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Chapitre 3: Caractérisation des systèmes. Performances d un système asservi 4Comportement d un « bon » système asservi : –après un changement de consigne.

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1 Chapitre 3: Caractérisation des systèmes

2 Performances d un système asservi 4Comportement d un « bon » système asservi : –après un changement de consigne ou une perturbation, la mesure doit atteindre la consigne, le plus rapidement possible et sans oscillations intempestives 43 notions fondamentales à caractériser : –la précision statique (la mesure doit atteindre la consigne) –la rapidité (le plus rapidement possible) –la stabilité (sans oscillations intempestives)

3 La stabilité 4La stabilité : notion complexe étudiée ultérieurement. Dans un premier temps, on caractérisera la « résonance ». Réponse indicielle d un système instable Réponse indicielle d un système stable, mais pas assez

4 Nécessité d une caractérisation 4A partir de la connaissance de la FT ou d essais expérimentaux, il s agit de déterminer certaines grandeurs représentatives des performances du système asservi. 42 approches peuvent être utilisées : –temporelle –fréquentielle

5 3.1 Approches temporelle, fréquentielle et zéros-pôles

6 Evaluation des performances 42 approches sont possibles : –on utilise des entrées standardisées et à partir des tracés d entrée-sortie on détermine un certain nombre de grandeurs caractéristiques : Approche temporelle ou indicielle (entrée = échelon) Approche fréquentielle ou harmonique (entrée = sinusoïde à fréquence variable)

7 3.1.1 Approche temporelle

8 Approche temporelle –Si le système ne comporte pas d intégration, 2 types de réponse sont possibles : Système t e(t)A y(t) ? Réponse apériodique Réponse oscillatoire amortie

9 Réponse temporelle –La réponse peut être décomposée en deux parties : t y(t) Régime transitoire Régime permanent

10 Le gain - détermination temporelle –Le gain K caractérise le régime permanent : t y(t) t e(t) e y

11 Autres caractéristiques temporelles 4Le régime transitoire peut être caractérisé par : –le temps de montée, t m, temps nécessaire pour passer de 10 à 90 % de la valeur finale –le temps de réponse, t r, temps nécessaire pour que la réponse se stabilise à plus ou moins 5 % de la valeur finale Lorsque la réponse est oscillatoire amortie, on peut aussi utiliser : –l amplitude du 1 er dépassement, D 1, (en % de la valeur finale) et le temps t D1 qui lui correspond

12 Exemple –Attention à la détermination de t r et t D1 et D 1 : t y(t) 105 % 100 % 95 % trtr t D1 Ici D 1 = 8 %

13 3.1.2 Approche fréquentielle

14 Approche fréquentielle 4On s intéresse : –au rapport d amplitude (le gain) : –au déphasage : entre les signaux d entrée-sortie en fonction de la pulsation : Le gain et le déphasage sont respectivement le module et l argument du nombre complexe H(j ) correspondant à la FT H(p) :

15 Diagrammes 4Dans l approche fréquentielle, on utilise 2 types de diagramme : –diagramme de Bode : –diagramme de Nyquist : 4Pour mémoire, il existe aussi : –le lieu de Black-Nichols

16 Diagramme de Bode 42 courbes : – G, le module de H, exprimé en dB en fonction de –, le déphasage, exprimé en degré en fonction de

17 Le gain - détermination fréquentielle 4Le gain statique, K dB, correspond au gain à la fréquence minimale

18 La bande passante 4Bande passante, B, domaine fréquentiel à l intérieur duquel le module de H reste compris entre 2 bornes : La pulsation correspondant à l atténuation de - 3 dB est appelée pulsation de coupure, c 4plus la bande passante est élevée, plus le système est rapide

19 Le facteur de résonance –Le facteur de résonance M dB n est présent que lorsque la réponse temporelle est oscillatoire amortie, c est la variation entre le gain statique et l amplitude maximale ; la pulsation de résonance est r M dB

20 Diagramme de Nyquist Ce lieu décrit en coordonnées polaires le point d affixe H(j ) lorsque varie de 0 à l infini Le lieu est gradué en Dans ce diagramme, il ne faut considérer que la courbe rouge Ce diagramme est surtout utilisé pour évaluer la « stabilité » d un système

21 3.2 Systèmes du premier ordre

22 Remarque préalable 4Mathématiquement, un système du 1 er ordre est régit par une équation différentielle du 1 er ordre : 4Plusieurs formes sont possibles selon la valeur des coefficients. En Automatique, lorsque l on parle d un système du 1 er ordre, il s agit, par défaut, d un système du 1 er ordre sur la sortie.

23 3.2.1 Systèmes du premier ordre de type K/(1+Tp)

24 Fonction de transfert 4Système régit par une équation différentielle du 1 er ordre sur la sortie : 4Exemple : filtre RC –K : gain statique –T : constante de temps

25 Réponse indicielle 4Echelon d amplitude A : Régime permanent Transitoire

26 Réponse à une rampe 4Rampe de pente A : Entrée Sortie Pour le dessin K = 1 Régime permanent Transitoire Transitoire Erreur de traînage Retard

27 Diagramme de Bode 2 asymptotes qui se coupent pour = 1/T = c -20 dB / décade Le déphasage évolue entre 0 et - 90° ( c ) = - 45°

28 Diagramme de Nyquist Ici, le gain vaut 2 4C est un demi-cercle de rayon 1

29 3.2.2 Autres systèmes du premier ordre

30 Système de type K(1+Tp) 4Les systèmes de ce type ne représentent pas des systèmes physiques ; ils correspondent à des filtres ou des correcteurs. Dans ce contexte, ils ne sont pas utilisés seuls. 4Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus pour K/(1+Tp)

31 Système intégrateur 4Equation différentielle : 4Exemple : 4Système « instable » 4Système de type 1 (une intégrale) 1/p Vitesse axe moteur Position axe moteur t e(t)A t y(t)At

32 Système intégrateur 4Diagramme de Bode : –pente -20 dB/décade –déphasage = -90° Gain statique en dB Gain statique K

33 Système intégrateur 4Diagramme de Nyquist Demi-droite sur l axe imaginaire négatif

34 Système dérivateur 4Equation différentielle : 4Exemple : Génératrice tachymétrique –Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus pour K/p. De même pour Nyquist : demi-droite sur l axe imaginaire positif. K p Position arbre Tension génératrice

35 3.3 Systèmes du deuxième ordre

36 Forme générale 4Système régit par une équation différentielle du 2 ème ordre sur la sortie : 4Exemple : partie mécanique d un galvanomètre : angle de déviation J : moment d inertie k : coefficient de raideur du ressort f : coefficient de frottement : couple exercé sur le galvanomètre

37 Fonction de Transfert K : gain statique n : pulsation propre non amortie Z : facteur d amortissement 4Selon Z, le dénominateur admet : 2 racines réelles, c est un système apériodique 2 racines complexes conjuguées, c est un système résonant

38 3.3.1 Réponse temporelle

39 Réponse indicielle 42 comportements distincts selon Z : * - { } -- Mode non oscillatoire Mode oscillatoire amorti

40 Système apériodique 4Produit de 2 systèmes du 1 er ordre : 4Réponse à un échelon d amplitude A : 4Temps de réponse : Régime permanent Transitoire

41 Pseudo-pulsation Système oscillatoire amorti 4Echelon d amplitude A : 4Temps de réponse : 4Amplitude et temps du 1 er dépassement : Régime permanent Transitoire

42 Réponse indicielle en fonction de Z Il n existe pas de relation simple pour exprimer le temps de réponse t r. Il est minimum pour Z = 0.7 Z = 0.1 Z = 5

43 Réponse indicielle en fonction de n Plus la pulsation est grande, plus le système est rapide n = 1 n = 0.3 n = 3

44 La tangente à l origine 1 er ordre : tangente verticale 2 ème ordre : tangente horizontale

45 3.3.2 Réponse fréquentielle

46 Grandeurs caractéristiques 4Pulsation de coupure 4Pulsation de résonance 4Facteur de résonance

47 Diagramme de Bode 4Système apériodique 2 asymptotes qui se coupent pour = n les asymptotes sont toujours « sur » la courbe - 40 dB/décade Le déphasage évolue entre 0 et - 180° ( n ) = - 90° n

48 Diagramme de Bode 4Système oscillatoire amorti 2 asymptotes qui se coupent pour = n - 40 dB/décade Le déphasage évolue entre 0 et - 180° ( n ) = - 90° n r

49 Diagramme de Bode fonction de Z Z = 0.1 Z = 5 Z = 0.1 Z = 5

50 Diagramme de Bode fonction de n n = 0.3 n = 1 n = 3 n = 0.3 n = 1

51 Diagramme de Nyquist Limite de résonance Apériodique : Oscillatoire amorti : Tangente horizontale pour

52 Diagr. de Nyquist fonct. de Z et n Z = 0.1 Z = 0.3 À Z et K constants, le tracé ne change en fonction de n


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