MATHEMATIQUES au cycle III : la question du calcul.

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1 MATHEMATIQUES au cycle III : la question du calcul.
Patrick WIERUSZEWSKI IUFM, Centre Val de Loire, Blois. IREM Orléans, COPIRELEM. P. WIERUSZEWSKI P. WIERUSZEWSKI

2 Sommaire. Du côté des instructions officielles (les programmes 2008 et le Socle Commun). Du côté des techniques opératoires. Gros paquet !!! Du côté du calcul mental. Non directement abordé. Du côté des nombres : les nombres décimaux. Non directement abordé. Pour finir en beauté : du côté de la proportionnalité. P. WIERUSZEWSKI

3 Les deux entrées institutionnelles en 2008
Le Socle Commun des Connaissances et des Compétences. C’est le pilier 3 : « Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique ». a) Les connaissances. « Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l’école primaire des automatismes en calcul, en particulier la maîtrise des quatre opérations qui permet le calcul mental. Il est aussi indispensable à démontrer et à raisonner. Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d’être en mesure de les utiliser ». Les élèves doivent CONNAITRE … (du côté des « savoirs »). Les capacités et les attitudes (peu d’explicitation !). Les élèves doivent ETRE CAPABLES DE … (du côté des compétences). Les connaissances : les nombres au programme, les quatre opérations et leur sens, les techniques élémentaires du calcul mental, …, la proportionnalité , les grandeurs et les mesures (aire du triangle). Les compétences : raisonner logiquement, communiquer, démontrer, effectuer, comparer, ranger, reconnaître les situations relevant de la proportionnalité, …, . Les attitudes : rigueur, précision, respect de la vérité établie, goût du raisonnement. P. WIERUSZEWSKI P. WIERUSZEWSKI

4 les Programmes 2008 (BO, hors série de Juin 2008).
Programme décliné en quatre DOMAINES, accompagné de quelques éléments de progression. … « L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification ». « La maîtrise des principaux éléments mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite d’études au collège ». Domaine NOMBRES et CALCUL Une interrogation et un point de débat entre cycle II et cycle III. Au cycle II. « Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent ». Au cycle III. « Principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture des nombres ; désignation orale et écriture en chiffres et en lettres ; comparaison et rangement (…) ; relations arithmétiques entre les nombres d’usage courant ».  P. WIERUSZEWSKI

5 Domaine GEOMETRIE. Relations et propriétés géométriques : alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, équidistance. Utilisation des instruments et de techniques. Les figures planes, les solides usuels. … Domaine GRANDEURS et MESURES. Les LONGUEURS, les MASSES , les VOLUMES. Les AIRES (formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle). Les ANGLES. Le REPERAGE du TEMPS. Les DUREES, la MONNAIE.  Domaine ORGANISATION et GESTION de DONNEES. … La proportionnalité est abordée à partir des situations faisant intervenir les … On parle en particulier de « la règle de trois ». Est-on au clair sur cette « règle » ? P. WIERUSZEWSKI

6 Rupture et Continuités de 2002 à 2008.
En ) « Faire des mathématiques », c'est résoudre des problèmes. ... 2) Qui dit « CALCUL » dit : « calcul posé (Cal-P), calcul instrumenté (Cal-I), calcul mental (Cal-M) ». ... En Certes , la résolution de problèmes est réaffirmée (elle est commentée dans chacun des quatre domaines) ; cependant ce qui prime, ce sont « les fondamentaux » dès le cycle II. Il convient de les préciser. Des automatismes à faire pratiquer plus tôt . Des apprentissages avancés (dans le domaine numérique) : Addition et Soustraction posées, Tables de multiplication de 2, 3, 4 et 5, du partage à la division au CE1. P. WIERUSZEWSKI

7 Que dit le rapport de l’Académie des Sciences ?
CALCUL et Techniques Opératoires. Que dit le rapport de l’Académie des Sciences ? 1. L’amélioration souhaitable des performances en calcul à l’issue de l’école primaire requiert des mesures significatives mais prudentes, accompagnées d’analyses plus approfondies et d’expérimentations. 3. Son apprentissage, s’appuyant sur une intuition arithmétique présente chez tous les jeunes enfants, suppose effort mais aussi jeu. La mise en place d’automatismes s’accompagne de représentations mentales nouvelles, elle implique réflexion et compréhension. L’automatisation ne peut qu’être le résultat ultime et naturel d’une pratique régulière et bien comprise du calcul. 4. L'enseignement du calcul doit commencer par une pratique simultanée de la numération et des quatre opérations, une gradation en complexité se faisant entre maternelle et fin de primaire, jusqu’aux nombres décimaux et aux fractions. P. WIERUSZEWSKI

8 5. La capacité en calcul se développe selon plusieurs modalités, toutes pertinentes, nécessaires et complémentaires : calcul mental, calcul posé écrit, calcul approché, calcul instrumenté. Le premier, omniprésent dans la vie quotidienne, développe la mémoire ; le deuxième, riche de développements ultérieurs, est important pour la structuration des connaissances ; le troisième est essentiel dans les sciences de la nature et la manipulation des ordres de grandeur ; le quatrième doit trouver sa juste articulation avec les autres modalités. Toutes ces modalités de calcul doivent être maîtrisées par le citoyen. 6. L’apprentissage du calcul ne saurait être développé indépendamment de celui de la géométrie. Les liens entre géométrie et calcul doivent être introduits très tôt, d’autant plus que tous ne sont pas immédiats pour l’enfant. 7. L’importance de la proportionnalité dans plusieurs champs disciplinaires, et singulièrement les sciences de la nature, requiert une maîtrise solide de la règle de trois en fin de primaire, et donc d’une certaine manipulation des fractions. P. WIERUSZEWSKI

9 Dernier point : les évaluations.
A quels « interrogations »  peut-on s’attendre au CM2 dans le domaine du CALCUL ? CALCUL MENTAL . Connaissances des tables (addition et multiplication) : donner les résultats ET retrouver les termes ou les facteurs. Calculer mentalement le résultat d’une opération OU le terme manquant d’une opération. TECHNIQUES OPERATOIRES. Poser et effectuer à la main une opération : addition, soustraction, multiplication. Les nombres en jeu sont les nombres entiers et les nombres décimaux. Poser et effectuer une division. (Un nombre entier ou un nombre décimal par un nombre entier). PROBLEMES. Résoudre un problème relevant des quatre opérations, avec quelle modalité ? Résoudre un problème plus « spécifique » : proportionnalité, longueurs et aires, … Deux types de tâches. « Réciter » les tables. Trouver le terme ou le facteur manquant dans une somme ou un produit. Retour « à la mode » de ce type de tâches. Il repose sur une hypothèse selon laquelle une maîtrise plus précoce « des outils » ou des automatismes peut (et doit) aider les élèves à progresser sur le terrain du « sens ». Quels types de problèmes ? Quelles mises en œuvre des techniques ? P. WIERUSZEWSKI P. WIERUSZEWSKI

10 La soustraction. Le (mini) quart d’heure culturel : LA technique opératoire enseignée dans les pays d’Amérique Centrale. (Source : manuel d’état du SALVADOR, éditions 2007). P. WIERUSZEWSKI

11 Une autre page du manuel de deuxième année (= CE1).
P. WIERUSZEWSKI

12 Quelques observations préalables sur les Techniques Opératoires.
Jusqu’à la réforme dite des mathématiques modernes (fin des années 1970), les techniques les plus ENSEIGNEES correspondaient aux techniques les plus EMPLOYEES : « l’exécution » d’une technique devait pouvoir facilement être vérifiée par le plus grand nombre (« dans » et « hors » de la classe). De nos jours, le choix d’une technique doit plutôt répondre à deux critères : Facilité de son exécution et de sa mémorisation, afin de limiter le temps d’apprentissage. Possibilité de contrôle par le sens. ADDITION (développée dans le diaporama cycle II). Ce qu’il faut avoir acquis pour comprendre et légitimer la technique, tout en la renforçant par la pratique, on est dans un rapport de nature dialectique : La compréhension du principe de groupements par paquets de 10. la mémorisation des résultats des sommes intermédiaires . La technique était naturellement légitime : elle était partagée par beaucoup, elle ne se discutait pas (sauf par les « spécialistes »), un temps non négligeable était alloué à son « enseignement-apprentissage ». La dimension purement arithmétique, voire numéricienne, d’un calcul (ajout, retrait, ajout répété, partage) cachait la dimension plus algébrisée des opérations. Exemples à donner. Les deux critères peuvent s’opposer d’une certaine manière. Du coup, les choix opérés dans les manuels relèvent de conceptions divergentes, parfois « orthogonales » concernant les finalités de « l’enseignement-apprentissage » des techniques opératoires. Importance du rapport de nature dialectique. Il ne faut pas attendre que les sachent « TOUT » sur la numération avant d’entreprendre des travaux de calcul posé, inversement, le calcul posé va permettre d’améliorer, de stabiliser les connaissances sur les nombres. Friandise. La planète CODUS. Voir fichier dans dossier CONFPEDA. P. WIERUSZEWSKI P. WIERUSZEWSKI

13 Principales difficultés à analyser pour l’enseignant.
SOUSTRACTION. Ça devient plus « chaud » !!! Il n’y a pas unicité d’une technique, et toutes se valent; à condition de les comprendre. Déconstruction d’une unité d’un rang (n + 1) pour « travailler » au rang n. Principales difficultés à analyser pour l’enseignant. Plusieurs déconstructions successives. Exemple … Présence d’un zéro dans le terme le plus grand. Exemple … Avec les nombres décimaux, difficulté usuelle de « mise en forme » de l’opération, avant son effectuation. Conservation de l’écart par ajout d’un même nombre aux deux termes de la différence à calculer ou « technique française ». Principales difficultés à analyser pour l’enseignant. Distinction entre la nature des « retenues ». La nature algébrique de cette technique : on ajoute une unité d’un certain rang, qui joue deux rôles différents dans le calcul. Dans les TOUS pays d’Amérique Centrale, c’est la technique dite de la déconstruction d’une dizaine, d’une centaine, … qui est enseignée. (Voir les photocopies des manuels, diapositives 10 et 11. Conservation de l’écart : c’est de l’algèbre. « Obstacle » au sens de Bachelard. Exemple avec des décimaux : rupture(s) et continuité(s) dans la technique. P. WIERUSZEWSKI P. WIERUSZEWSKI

14 Principales difficultés pour l’enseignant.
Recherche du complément du deuxième terme de la différence (c’est « l’addition à trous ! »). Cette technique repose sur la définition mathématique de la différence : c’est le nombre qui ajouté au deuxième terme donne le premier. Principales difficultés pour l’enseignant. Signification du mot « complément », toujours attaché à la différence de deux nombres. Définition, oui, mais comment la faire « vivre » si on enseigne une autre technique ! Dimension algébrique. A toute addition, on peut lui associer deux soustractions et à toute soustraction, on peut lui associer une autre soustraction et une addition, le tout avec les mêmes termes. Quelques outils de calcul réfléchi : Les décompositions (la « canonique » et les autres, …). Les représentations schématiques, dont la droite numérique (calculs « en reculant » ou « en avançant »). Les dispositions (calculs en ligne, calculs en colonnes). … Friandise. L’algorithme de Kaprekar. Voir fichier dans le dossier CONFPEDA. P. WIERUSZEWSKI P. WIERUSZEWSKI

15 Principales difficultés à analyser pour l’enseignant.
On continue : c’est le tour de la MULTIPLICATION. Autre paire de manches à retrousser ! La technique usuelle française : tout le monde la connaît. Oui, mais on met des « 0 » ou on met des « . » dans les colonnes ? Et la « retenue », on (ne) l’écrit pas ou on l’écrit, et où ? … Ce ne sont pas les bonnes questions. Principales difficultés à analyser pour l’enseignant. Besoin de coordination de plusieurs types de connaissances : les produits élémentaires (les tables de multiplication, et oui !!!), des principes de la numération décimale (les multiplications intermédiaires et l’addition finale), la « règle des 0 » (par exemple, « 3 fois 2 dizaines = 6 dizaines » devrait s’écrire « 20  3 = 60 »), la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, … (OUF !). Traitement mental important pour les calculs partiels et les calculs intermédiaires. Autre besoin : nécessité d’un entraînement préalable ou concomitant aux calculs de produits « en ligne » de la forme (du)  i ou (cdu)  j. Quelle friandise : multiplication de tête de nombres à deux chiffres, dans certains cas « favorables ». Exemple : 67  63, trop facile, on fait 6 7 = 42, puis 7  3 = 21, on écrit 4221, c’est juste, trop fort !!! Questions : pourquoi ça marche, quand ça marche, qu’est-ce que j’apprends ? P. WIERUSZEWSKI P. WIERUSZEWSKI

16 Principales difficultés pour l’enseignant.
Ce n’est pas fini, même si on fatigue un peu (beaucoup ?). La DIVISION. Il y en a deux au programme : la division euclidienne (non libellée comme telle) et la division décimale. Une disposition standard : la POTENCE. Principales difficultés pour l’enseignant. Pas d’unicité dans les écrits intermédiaires de la division. On écrit les soustractions intermédiaires, oui, non, on fait des « ponts », oui, non, quelle oralisation : « comment dire » ? … Deux sens différents pour les deux divisions : l’une produit DEUX nombres (quotient entier ET reste) et l’autre en produit UN (quotient, pas toujours « exact », en négligeant contextuellement le reste). Traitements des nombres obtenus : retour au sens. Importance du calcul mental pour « avoir une idée » du quotient, pour effectuer les calculs intermédiaires . Recherche d’encadrements par des multiples consécutifs. Division euclidienne : rupture avec l’idée qu’une opération effectuée produit UN nombre, le résultat ! Là, il y en a deux, tout aussi important l’un que l’autre ! Friandise. Une division euclidienne qui ne répond pas à un problème de partage. Le tableau de nombres, voit fichier dans dossier CONFPEDA. Friandises. Deux situations de division euclidienne ne répondant pas à un problème de partage : « la course à 20 », « le tableau de nombres » P. WIERUSZEWSKI P. WIERUSZEWSKI

17 Quelques compléments théoriques indispensables.
DIVISION. Détermination du nombre de chiffres du quotient entier. Exemple : poser et effectuer à la main la division de 6487 par 58. Pas mal ! La CLE : la numération, comme toujours. Technique. En établissant la table de multiplication du diviseur par les puissances de dix, on obtient le nombre de chiffres du quotient. On y va. On le fait à la main, après cela va s’automatiser ! (i) 58  0 = 0, (ii) 58  10 = 580, (iii) 58  100 = 5800, (iv) 58  1000 = 58000, on continue (hyper-méga facile (pour une fois) : yaka qu’à « ajouter » des « 0 » !). On a alors l’encadrement suivant :   C’est-à-dire : 58  100  6487  58  1000, ce qui signifie que le quotient entier possède exactement trois chiffres, puisque le plus petit peut être 101et le plus grand 999. Note : en « poussant » cette technique, on termine alors la division ! P. WIERUSZEWSKI

18 On applique, en acte, une propriété algébrique.
DIVISION. Suite. Le dividende est un nombre décimal et le diviseur est un nombre entier. Comment retomber sur une division avec des nombres entiers ? On applique, en acte, une propriété algébrique. Propriété. Si on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre , le quotient ne change pas. Puisque on la choix du nombre, autant prendre un nombre bien « sympathique » dans notre système de numération : 10, 100, 1000, … Exemple : poser et effectuer à la main la division de 140,08 par 17. Item redoutable (réussite exigible ou pas ?). On a : 140,08  17 = 1400,8  170 =  1700. On applique alors la technique de la diapositive précédente pour déterminer le nombre de chiffres du quotient, et on poursuit. … P. WIERUSZEWSKI

19 Vaste et énorme chantier pour le professeur. Pourquoi ?
MULTIPLICATION de deux nombres décimaux : rupture(s) et continuité(s) avec la MULTIPLICATION de deux nombres entiers. Vaste et énorme chantier pour le professeur. Pourquoi ? Raison 1. Rupture. Avec les nombres entiers, la MULTIPLICATION agrandit « toujours ». Par définition, le produit est plus grand que les deux facteurs, dans TOUS les cas. Elle modélise des ajouts répétés ou des ajouts réitérés. D’où Question 1. Qu’en est-il avec les nombres décimaux ? Patatras : ça dépend des facteurs. Ah bon ! Aie, Aie, Aie. Exemples pendant l’exposé. Raison 2. Continuité. Quelle filiation ! Bon d’accord. On va donc s’appuyer sur quelques faits numériques rigoureux. D’où Question 2. Lesquels ? Il y a en a essentiellement TROIS. Ordre de grandeur du produit, en lien avec la numération. Valeur de quelques chiffres significatifs, en particulier le dernier chiffre de droite. Utilisation de techniques opératoires valides ou qui fonctionnent bien. Exemples pendant l’exposé. Raison 1. Cette remarque FONDAMENTALE pose aussi le problème de la division. En effet, si la division est exclusivement rattachée à des problèmes de partage, sauf à croire à une mystique particulière, on aura du mal à donner du sens à un quotient supérieur au dividende, avec des nombres décimaux. Raison 2. Quels sont les situations qui vont permettre de donner du sens à cette nouvelle multiplication ? Il y en a essentiellement DEUX au cycle III : les situations de proportionnalité et les situations de produits de mesures. Il faut donc se « dépatouiller » avec ça. C’est dans ce domaine qu’on a vraiment besoin des différentes écritures des nombres décimaux. En particulier, l’écriture fractionnaire va rendre beaucoup de service, en complément de l’écriture décimale. P. WIERUSZEWSKI P. WIERUSZEWSKI

20 BILAN. Quelques principes pédagogiques.
Toute Technique Opératoire enseignée doit être robuste et avoir un avenir, dans la classe et ailleurs. Elle doit toujours être accompagnée d’éléments de légitimation. Si possible, on doit la « désosser » (la justifier, la prouver, la démontrer, …) avec les élèves : c’est la question du sens. Toute Technique Opératoire doit contenir en elle-même des « moyens » d’auto-contrôle. A toute Technique Opératoire officielle et publique , on peut lui associer une Technique Opératoire privée, mais efficace dans le même « domaine » de calcul. Tout « enseignement-apprentissage d’une Technique Opératoire se fait dans la durée. Elle nécessite des « gammes », en liaison avec la classe de problèmes pour laquelle elle est opérante. P. WIERUSZEWSKI

21 Une petite incursion du côté du calcul, toute petite !!!
Calcul AUTOMATISE et Calcul REFLECHI Sommes-nous vraiment au clair sur le calcul automatisé, le calcul réfléchi, le calcul rapide, et tout le vocabulaire « environnant » ? 1) Le propre du « calcul automatisé » est de délaisser « l’intuition » des nombres, de ne pas s’occuper de l’ordre de grandeur. On travaille avec les CHIFFRES en mettant en œuvre un algorithme officiel et standard. On se laisse guider par la technique : on perd le contrôle de ce qu’on veut faire, mais on est certain d’y arriver ! 2) Par « calcul réfléchi », synonyme de calcul raisonné ou dans le temps de calcul rapide (qualificatif mal choisi), on entend choix d’une stratégie de calcul, non nécessairement uniforme, on entend élaboration de procédures (privées), avec un contrôle du déroulement du calcul ; par opposition à rapidité d’exécution. Par définition, le « calcul réfléchi » est le calcul qui fait appel aux propriétés des opérations et des nombres. P. WIERUSZEWSKI

22 Un tableau sur les « moyens » de calculs à disposition du professeur.
ML PELTIER, conférence pédagogique à VENDOME, 2005. P. WIERUSZEWSKI P. WIERUSZEWSKI

23 Test : le problème de Darcos.
Et la PROPORTIONNALITE dans tout ça ; on y arrive. On va donc en parler de cette « règle de trois » qui semble si évidente pour beaucoup ! Test : le problème de Darcos. Enoncé. Sachant que 4 crayons valent 2,42 euros, combien coûtent 14 crayons ? Consignes. Résoudre cet exercice, justifier la technique employée, proposer alors une autre technique de résolution et la justifier. 1) Montrer le fichier Cabri NONPROPOR. 2) La proportionnalité n’est pas un objet mathématique : elle ne s’enseigne pas comme la géométrie, le calcul, … MAIS, c’est plus qu’un objet culturel. Une lapalissade. La proportionnalité : une « notion » difficile à enseigner, une « notion » difficile à apprendre. Pourquoi ? P. WIERUSZEWSKI P. WIERUSZEWSKI

24 Le point sur la « règle de trois » (ainsi bien nommée).
Utilisation de la langue : cette « règle » et ses dérivées sont parlées, voire mimées, tout autant qu’elles sont écrites. Le maître disait : « Que cherche-t-on, un prix, que sait-on sur les prix ? ». Procédure 1 : « le retour à l’unité ». On paie 2,42 € pour 4 crayons. Donc pour 1 crayon, il en faut 4 fois moins, c’est-à-dire 2,42 ÷ 4, soit 0,605 €. Pour 14 stylos, on paiera 14 fois plus, c’est-à-dire 0,605 €  14, soit 8,47 €. P. WIERUSZEWSKI

25 Pour 14 stylos, on paiera 14 fois plus. D’où le calcul terminal :
Procédure 2 : « la règle de trois ». Elle diffère de la procédure 1 par la présentation et par l’ordre dans lequel les calculs sont conduits. On paie 2,42 € pour 4 crayons. Donc pour 1 crayon, il en faut 4 fois moins, c’est-à-dire 2,42 ÷ 4. On écrit alors un premier calcul intermédiaire : Pour 14 stylos, on paiera 14 fois plus. D’où le calcul terminal : On écrivait les calculs, puis on les effectuait. Enfin, la « pratique enseignante » a imposé une disposition fléchée dont tout le monde se souvient ! Remarque. Pour la commodité des calculs, on simplifiait (si possible) la « fraction » avant , puis, on effectuait la multiplication en premier. « Technique de calcul » (presque toujours) imposée par le maître ! P. WIERUSZEWSKI

26 On termine par des friandises.
Le carrelage. Voici le plan d’une chambre (rectangulaire) dont le sol doit être carrelé. Il a fallu trois heures pour poser les carreaux coloriés. Combien de temps faut-il pour terminer l’ouvrage ? Revue Grand ℕ, « Points de Départ ». P. WIERUSZEWSKI

27 Le chocolat. Cette tablette de chocolat pèse 200 g
Le chocolat. Cette tablette de chocolat pèse 200 g. On a besoin de 75 g pour réaliser une recette de cuisine. Quelle quantité doit-on prendre ? P. WIERUSZEWSKI

28 Pour aller plus loin : le puzzle de BROUSSEAU (le vrai !).
Dispositif. Travail en groupes. Why ? Consigne. Chaque équipe reçoit un tel puzzle et doit en reconstruire un plus grand. Règles à respecter. (1) Un segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur celui à construire. (2) Chaque élève doit fabriquer une seule pièce du puzzle. That’s all folks for today, thank you ! P. WIERUSZEWSKI