu’une force change le mouvement, donc la vitesse: de ce fait, la force est proportionnelle à l’accélération (et pas, comme d’autres pensaient, à la vitesse) la constante de proportionnalité étant la masse (en fait, c’est l’accélération qui mesure les changements du mouvement, pas la vitesse). Le troisième Principe établi une méthode pour le calcul des actions mutuelles; il faut noter que lorsqu’on dit que deux forces sont opposées on sous-entend aussi qu’elles agissent sur la même droite, celle qui passe par les deux points d’application des deux forces.

Relativité galiléenne (1)
La relativité galiléenne établi qu’il n’existe pas un observateur privilégié, et donc un repère fondamental dans l’Univers; cela peut se comprendre à partir des Principes de Newton. Considérons deux observateurs galiléens; comme une force est invariante par rapport à l'observateur, c’est-à-dire que son action ne dépend pas de qui l’observe, ses effets, par le deuxième principe, seront les mêmes: les deux observateurs mesurent la même accélération! On dit que ces deux repères sont mis en relation par une transformation galiléenne: il se déplacent l’un par rapport à l’autre d’un mouvement rectiligne uniforme. Or, si les deux observateurs mesurent la même accélération, donc les mêmes effets sur le mouvement, ils sont équivalents d’un point de vue mécanique: il n’y a pas moyen de distinguer entre les deux observateurs, parce que les effets d'une force sont les mêmes!

Relativité galiléenne (2)
Donc, le concept de repère fixe n’a pas de sens physique, voire il n’existe pas un observateur privilégié, par rapport auquel écrire les lois du mouvement et tous les observateurs galiléens sont équivalents: c’est la relativité galiléenne (aucun lieu n’est privilégié dans l’Univers!). Il faut remarquer que le deuxième principe n’est valable que pour les observateurs galiléens: en fait, si on veut un lien entre une force, qui est indépendante de l’observateur, et son effet, l’accélération, il faut que celle-ci soit mesurée par un observateur qui n’est pas accéléré, autrement la mesure serait faussée. En plus, une telle mesure sera la même par rapport à tous les observateurs qui s’obtiennent par transformation galiléenne. Les observateurs galiléens, dont on postule l’existence dans le premier Principe, sont donc des observateurs particuliers pour l’écriture des lois du mouvement. On verra que ces lois peuvent être écrites même pour un observateur non galiléen, donc accéléré, pourvu qu'on tienne compte des forces d'inertie.

Le concept de force (1) Il faut revenir un moment sur le concept de force. Son rôle mécanique est spécifiée par le deuxième Principe: les forces sont les causes de la variation du mouvement. Toutefois, ce principe n’explique pas qu’est-ce que c’est qu’une force. Newton considère le concept de force comme primitif et il admet que les forces se composent selon la règle du parallélogramme, donc qu’une force est une grandeur vectorielle. Ceci constitue, à bien voir, un postulat fondamental de la mécanique classique. La nature des forces reste néanmoins inexpliquée, à savoir ce n’est pas claire la nature ultime, physique, d’une force. Aujourd’hui, nous savons qu’il existent quatre types fondamentaux de forces: la force électrostatique, les forces nucléaire faible et forte et la force gravitationnelle; les scientifiques pensent de pouvoir les réunir en une seule et unique force fondamentale.

Le concept de force (2) En mécanique classique, toutefois, on est intéressés par les effets macroscopiques d’une force et par sa description par un modèle (une formule) mathématique. En général, on admet qu’une force dépend de la position, de la vitesse de son point d’application et du temps. Si une force ne dépend que de la position, elle est dite positionnelle. Les forces positionnelles occupent une place importante en mécanique, parce que certaines forces très importantes sont des forces positionnelles. Exemples de force positionnelle sont la force d’attraction gravitationnelle, la force électrostatique, la force élastique. Un exemple de force qui dépend de la vitesse est la force de traînée, qui s’oppose à l’avancement d’un corps solide dans un milieux fluide. Un exemple de force qui dépend de la position et du temps est celui de la force viscoélastique (les athlètes qui font du stretching la connaissent bien…).

Le concept de force (3) La force de gravitation universelle: proposée par Newton dans la troisième partie des Principia, elle affirme que deux corps matériels s’attirent avec une force mutuelle qui est proportionnelle aux masses (m1 et m2) et inversement proportionnelle au carré de la distance (d). Mathématiquement: G est la constante de gravitation universelle (c’est une constante très petite, elle vaut ×10-11 kg-1m3s-2). d m1 -f f m2 e Réaction de m2 sur m1 Action de m1 sur m2

Le concept de force (4) La force de gravitation universelle existe toujours, par le fait qu’un corps a une masse, donc par le simple fait qu’il existe. La nature ultime de la force gravitationnelle n’était pas claire à Newton: il ne savait pas pourquoi ça marche comme ça, mais il avait bien compris que sa formule de la gravitation universelle expliquait la réalité des choses. En arrière-plan: la dernière page de l’édition des Principia de 1713. «Je n’ai toujours pas pu déduire des phénomènes la raison de ces propriétés de la gravité, et je ne formule pas d’hypothèses.»

Le concept de force (5) de la surface terrestre, cette
Une simplification de l’action de la force d’attraction gravitationnelle est la force poids: si l’on considère les corps au voisinage de la Terre, m1 est connu (c’est la masse de la Terre, ≈ 5.9 × 1024 kg), d aussi (c’est le rayon de la Terre, ≈ 6370 km ) et la direction est toujours vers le centre de la Terre, donc selon la verticale du lieu. Tout calcul fait, on trouve une force verticale vers le bas donnée par où g est le vecteur accélération de gravité, dont la valeur est de 9.81 m/s2. Tant qu’on reste au voisinage de la surface terrestre, cette approximation de la force de gravitation universelle est correcte. m g z

Le concept de force (6) La force de Coulomb: c’est la force avec laquelle deux charges électriques interagissent. La force de Coulomb est semblable à celle d’attraction gravitationnelle, mais à la place des masses il y a les charges électriques q et elle peut être d’attraction ou de répulsion: ε est la permittivité électrique du vide (ε= 8.854×10-12 C2Nm-2). Charges de signe identique Charges de signe opposé d q1 -f q1 -f q2 f f e Réaction de q2 sur q1 Réaction de q2 sur q1 Action de q1 sur q2 Action de q1 sur q2

Force nécessaire à déformer le ressort
Le concept de force (7) La force élastique: c’est la force exercée par un ressort lorsqu’on cherche à varier sa longueur. Cette force est toujours directe en direction opposée à celle du déplacement et elle est proportionnelle à la variation de longueur du ressort: k est la constante élastique du ressort. On retrouve ce type de force dans plusieurs mécanismes mais pas seulement: les élastiques, les cordes, les tendons que nous avons au bout des muscles sont autant d’exemples de ressorts de traction. Force élastique f e Force nécessaire à déformer le ressort

Principe de d’Alembert et forces d’inertie (1)
On a déjà remarqué que le 2ème Principe n’est valable que par rapport à un observateur galiléen; et pour les autres observateurs, ceux qui sont accélérés, les lois de la physique ne sont pas valables? En fait, on obtient facilement une loi semblable au 2ème Principe même pour les observateurs galiléens, au prix d’une modification. En fait, de la 2ème loi de la cinématique et du 2ème Principe on tire facilement que pour un observateur (relatif) non galiléen il est On retrouve une équation analogue au 2ème Principe, mais avec des termes en plus. Donc, tout se passe, pour un observateur non galiléen, comme si, à côté des forces, agissaient d’autres force, dites apparentes ou d’inertie. C’est le célèbre Principe de d’Alembert (qui n’est pas un vrai principe, mais plutôt une lecture particulière du 2ème Principe de Newton).

Voyons ces forces d’inertie. Force d’entraînement: C’est une force toujours opposée à l’accélération de l’observateur; c’est elle qui vous colle au siège lorsque le véhicule dans lequel vous voyagez accélère, et qui vous projette en avant lorsqu’il freine. Force centrifuge: Cette force est celle qui vous pousse vers l’extérieure d’une courbe quand vous prenez un virage, ou qui fait équilibre à la force d’attraction gravitationnelle pour garder une planète ou un satellite artificiel en orbite.

Force de Coriolis: Cette force est liée à un mouvement de l’objet par rapport à un observateur qui tourne; c’est cette force qui est responsable de la formation des perturbations météorologiques en forme cyclonique et… essayer d’avancer sur un manège qui tourne! Force liée à l’accélération angulaire: Cette force n’existe que si l’observateur accélère en tournant. La caractéristique commune à toutes ces forces est qu’elles ne sont ressenties que par un observateur non galiléen.

Travail, énergie, puissance (1)
En mécanique, outre les forces et les déplacements, on introduit d’autres quantités qui ont une importance physique et qui sont utiles dans la solution des problèmes et l’interprétation des phénomènes. Travail mécanique d’une force (L ): c’est le produit scalaire entre la force et le vecteur déplacement de son point d’application; sur un déplacement de longueur infiniment petite, il est Pour un parcours de longueur fini, entre A et B, il est A ds f ds f ds f ds f B

Énergie: en mécanique, on dénombre deux types d’énergie: énergie cinétique (T); c’est l’énergie liée au mouvement, et à la masse énergie potentielle: c’est l’énergie qui a une force (souvent on dit que c’est l’attitude qui a une force à accomplir du travail); pour les forces vues, on a

La puissance d’une force est le produit scalaire entre la force et la vitesse de déplacement de son point d’application: Si l’on se rappelle la définition de vitesse, on voit qu’on peut interpréter la puissance comme le travail fait par la force dans l’unité de temps. Ces trois grandeurs sont réunies dans un théorème fondamental de la mécanique: le théorème des forces vives ou de la puissance: Ce théorème affirme que pour varier l’état du mouvement (T) d’un corps, il faut faire du travail mécanique, dépenser de la puissance.

La conservation de l’énergie (1)
Les forces qu’on a vu en précédence, ont une caractéristique commune: elles sont conservatives. Cet attribut vient du fait que pour les forces conservatives on démontre une propriété fondamentale, la conservation de l’énergie mécanique totale: Ce théorème affirme que le mouvement d’un système soumis à des forces conservatives se produit de sorte à conserver l’énergie totale du système E, somme de l’énergie cinétique et de toutes les énergies potentielles des forces appliquées. Ce résultat dérive d’une propriété mathématique des forces: elles dérivent d’un potentiel U (qui est l’opposé de V).

La conservation de l’énergie est une propriété fondamentale de la mécanique. A bien voir, elle statue que l’énergie d’un système se transforme toujours, sans se dissiper jamais (c’est une espèce d’équivalent du principe de Lavoisier de la chimie). De plus c’est justement cette transformation continue d’énergie cinétique en énergie potentielle, et vice-versa, qui produit le mouvement. Les applications de ce principe en mécanique (qu’en réalité on démontre, et qui n’a donc pas les caractéristiques d’un postulat) sont très nombreuses, et grâce à ce principe on peut facilement résoudre un grand nombre de problèmes.

Un exemple classique est celui de la vitesse de chute d’un corps de masse m qui se trouve à l’hauteur h: au début du mouvement sa vitesse est nulle, donc son énergie cinétique aussi, et son énergie potentielle est V1=mgh; à son arrivé à terre, son énergie potentielle est nulle et son énergie cinétique est la conservation de l’énergie donne alors: Ce résultat s’appelle vitesse de Torricelli, du nom de l’élève de Galileo qui l’a trouvé. Il nous dit, entre autres, que la vitesse de chute d’un corps ne dépend pas de la masse de celui-ci, comme d’ailleurs Galileo même l’avait déjà montré dans ses célèbres expériences de la chute des corps depuis le sommet de la Tour de Pise.

Voyons comment interpréter ce résultat. Au début, toute l’énergie E est sous forme potentielle, V; cette valeur E est disponible à chaque instant du mouvement; une fois le mouvement démarré, V diminue au profit de T, qui augment de sorte à ce que E reste constante; quant à la vitesse v, elle est proportionnelle à la racine de la position sur la verticale, h. E v T V m h g z h

Mécanique céleste Une typique force conservative est la force de gravitation universelle. Dans ce cas, l’utilisation des lois fondamentales de la mécanique a trouvée une application fondamentale dans l’étude de la mécanique céleste, c’est-à-dire des corps célestes, et en particulier des planètes du système solaire. Newton a pu ainsi démontrer, en particulier, les trois lois de Kepler: l’orbite de toute planète est elliptique et le Soleil occupe un des deux foyers; le rayon position balaye aires égales en temps égaux; le rapport entre le cube du demi grand-axe a de l’orbite et le carré de la période de révolution t est constant (et à peu près la même constante pour toutes les planètes). A Dt A Dt 2a

Forces dissipatives (1)
Pas toutes les forces en Nature sont conservatives; parmi celles qui ne le sont pas, une place importante occupent les forces dissipatives. Comme leur nom l’indique, ce sont des forces qui dissipent de l’énergie, laquelle donc non seulement ne se conserve pas, mais elle diminue toujours en leur présence. Deux forces dissipatives particulièrement importantes sont la force de frottement et la force visqueuse. Ces deux forces sont pratiquement présentes en beaucoup d’applications techniques: joints, systèmes de traction, amortisseurs etc.

Force de frottement: elle est donnée par la loi de Coulomb: La 1ère est la loi de frottement statique: la force de frottement est une force dont la valeur est au maximum proportionnelle à la force de serrage N entre les deux surfaces, m étant le coefficient de frottement statique, qui dépende de l’état des surfaces à contact. La 2ème est la loi de frottement dynamique: la force de frottement pendant le mouvement est en direction contraire à la vitesse et encore proportionnelle à N, par le biais du coefficient de frottement dynamique n (généralement, n < m ).

La force visqueuse est une force du type Elle est donc une force proportionnelle et opposée à la vitesse, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient d’amortissement c. Un exemple d’application des forces visqueuse est celui d’une suspension de voiture: c’est un dispositif constitué par un ressort et un amortisseur qui travaillent en parallèle: le ressort soutient le poids de la voiture alors que l’amortisseur réagit aux changements rapides dus aux irrégularités de la chaussée. k c

Dynamique des corps rigides (1)
Dans le cas des corps rigides, la dynamique se complique par le fait qu’il faut prendre en compte les rotations. De ce fait, la masse n’est plus la seule quantité capable de décrire l’inertie d’un corps, il y a aussi les moments d’inertie: le moment d’inertie Jx d’un corps par rapport à une droite x est la quantité x W r dm Jx prend en compte la distribution de la masse autour de x: à parité de masse totale, Jx augmente avec l’éloignement de la masse de x.

Euler a déterminé quelles sont les équations fondamentales de la dynamique d’un corps rigide Avec les indices 1, 2 et 3 on indique les composantes par rapport aux axes de la vitesse angulaire et de sa dérivée, et du moment des forces appliquées, mais aussi les moments d’inertie. Ces équations sont plutôt compliquées, mais d’ailleurs le problème n’est pas simple!

Une application importante de ces équations est l’étude de la dynamique des gyroscopes. Un gyroscope est un objet qui a un axe de symétrie cylindrique, autour duquel il peut tourner (p. ex. une toupie!). Les gyroscopes ont des applications importantes: on les utilise pour stabiliser le mouvement d’un système (l’axe de rotation d’un gyroscope est stable); ça explique pourquoi on peut aller en vélo tandis que c’est si difficile faire du sur-place; dans la boussole gyroscopique: elle pointe toujours vers le Nord exact. Un gyroscope particulier est la Terre! Les équations des gyroscopes expliquent un phénomène bien connu, la précession des équinoxes. En fait, la Terre tourne autour de son axe lequel à son tour décrit un cône dans l’espace en ans.

Chapitre 2 4. Dynamique lagrangienne Le Principe de Moindre Action
La fonction lagrangienne Les équations de Lagrange L’étude des vibrations En arrière-plan: frontispice de l’édition originelle de la Méchanique Analytique de Lagrange, 1788.

Le Principe de Moindre Action (1)
Les fondements de la mécanique lagrangienne se trouvent dans un principe proposé pour la 1ère fois par Maupertuis et élaboré successivement jusqu’à Hamilton, qui en donna la version définitive. Il s’agit du Principe de Moindre Action: selon ce Principe, tout mouvement en Nature se produit en sorte à minimiser une quantité scalaire appelée action. D’un point de vue théorique c’est un bouleversement par rapport à l’approche newtonienne, et cela pour plusieurs raisons: d’abord, c’est un principe de minimum; en quelque sorte, on statue ici que la Nature est économe: elle fait tout en «dépensant» le minimum; toute la dynamique peut être fondée sur ce principe, qui est donc alternatif aux Principes de Newton; ensuite, on se base sur une seule quantité scalaire, l’action; avec des manipulations mathématiques, à partir de cette quantité on récupère toutes les composantes de l’équation du mouvement, qui est vectorielle.

La fonction lagrangienne
La quantité scalaire appelée action est définie par La fonction L qui apparaît sous intégrale est la fonction lagrangienne; pour les systèmes conservatifs, La lagrangienne est donc une fonction qui s’apparente à une énergie. L est fonction des coordonnées lagrangiennes q et des leurs dérivées temporelles , outre que du temps. Les coordonnées lagrangiennes sont des paramètres qui déterminent la configuration d’un système.

Les équations de Lagrange (1)
La minimisation de la fonctionnelle de l’action donne les équations du mouvement (la technique mathématique employée est celle du calcul des variations; il s’agit d’écrire l’équation d’Euler-Lagrange de la fonctionnelle de l’action). Les équations de Lagrange sont: Il y a autant d’équations que le nombre de coordonnées lagrangiennes (les degrés de libertés du système). Donc les équations de Lagrange permettent d’écrire une équation du mouvement pour chaque coordonnée lagrangienne du système et de déterminer ainsi la configuration du système à chaque instant. L’avantage de cette approche, par rapport à celle de Newton, est sa simplicité, efficacité et automaticité: il ne s’agit que d’écrire la lagrangienne, «le reste ne sera plus qu'une affaire de pur calcul» (selon les propres mots de Lagrange).

Les équations de Lagrange (2)
Un exemple pour montrer la démarche: le pendule. Le système a un seul degré de liberté; on choisit l’angle q comme coordonnée lagrangienne (q représente, par sa valeur, une configuration possible du système, une position du pendule). La lagrangienne du système est La seule équation de Lagrange (de mouvement) est q x y l , M m g o Sa solution donne ce qu’on appelle la loi horaire, c’est-à-dire la fonction qui donne les configurations du système en fonction du temps.

L’étude des vibrations (1)
Un type de mouvement qui se produit souvent et qui est extrêmement important est ce qu’on appelle une petite oscillation (autour d’une configuration d’équilibre). Dans ce cas, le système vibre (on parle aussi de vibrations) autour d’une position; les caractéristiques essentielles d’une vibration sont la périodicité et la petitesse du mouvement. La meilleure approche à l’étude des vibrations est l’approche lagrangienne. L’hypothèse de petitesse porte à une conséquence importante: la décomposition d’une vibration en oscillations harmoniques élémentaires.

En fait, chaque harmonique est caractérisée par une fréquence propre; la fréquence la plus petite est dite fréquence fondamentale du système. Le nombre de fréquences propres et donc d’harmoniques indépendantes est exactement égal au nombre de degrés de liberté du système (donc au nombre de coordonnées lagrangiennes). Chaque fréquence propre, à son tour, est la fréquence de vibration d’un mode propre du système (un mouvement d’oscillation élémentaire, dans lequel une seule coordonnée lagrangienne est active): la vibration globale du système ce n’est que la superposition des modes propres.

Un exemple: un modèle à deux degrés de liberté (barre rigide montée sur deux ressorts), simulant le comportement vibratoire du châssis d’une voiture. La vibration la plus générale est la superposition de deux vibrations élémentaires (deux modes): un mode de translation, à fréquence un mode de rotation, à fréquence Entre autre, cela explique pourquoi les places vers le centre d’une voiture de train ou de car sont les plus confortables! y q = y + q k m

Un phénomène vibratoire particulier est la résonance. Lorsqu’un système est soumis à une force qui oscille dans le temps avec une fréquence proche d’une fréquence propre du système, l’amplitude des vibrations augmente (et tend vers l’infini si la fréquence de la force est identique à une fréquence propre). Ce même phénomène peut être utilisé pour accorder un instrument musical, et pur aller sur une balançoire! C’est un phénomène qui peut être dangereux pour les structures, car une structure qui est sollicité dynamiquement en résonance, peut augmenter l’amplitude de ses vibrations jusqu’à la rupture.

Chapitre 2 5. Statique Équilibre des corps et équilibre des forces
Équations fondamentales: le PFS Systèmes plans: types de liens Le principe des travaux virtuels Approche lagrangienne à la statique Stabilité et bifurcation de l’équilibre En arrière-plan: schéma de pont suspendu.

Équilibre des corps et équilibre des forces (1)
La statique est la science de l’équilibre. Elle s’occupe de connaître les conditions dans lesquelles un système mécanique (un corps matériel ou un ensemble de corps matériels) est en équilibre. La définition d’équilibre d’un système matériel peut être donnée de plusieurs façons. Une définition possible est la suivante: Un système matériel est en équilibre s’il existe un observateur pour lequel le mouvement observé pour le système est le repos.

L’équilibre est donc un mouvement particulier: le repos; en gros, rien ne bouge à l’équilibre. La question qui se pose est de savoir quelles conditions sont indispensables à l’équilibre. L’étude des équations fondamentales de la dynamique nous dit que pour garantir l’équilibre d’un système mécanique il faut deux conditions: le système mécanique doit être à repos à un moment donné; le système des forces appliquées doit être équilibré. Si l’on suppose toujours vérifiée la première condition, il nous reste à considérer la deuxième. La question est donc de savoir quand un système de forces appliquées est équilibré.

Avant d’aller voir les conditions qui assurent qu’un système de forces est équilibré, on remarque que la question s’est portée de l’équilibre d’un système matériel à l’équilibre d’un système de forces appliquées. Ce n’est pas la même chose, mais l’équilibre des forces assure l’équilibre d’un système matériel (si la 1ère condition est satisfaite, hypothèse raisonnable que nous ferons toujours; on verra au chapitre 5 quand un système mécanique assure toujours, par rapport à un observateur donné, cette condition). Le problème maintenant est donc un problème vectoriel, car les forces sont des vecteurs.

Équations fondamentales: le PFS (1)
Le Principe qui statue si un système de forces est équilibré est le Voyons comment s’écrit mathématiquement le PFS et comment on l’utilise. Principe Fondamental de la Statique (PFS) Un système de forces est équilibrés si et seulement si 1.la résultante R des forces appliquées est nulle; 2. le moment résultant Mo par rapport à un point o quelconque est nul.

La première condition s’écrit et la deuxième C’est important de remarquer que le choix du pôle de réduction o est arbitraire: en fait, si la résultante est nulle, ce qui est assuré par la 1ère condition, le moment résultant est indépendant du pôle de réduction o. Donc, le choix de o est normalement fait de sorte à simplifier les calculs.

Il faut remarquer que les deux équations précédentes sont des équations vectorielles, et donc en tout on dispose de 6 équations scalaires. Les forces appliquées sont de deux types: les forces actives (ou actions): ce sont les forces directement appliquées au système, par exemple la force poids; leur caractéristique fondamentales est qu’elles sont des vecteurs connus; les forces réactives (ou réactions): elles sont les forces qui sont exercées par les liens (appuis, encastrements etc.) éventuellement présents; leur caractéristiques fondamentale est qu’elles sont des vecteurs inconnus. Le PFS permet donc de calculer les réactions qui assurent l’équilibre pour les actions appliquées.

Systèmes plans: types de liens (1)
Pour comprendre comment on procède, considérons le cas, particulièrement important, des systèmes plans. Pour ces systèmes, on considère 4 types possibles de liens: appui simple, appui fixe, glissière et encastrement. Voyons chacun de ces liens, en considérant les degrés de liberté, de lien et les réactions qui sont associés aux degrés de lien. En fait, un lien est un dispositif capable d’empêcher une ou plusieurs composantes de mouvement (les degrés de lien) par l’application de forces correspondantes (les réactions).

Appui simple: il permet deux mouvements: une rotation et le glissement sur une droite. Il empêche un seul mouvement: le déplacement orthogonal à la droite. De ce fait, il n’y a qu’une seule réaction: une force f orthogonale à la droite de glissement et appliquée en correspondance du point de rotation. Appui fixe: il ne permet qu’un seul mouvement: la rotation autour d’un point fixe. C’est un appui simple où on a bloqué le déplacement. Il y a donc deux réactions: deux forces orthogonales f1 et f2 qui passent par le point de rotation. f f2 f1

Glissière: il ne permet qu’un seul déplacement: le glissement sur une droite. C’est un appui simple où on a bloqué la rotation. Il y a donc deux réactions: une force f orthogonale à la droite de glissement et un couple m. Encastrement: il ne permet aucun mouvement, c’est le blocage total. Il y a donc trois réactions: deux forces orthogonales f1 et f2 et un couple m. f m f2 m f1

Voyons un exemple d’utilisation du PFS pour le calcul des réactions inconnues sur une structure simple. f m A B C h 2l f1 f2 f3 Equations d’équilibre Solution: les réactions inconnues

On peut avoir aussi le cas de systèmes matériels constitués par plusieurs corps rigides liés ensemble par des liens. Dans ce cas, le PFS agit de la même façon, mais il faut l’écrire pour chaque corps séparément; par le principe d’action et réaction (PAR), les forces que deux corps s’échangent en correspondance d’un lien commun sont égales et opposées: ceci, avec le PFS, permet la solution du problème. Exemple: f m jAB jBC lAB lBC PFS pour AB PFS pour BC PAR en B f2 A B C h 2l f1 f3 f4 Solution

C’est clair que le nombre maximum d’inconnues qu’on peut avoir est de 3 pour les systèmes plans (6 pour les spatiaux) pour chaque corps rigide constituant le système. Toutefois, le nombre d’inconnues est fixé par le type et nombre de liens du système. Si le nombre de degré de lien pour chaque corps est supérieur à 3 pour les structures planes (6 pour les spatiales) alors les équations de la statique ne sont plus suffisantes pour résoudre le problème de la détermination des inconnues de réaction. Dans ce cas, on entre dans la discipline qu’on appelle mécanique des structures, où l’hypothèse de corps rigide, implicite dans la statique classique, est abandonnée. Nous verrons au chapitre 5 que la prise en compte de la déformabilité des corps permet de résoudre n’importe quel problème.

Le Principe des Travaux Virtuels (1)
Le PFS est une approche typiquement newtonienne à la statique: il est basé sur le concept de force et sur des équations vectorielles. Toutefois, déjà aux temps d’Aristote, on avait eu l’intuition qu’on pouvait bâtir la statique sur un concept différent, celui du travail virtuel. Le travail virtuel est le travail fait par une force pour un système arbitraire de déplacements infinitésimaux et compatibles avec les liens imposés, mais pas nécessairement les vrais déplacements que le système va éventuellement avoir à cause des forces appliquées. C’est pour ça qu’on les appelle virtuels, car il ne sont pas forcement les vrais déplacements. Le Principe des Travaux Virtuels, énoncé de façon correcte en 1717 par Jean Bernoulli, est un principe général de la mécanique qu’on pourrait l’appeler le principe de l’équilibre.

On va énoncer le PTV dans un cas particulier, mais le plus intéressant dans les applications: celui des systèmes à liens bilatéraux (tous les liens vus auparavant sont bilatéraux). Le PTV est le principe de base en mécanique des structures. Voyons ici comment on l’utilise pour résoudre des problèmes de statique. Principe des Travaux Virtuels (PTV) Pour un système à liens bilatéraux, le travail virtuel des forces actives est nul pour chaque système de déplacements virtuels.

L’application du PTV en statique procède de la façon suivante: on élimine le lien auquel correspond la réaction qu’on veut déterminer, qui va être considérée comme une force active; on assigne au système un déplacement virtuel, compatible avec les liens qui restent et avec l’hypothèse de rigidité; on calcul le travail des forces pour les déplacements virtuels donnés; de cette équation on récupère la réaction inconnue; on fait la même démarche pour toutes les réactions à déterminer. Voyons tout ça sur un exemple concret.

Considérons encore le système déjà examiné avec le PFS. Les étapes sont: suppression du lien, remplacé par la réaction correspondante; système de déplacements virtuels arbitraire mais admissible; détermination des déplacements virtuels des points d’application des forces; calcul du travail virtuel: détermination de l’inconnue: on procède ainsi pour les autres inconnues. h 2l A B C f m f m dq l dq 2l dq f1

Approche lagrangienne à la statique (1)
L’utilisation des équations de Lagrange est particulièrement indiquée pour les problèmes de statique où l’on cherche non seulement les forces inconnues qui garantissent l’équilibre, mais aussi la configuration d’équilibre, c’est-à-dire la position occupée par le système à l’équilibre. Évidemment, ceci ne concerne que les systèmes flexibles, c’est à dire les systèmes qui ne sont pas composés par des corps et des liens rigides (comme ceux vus jusqu’ici). C’est par exemple le cas de systèmes de corps rigides fixés avec des ressorts, ou avec des liens qui glissent sur des guides etc.

Dans les cas de la statique, les équations de Lagrange se simplifient énormément, car, à l’équilibre, rien ne bouge, ce qui veut dire que: l’énergie cinétique T est nulle, donc la lagrangienne L se réduit à la seule énergie potentielle; comme l’énergie potentielle ne dépend pas des dérivées temporelles des coordonnées lagrangiennes, le premier terme des équations de Lagrange est nul. Donc, les équations de Lagrange de la statique sont simplement: C’est-à-dire: l’équilibre est atteint en correspondance d’une configuration qui annule le gradient de l’énergie potentielle du système, donc pour une configuration qui rend stationnaire (min ou max) l’énergie potentielle du système. Voyons tout ça sur un exemple.

Poutre rigide sur deux ressorts identiques: écriture de l’énergie potentielle V du système en fonction des coordonnées lagrangiennes (ici y et q): calcul du gradient de V pour obtenir les deux équations d’équilibre: y q f a b A B k

solution des équations: on obtient la valeur des deux coordonnées lagrangiennes à l’équilibre (configuration d’équilibre): calcul des déplacements en A et B; forces dans les deux ressorts:

Stabilité et bifurcation de l’équilibre (1)
L’approche lagrangienne à la statique permet de mettre facilement en évidence un phénomène important, celui de la stabilité d’une configuration d’équilibre. En fait, on a vu que les équations de Lagrange nous assurent qu’une configuration d’équilibre est atteinte lorsqu’on rend stationnaire l’énergie potentielle V. Or, l’énergie potentielle est stationnaire lorsqu’on est en correspondance d’un minimum, d’un maximum ou d’un point de selle de V. La question s’impose d’elle-même: mais alors, toutes les configurations d’équilibre sont équivalentes, d’un point de vue mécanique? A savoir, le système se trouve dans la même situation, vis-à-vis de l’équilibre, lorsque V est min ou max? La réponse est évidemment non, et pour comprendre cela, faisons appel à un exemple typique.

Considérons une bille qui peut glisser sur un guide comme en figure sous l’action de la pesanteur (figure à la page suivante). Comme la seule énergie potentielle en jeu est celle de la force poids, V= m g z, celle-ci est stationnaire en correspondance des points stationnaires du guide, donc en correspondance des max, min et points d’inflexion du guide. Mais c’est le sens commun et l’expérience la plus simple qui nous permet de comprendre que les quatre points A, B, C et D en figure ne se trouvent pas dans la même condition vis-à-vis de l’équilibre. Cette simple expérience consiste à perturber la position d’équilibre de la bille, par exemple en lui donnant une petite impulsion qui la fait bouger. La réponse à cette petite impulsion est différente dans les 4 cas, et ceci caractérise le deux types d’équilibre qu’on peut avoir: équilibre stable ou équilibre instable.

Le concept de base est le suivant: si à la suite d’une petite perturbation le système reste proche de sa configuration d’équilibre, celle-ci est stable, autrement elle est instable. C’est évident que la seule configuration stable est la B. En B la courbe trajectoire et donc l’énergie potentielle V, a un minimum. C’est donc celle-ci la clé du problème! g A D C B

En fait, le Théorème de Lagrange-Dirichlet nous assure que si en correspondance d’une configuration d’équilibre l’énergie potentielle a un minimum, cette configuration est stable. Si donc pour trouver les positions d’équilibre ce qui compte, dans la méthode lagrangienne, c’est la dérivée première de V, pour analyser la stabilité c’est la dérivée seconde qu’il faut contrôler: en correspondance d’un minimum, la dérivée seconde de V est positive (pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté, c’est la matrice hessiane de V qui doit être définie positive). A la fin du XIXème siècle Liapounov a précisé ultérieurement la notion de stabilité, dans un sens dynamique, en introduisant dans la définition un requis concernant non seulement la petitesse de l’écart par rapport à la position mais aussi la petitesse de la vitesse du mouvement dû à une perturbation. Le concept de stabilité a une très grande importance en mécanique, surtout pour ces systèmes mécaniques qu’on étudiera au chapitre 5, les structures.

En fait, déjà en 1744 Euler avait mis en évidence la présence de problèmes de stabilité dans les structures élastiques élancées. Ce phénomène peut être étudié facilement sur des modèles simples, à l’aide de la méthode lagrangienne. Un diagramme souvent utilisé pour comprendre le phénomène de la stabilité est celui du chemin d’équilibre. Il s’agit de tracer le diagramme de variation d’un paramètre géométrique caractéristique du système mécanique à l’étude (p. ex. une coordonnée lagrangienne) en fonction de ce qu’on appelle un paramètre de contrôle (le plus souvent une force agissant sur le système). Voyons cela sur deux exemple simples et classiques: un système de deux poutres élastiques et un système de poutre rigide avec encastrement élastique.

Système de deux barres élastiques: lorsque la force P commence à agir, les deux barres élastiques se raccourcissement. La position d’équilibre en fonction de P (le paramètre de contrôle) se trouve par voie lagrangienne: écriture de V: équation d’équilibre: solution en fonction de P (chemin d’équilibre): P k, lo k, lo y x L

P P étude de stabilité (dérivée seconde de V): Voyons ce qui se passe donc lorsque P augmente à partir de 0; pour cela, on trace le chemin d’équilibre: P= 0: 1 seule position: stable; 0<P< : 3 positions: A: y>0, stable; B: y>0, instable; C: y<0, stable; P>Pmax: 1 seule position, D: y<0, stable; pour P<0, la situation est symétrique. P= 0 A B C D P Pmax D A B C y0 y A remarquer que si P dépasse Pmax, la configuration avec y>0 n’est plus possible, et le système passe instantanément à la position y<0 correspondante: c’est le phénomène du snap through, utilisé souvent dans les applications (p. ex. dans les capsules des boites de conserve!).

Barre rigide avec encastrement élastique (le ressort à l’encastrement est un ressort angulaire, qui réagit avec un couple à une rotation donnée, m étant la constante élastique). Soumise à une force verticale, la barre est normalement en position d’équilibre verticale. Toutefois, pour une valeur critique de la force, la barre peut avoir une autre configuration d’équilibre, inclinée (et sa symétrique). L’analyse de stabilité révèle que la position verticale est stable jusqu’à la charge critique, instable au-delà, alors que la configuration inclinée, dont la valeur dépend de la charge appliquée, est stable. On remarque ici un phénomène qui accompagne souvent la stabilité, la bifurcation de l’équilibre: le chemin d’équilibre a le typique aspect d’une fourchette. P>Pcr (P) P<Pcr L  P q(P) Pcr=/L -  

Chapitre 2 6. Bibliographie En librairie… … et sur Internet
En arrière-plan: étude du levier. Galilée, Le mecaniche, env (publié en français en 1634).

En librairie… H. Goldstein: Mécanique classique. P.U.F., 1964.
H. Cabannes: Cours de mécanique générale. Dunod, 1966. L. D. Landau, E. M. Lifchitz: Mécanique (vol. 1). Editions MIR, 1969. J. Ph. Perez: Mécanique: fondements et applications. Masson, 1984 (Nouvelle édition Dunod, 2001).

… et sur Internet R. Fradette: Mécanique classique. Visiter le site J. Ferreira: Cours de mécanique analytique. Document à télécharger à l’adresse L. Duriez: Cours de mécanique célèste. Document à télécharger à l’adresse CoursMCecr_Duriez.pdf#search='cours%20de%20m%C3%A9canique%20g%C3%A9n%C3%A9rale‘, 2002. D. Sénéchal: Mécanique I. Document à télécharger à l’adresse

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