Modélisation du capital économique : Le risque de souscription Non-Vie

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1 Modélisation du capital économique : Le risque de souscription Non-Vie
Yu PEI ISFA Promotion 2008 Tutrices: Marie MEIGNIE Esterina MASIELLO

2 Calendrier général de Solvabilité II
2008 2009 2010 2011 2012 2013 Processus d’approbation par le Parlement et le Conseil Européen de la Directive de niveau 1 Spécifications du QIS 4 QIS 4 Résultats du QIS 4 Transposition de la Directive de niveau 1 en droit local Avis du CEIOPS pour les mesures d’application (niveau 2) Préparation des mesures de niveau 2 et de niveau 3 Spécifications du QIS 5 QIS 5 Résultats du QIS 5 Adoption des mesures de niveau 2 et de niveau 3 Entrée en vigueur du nouveau régime prudentiel Solvabilité II

3 Risque de souscription Non-Vie
Définition : Le risque de souscription en Non-Vie est le risque d’assurance spécifique qui résulte des contrats d’assurance. Il a trait aux incertitudes relatives aux résultats des souscriptions de l’assureur (TS.XIII.A.1) Compositions : Risque de prime (premium risk) : risque que le coût des futurs sinistres soit supérieur aux primes perçues; Risque de réserve (reserve risk) : risque lié à la nature aléatoire de l’évaluation des sinistres et à leur mauvaise estimation; Risque catastrophe (CAT risk) : risque résultant d’événements extrêmes ou irréguliers non capturés par les risques de tarification et de provisionnement;

4 Présentation générale Risque de souscription non vie
Formule de perte du portefeuille P: Prime sur [N,N+1] S: Sinistralité sur la période Y: Règlement des sinistres sur la période ∆R: Différence entre les réserves N et N+1 Capital économique En Solvabilité II, α=99.5% Ratio combiné X: Ratio combiné du portefeuille V: Volume du portefeuille « RunOff » et  « New » RunOff : sinistres des années de survenance passées New : sinistres de l’année de survenance à venir Risque de prime et Risque de réserve L(réserve) : risque de réserve L(prime) : risque de prime R : provision

5 Travaux préliminaires Calcul de Best Estimate
Définitions Le Best Estimate est égal à la valeur actuelle attendue de tous les futurs flux de trésorerie potentiels (moyenne pondérée en fonction des probabilités des résultats distributionnels), basée sur des informations actuelles et crédibles, compte tenu de toutes les informations disponibles et conformes aux caractéristiques du portefeuille d’assurance ou de réassurance sous-jacent. Étapes d’évaluation Estimer les charges ultimes par une méthode actuarielle Déduire les cash flows pour les années futures Actualiser les cash flows futurs en utilisant la courbe de taux fournie par QIS 4 (avec l’hypothèse que les paiements s’effectuent en milieu d'année) Déduire le BE (somme de tous les cash flows futurs actualisés) Méthode déterministe Chain Ladder Méthode stochastique Bootstrap Bootstrap + Mack GLM

6 Calcul SCRNL Formule standard QIS 4
Mesurer les volumes et les volatilités dans chaque LoB Mesure de volume : V Mesure de volume du risque de tarification : Vprem = Max (primes nettes acquises(n+1), primes nettes émises(n+1), 1.05*primes nettes émises(n)) Mesure de volume du risque de provisionnement : Vres = Best Estimate des sinistres à payer dans chacune des branches; Mesure de volume de risque de souscription: V = Vprem + Vres Mesure de volatilité : σ Mesure de volatilité du risque de tarification : un mix de crédibilité d’une estimation spécifique à l’entreprise et d’une estimation à l’échelle du marché Agréger la mesure de volatilité (tarification & provisionnement) dans chacune des branches: Remarque : α = 0.5, c’est-à-dire qu’une corrélation de 50% est supposée entre le risque de tarification et le risque de provisionnement

7 Premiums and reserve risk
Calcul SCRNL Formule standard QIS 4 Déduire le capital économique pour le risque de tarification et de provisionnement Formule standard: SCRNL = ρ(σ) * V ρ(σ) est fixée de manière à produire un chargement en capital conforme au standard de VaR de 99,5 % dans l’hypothèse d’une distribution lognormale du risque sous-jacent: Approximation : ρ(σ) = 3* σ SCRNL = 3*σ* V La diversification géographique est prise en compte dans le QIS4, avec un seuil de matérialité de 5%. Cas pratique Premiums and reserve risk Volume s r(s) Premiums and reserve risk Sub risks calculation Bootstrap 9.1405% 26.008% Bootstrap+Mack 1 9.1513% 26.042% Bootstrap+Mack 2 9.1552% 26.054%

8 Calcul de provisions, vision à un an Risque de provision
Pourquoi une vision à un an Sous Solvabilité II, mesure du capital sur un horizon d’un an Étude du AISAM-ACME Only a few members were aware of the inconsistency between their assessment on the ultimate costs and the Solvency II framework which uses a one-year horizon The calibration of the reserve risk needs to reflect strictly the one year horizon rather than a full run-off approach QIS 3 seems to be consistent with a full run-off approach rather than a one-year horizon volatility Méthodes et solutions Méthode de Wüthrich : vision de Mack sur un horizon d’un an Méthode de simulation : Bootstrap, Bootstrap + Mack, Mack, etc.c

9 Premiums and reserve risk
Calcul des provisions, vision à un an Risque de provision : cas pratique Erreur de prédiction des différentes méthodes Résultats Erreur de Processus Erreur d’Estimation Erreur de Prédiction Calcul Mack 15.57% 9.24% 18.10% Calcul Wüthrich un an 14.68% 8.60% 17.02% Bootstrap - 19.83% Bootstrap sur un an 19.02% Premiums and reserve risk Volume s r(s) Premiums and reserve risk Sub risks calculation (Vol Wüthrich un an) Bootstrap 10.791% 31.234% Mack Bootstrap 1 10.773% 31.178% Mack Bootstrap 2 10.767% 31.158% (Vol Bootstrap un an) % 32.848% % 32.764% % 32.735%

10 Modèle de portefeuille pondéré Variante du QIS4
Risque de prime Taux moyen de perte des nouveaux sinistres et Volatilité relative au risque de prime Risque de réserve Taux moyen de provisions du portefeuille  et Volatilité relative au risque de réserve Calcule du risque de réserve et risque de prime Estimation du risque de souscription Volatilité relative au risque de souscription

11 Modèle de portefeuille pondéré Variante du QIS4: cas pratique
Risque de réserve Risque de prime Sinistres Grave RMS Premiums and reserve risk Volume r(s) Premiums and reserve risk Bootstrap 30.20% Mack Bootstrap 1 Mack Bootstrap 2 Volatilité de Tarification Provision s 10.64% 24.89% 10.47%

12 Méthode par simulation Méthodologie générale
Risque de Prime/Tarification Risque de Provision/Réserve Formule générale: Méthode stochastique Simulation des Loss Ratios Distribution usuelle Normale Log Normale Gamma Formule générale: Méthode stochastique Bootstrap sur un an Bootstrap + Mack sur un an GLM Distribution usuelle GEV Normale Dépendance

13 Méthode par simulation Back Modeling N-1, Calibration de la dépendance
Étapes de « Back Modeling » Triangle original Préparation des données et triangle Simulation 1000 fois triangles supérieurs avec une méthode stochastique Calcul des provisions pour un triangle N*N et un sous triangle N-1*N-1 simulé, le sous triangle doit commencer à la même année de survenance et terminer à la fin de l’année de survenance N-1 Modélisation de la prime avec les triangles simulés Calcul du risque de provision en appliquant la formule de risque Calcul du risque de prime en appliquant la formule de risque Calibration de la dépendance entre deux risques Méthode de Bootstrap + Mack pour construire les triangles « historiques » …… Calcul de réserve pour triangle (N-1)*(N-1) Triangle (N-1)*(N-1) Calcul de réserve pour triangle (N)*(N) Prime modélisée par les sinistralités simulés Modèle de prime en fonction des sinistralités passées Triangle N*N

14 Méthode par simulation Back Modeling N-1, Calibration de la dépendance
Branche IRD SHAM Calibration de la dépendance Dépendance non linéaire Sélection de la copule AIC Fonction K(u), L(u) et R(u) Calibration des paramètres Méthode des moments Maximum de Vraisemblance Inférence sur les Marginales CML Branche Auto Branche IARD

15 Méthode par simulation Back Modeling N-1, Calibration de la copule
Sélection de la copule Calibration des paramètres Copule Paramètre par Tau de Kendall Paramètre AIC test Copule Normale Copule Gumbel Copule Clayton Copule Distance L(u) Distance R(u) Copule Normale Copule Gumbel Copule Clayton Méthode MM ML IFM CML Copule Normale

16 Méthode par simulation Risque de souscription pour l’année N
Simulation du risque de provision d’un an Bootstrap sur un an Simulation de Mack sur un an Triangle historique Projection d’un an Calcule risque de provision après la projection Méthode Bootstrap Test de Kolmogorov-Smirnov Conclusion Loi Normale P-value < Refuse H0 Loi Gamma P-value = 0.009 Loi Weibull Loi GEV P-value = 0.713 Accepte H0 Méthode Mack Test de Kolmogorov-Smirnov Conclusion Loi Normale P-value = 0.992 Accepte H0 Loi Gamma P-value < Refuse H0 Loi Weibull P-value = 0.006 Loi GEV P-value = 0.164

17 Méthode par simulation Risque de souscription pour l’année N
Risque de prime Calibration d’une distribution de Loss Ratio historique Retraitement du modèle de simulation Loss Ratio Historique Test de Kolmogorov-Smirnov Conclusion Loi Normale 0.689 Accepte H0 Loi Log Normale 0.818 Loi Gamma 0.870 Loi Weibull < Refuse H0 Avant le retraitement Après le retraitement

18 Méthode par simulation Risque de souscription pour l’année N
Calibration de Provision Copule Risque de Provision Risque de Prime Loi calibrée pour risque de souscription VaR (99.5%) par Simulation Bootstrap Normale GEV GEV/Normale Log Normale Gamma Simulation de Mack

19 Structure de modélisation de risque de souscription Non-Vie
Avantages du modèle Calibration de la dépendance plus fine que QIS4 Un horizon d’un an pour le risque de réserve Construction d’une vision dynamique sur provision et prime Limites du modèle Sensible à la règlement N-1 Modéliser la dépendance sans les graves Développement futur Calibration de la dépendance sur plusieurs années Modélisation de la structure de dépendance entre différentes branches

20 Questions?